Janusz Merkel
Einige Bemerkungen über die
Degeneration der optimalen
Lösungen in den Aufgaben der
linearen Programmierung
Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 18,
299-307
A N N A L E S
U N I V E R S I T A T I S M A R I A E C U R I E - S K L O D O W S K A L U B L I N — P O L O N I A
VOL. X V III, 16 SECTIO H 1984
Z a k ła d Z a st o so w a ń M a te m a ty k i W y d z ia ł E k o n o m ic z n y U M C S
J a n u s z M E R K E L
Einige B em erkungen über die-D egen eration der optim alen L ösungen in den A ufgaben der linearen Program m ierung
U w a g i o degeneracji rozw iązań optym alnych w zagadnieniach program ow ania lin iow ego
Зам ечания о дегенерации оптимальны х реш ений в линейном программировании
F ü r die M odelle, w e lc h e die o p tim a le A u sw a h l von v e rsc h ie d e n e n la n d w irts c h a ftlic h e n P ro d u k tio n s v e rfa h re n m itte ls A u fg a b en lin e a r e r P ro g ra m m ie ru n g (LP) b e sc h re ib e n , ist in N e b e n b e d in g u n g e n ((1), S. 39) (in e in s c h rä n k e n d e n B e d in g u n g e n ((2), S. 18, 19)) das H e rv o rtre te n d e r re c h te n S e ite n — die N u ll gleich sind — c h a ra k te ris tis c h . S olche N e b e n b e d in g u n g e n sin d z.B. v e rsc h ie d e n e B ilan ze des g an z en V e rb ra u c h s ( F u tte rm itte l) o d er d e r g an zen U m fo rm u n g (H e rd eu m satz ) b e s tim m te r G rö ß e n . Es h a n d e lt sich u m A u sd rü c k e in G e sta lt: a^Xj d ab e i 0 . j< -N i > j-*-N2 D iese A u s d rü c k e k a n n m a n le ic h t a u f fo lg en d e G e sta lt z u rü c k fü h re n : ] [ ] a i j x j - X a i j X j 0 j * - N , j < - N 2 >
also a u f die G e sta lt d e r N e b e n b e d in g u n g e n m it re c h te n S eiten , w e lc h e N u ll g leich sind. In F u tte rb ila n z e n k a n n m a n ein b e stim m te s N iv ea u des V o rra te s e in fü h re n — die re c h te n S e ite n d e r N e b e n b e d in g u n g e n w e rd e n d a n n s ta tt N u ll p o sitiv e Z ahlen. In H e rd e u m sa tz b ila n z e n d ag e g en h a b e n w ir n ic h t m it R e se rv e n zu tu n — die A b re c h n u n g ist ganz, m a n k a n n
300 J. M erkel
in N e b e n b e d in g u n g e n d e r L P A u fg a b e die re c h te n S eiten , w elch e g leich N u ll sind, n ic h t v e rm e id e n .
Im P ro b le m d e r o p tim a le n A u s w a h l d e r S tr u k t u r von la n d w irts c h a ft lic h e r P ro d u k tio n — in d e r d u rc h d en V e rfa sse r d ie se r B e m e rk u n g e n g ese h en en 33 M odellen * — b e tru g d e r A n te il, d e r N e b e n b sd in g u n g e n , d e r e r re c h te n S e ite n N u ll g leich sin d , von 0 bis 80 p ro H u n d e rt d e r allg e m e in e n Z a h l d e r N e b e n b e d in g u n g e n .
D ie V e rte ilu n g d e r g esp ro c h e n e n N e b e n b e d in g u n g e n ist folgend:
D ie Z ah l % d e r M odelle d e r g e sa m te n Z ahl von 33 M odellen k e in e N e b e n d in g u n g 1 3 bis zu 25% d e r g e sa m te n Z a h l d e r N e b e n b e d in g u n g e n 14 43 v o n 2'5% bis zu 50% 6 18 vo n 50% bis zu 75% 9 27 ü b e r 7 5 % 3 9
D ie M odelle, in d e n e n alle re c h te n S e ite n p o sitiv sind, g ab es also g an z spo rad isch .
D ie n u llg le ic h e n re c h te n S e ite n d e r N e b e n b e d in g u n g e n tr a te n a u c h im P ro b le m des F in d e n s von o p tim a le r F u tte r r a tio n h e rv o r. In d en d u rc h d en V e rfa sse r g e se h e n e n b e tre ffe n d e n 16 M od ellen** b e tru g d e r A n te il d e r N e b e n b e d in g u n g e n m it n u llg le ic h e r r e c h te r S e ite vo n 0 bis 97 p.H. d e r a llg e m e in e n Z a h l d e r N e b e n b e d in g u n g e n im M odell.
D ie V e rte ilu n g o b ig er N e b e n b e d in g u n g e n ist folg end :
D ie Z ah l % d e r M odelle d e r g e sa m te n Z ahl von 16 M o dellen k e in e N e b e n b e d in g u n g 11 68 bis zu 25% d e r g e s a m te n Z ah l d e r N e b e n b e d in g u n g e n — — v o n 2 5 % bis zu 50°/o 2 13 v o n 50% bis zu 75% 1 6 ü b e r 7 5 % 2 13 * * * * S ieh e Anm.**.
** D iese B em erk u n g en b e tr e ffe n die M od elle in ostd eu tsch en , p oln isch en , s o w je tisch en , tsch ech o slo w a k isch en und w estd eu tsch en F ach p u b lik ation en ,
E inige B em erkungen über die D egeneration.., 301
D as H e rv o rtre te n in d e r L P A ufgabe schon n u r e in e r N e b e n b e d in g u n g m it n u llg le ic h e r re c h te r S eite b rin g t die D e g e n e ra tio n d ie se r A ufg ab e.
D er V e rfa s se r dieses A rtik e ls n im m t an, dass dem L ese r die a llg e m e in e T erm in o lo g ie d e r lin e a re n P ro g ra m m ie ru n g u n d die w ic h tig s te n T a tsa c h e n aus d em B ere ic h e d e r A n w e n d u n g e n von L P b e k a n n t w e r den. So e r in n e r t er, d a ß w ir in w e ite re n B e tra c h tu n g e n ü b e r sy m m e tris c h e s D u a l-P a a r d e r L P A u fg a b en sp re c h e n w e rd e n , w elch es m an m it G e b ra u c h von M a triz e n fo lg en d d a rs te lle n k an n :
D ie V a ria b le n Xj d e r p rim a le n A u fg a b e w e rd e n w ir w e ite r als die G rö ß e d e r p ro d u k tiv e n T ä tig k e ite n (d er p ro d u k tiv e n A k tiv itä te n ) v e rs te h e n . D ie V a ria b le n yi d e r d u a le n A ufgabe, w e rd e n w ir d ag eg en als die S c h a tte n p re ise — die B e w e rtu n g e n d e r E in h e ite n d e r im b e s c h rä n k te n U m fa n g e z u r V e rfü g u n g s te h e n d e n V o rrä te d e r P ro d u k tio n s fa k to re — v e rs te h e n . ((3), S. 189— 190, 691— 692). D ie S c h a tte n p re ise w e rd e n d u rc h den V e rfa sse r dieses A rtik e ls w e ite r „ D u a lp re ise ” g en a n n t.)
Im sy m m e trisc h e n D u a l-P a a r d e r L P A u fg a b en sin d die W e rte d e r Z ie lfu n k tio n e n fo lg en d abh än g ig : d e r W e rt d e r m a x im a lis ie rte n Z iel fu n k tio n is t m in d e r o d e r g leich dem W e rte d e r m in im a lis ie rte n Z ie l fu n k tio n . Es is t le ic h t m itte ls d e r su m m a risc h e n E in s c h re ib u n g d e r L P A u fg ab e zu zeigen: Z ielfu n k tio n : N e b e n b e d in g u n g e n : N ic h tn e g a tiv itä ts b e d in g u n g en : P rim a le A u fg a b e (m ax) z = cTx D u a le A u fg a b e (m in) w = b Ty A x < b A Ty ^ c y >o (M a x im alisie- ru n g d e r Z ie l fu n k tio n in P rim a l-A u fg a b e ) (a) (O rd n u n g sw ec h sel d e r d o p p e lte n S u m m ie re n s) (1) (M in im a lisie ru n g d e r Z ie lfu n k tio n in D u a l-A u fg ab e ) (b)
3 0 2 J. Merkei
(Im F a ll d e r M in im a lis ie ru n g d e r Z ie lfu n k tio n in P rim a l-A u fg a b e u n d M a x im a lisie ru n g d e r Z ie lfu n k tio n in D u a l-A u fg a b e is t das obige V e r f a h r e n äh n lich .)
In d e r T h e o rie d e r lin e a re n P ro g ra m m ie r u n g w u rd e die B e h a u p tu n g bew iesen, d a ß im D u a l- P a a r vo n L P A u fg a b e n d e r M a x im a lw e rt d e r Z ie lfu n k tio n e in e r A u fg a b e dem M in im a lw e rte d e r Z ie lfu n k tio n z w e ite r A u fg a b e gleich ist, also d ie o p tim a le n W e rte d e r b eid en Z ie lfu n k tio n e n des D u a l-P a a re s von A u fg a b e n sin d gleich. ((4), S. 178— 190)
M an k a n n sich a u f d iese B e h a u p tu n g s tü tz e n u n d fo lg en d e A b h ä n g ig k e it vo n (1) ■ausführen:
(d er o b ere In d e x ,,o” b e d e u te t die W e rte , w e lc h e die V a ria b le n Xj u n d yi in o p tim a le n L ö su n g e n a n n e h m e n ).
Da die A u sd rü c k e in K la m m e rn in (2) von e in s c h rä n k e n d e n B e d in g u n g e n d e r P rim a l-A u fg a b e (b) u n d von e in s c h rä n k e n d e n B e d in g u n g e n d e r D u a l-A u fg a b e (a) e rg e b e n , m ü sse n diese A u s d rü c k e n ic h t n e g a tiv sein; ä h n lic h n ic h t n e g a tiv m ü sse n sow ie die W e rte x 3- u n d yi als a u c h die M u ltip lik a tio n e n von zw ei n ic h t n e g a tiv e n F a k to re n sein. E n d lic h sin d die S u m m e n d e r n ic h t n e g a tiv e n S u m m a n d e n g leich N ull, w e n n je d e r S u m m a n d g leich N u ll ist. W ir b e k o m m e n als E rg eb n is:
bei M in im a lis ie ru n g d e r Z ie lfu n k tio n in P rim a l-A u fg a b e u n d M a x im a lis ie ru n g d e r Z ie lfu n k tio n in D u a l-A u fg ab e ).
D a m it die M u ltip lik a tio n g leich N u ll w ä re , g e n ü g t d e r N u llw e rt ein es von F a k to re n . D e sh a lb soll m a n in B e tra c h t fo lg en d e M ö g lich k eiten ziehen:
— d e r e rs te F a k to r ist g leich N u ll, d e r z w eite F a k to r ist positiv; — d e r e rs te F a k to r is t p o sitiv , d e r z w eite F a k to r ist g leich N ull. A ls F o lg e b e k o m m e n w ir:
W e n n irg e n d e in e e in s c h rä n k e n d e B e d in g u n g sich - in e in e r A u fg a b e des D u a l-P a a re s v o n L P A u fg a b e n f ü r d en e x tre m a le n W e rt d e r .Z iel fu n k tio n als s c h a rfe U n g le ic h u n g re a lis ie rt, d a n n is t die m it d ie se r B e d in g u n g v e rb u n d e n e V a ria b le d e r D u a l-A u fg a b e N u ll gleich. D ie zw eite F olge ist d ageg en:
W en n die V a ria b le in e in e r A u fg a b e des D u a l-P a a re s f ü r d e n e x t r e m a le n W e rt d e r Z ie lfu n k tio n p o sitiv ist, d a n n n im m t die e n ts p re c h e n d e e in s c h rä n k e n d e B ed in g u n g in D u a l-A u fg a b e d ie G e sta lt d e r G leich u n g .
(2)
E inige B em erkungen über due Degeneration..-. 3Q3
D as sin d die a llg e m e in b e k a n n te n T a tsa c h e n in d e r M ethod ik d e r B ed ien u n g von lin e a r e r P ro g ra m m ie ru n g . D ie I n te r p re ta tio n d ieser T a t sa c h en im B ereich e d e r ökono m ischen P ro b le m e ist a u c h b e k a n n t: die P ro d u k tio n sfa k to re , w e lc h e im P ro d u k tio n sp ro z e ß ganz a u s g e n u tz t w e r den, h a b e n die p o sitiv e n D u a lp reise, w ä h re n d die in P ro d u k tio n sp ro z e ß n u r teilw eise a u sg e n u tz te n P ro d u k tio n s fa k to re die n u llg le ic h e n D u a l p re ise haben.
M an k a n n jed o ch n ic h t die T a tsa c h e v e rm e id e n , d aß die M u ltip lik a tio n d e r zw ei F a k to re n a u c h g leich N ull sein k a n n , w e n n die b eiden F a k to re n d en W e rt N u ll g leich z eitig hab en. S o lc h er F a ll —
z.B. b; — = 0 und y° = 0
i
— soll an alo g zu B e h a u p tu n g fü h re n , d aß die ganz im P ro d u k tio n s p ro z eß a u s g e n u tz te n P ro d u k tio n sfa k to re die n u llg le ic h e n D u a lp re ise h a b en k ö n n en . D a ru m soll m a n aussagen :
„D ie P ro d u k tio n sfa k to re , w elch e im P ro d u k tio n sp ro z e ß g an z a u s g e n u tz t w e rd e n , h a b e n die n ic h t-n e g a tiv e n D u a lp re is e .”
* * *
D e r F a ll des g leich z eitig e n N u llw e rte s b e id e r F a k to re n d e r M u ltip lik a tio n t r i t t g e ra d e bei d e r D e g e n e ra tio n d e r O p tim allö su n g d er L P A u f g ab e h e rv o r.
(M an soll h ie r d a ra n e rin n e rn , d aß bei d e r B ed ien u n g m it S im p le x - -A lg o rith m u s , u m die L P A u fg a b e zu lösen, alle N e b en b e d in g u n g e n — die im M odell des k o n k re te n ökono m isch en P ro b le m s die U n g le ic h u n g e n w a re n — in d e r G e sta lt d e r e x a k te n G leich u n g e n sein m üssen . In d iesem Z w eck e f ü h r t m an n e b e n den V a ria b le n des M odells — d en E n ts c h e i d u n g s v a ria b le n ((1), S. 25) a n d e rs n a tü rlic h e n V a ria b le n ((1), S. 152) a n d e rs e c h te n V a ria b le n ((2), S. 58) — die z u sä tz lic h en so g e n a n n te n S c h lu p fv a ria b le n (B ila n z ie ru n g sv a ria b le n ) ein ((3), S. 692). Die e c h te V a ria b le d e r p rim a le n A u fg a b e e n ts p ric h t d e r S c h lu p fv a ria b le d e r d u a le n A u fg a b e u n d die S c h lu p fv a ria b le d e r p rim a le n A u fg a b e e n ts p ric h t d e r e c h te n V a ria b le d e r d u a le n A ufgabe. ((2), S. 58), ((5), S. 57).
In a u fe in a n d e rfo lg e n d e n L ö su n g en im L a u fe des S im p le x -A lg o r ith m u s ist d ag e g en die T eilu n g d e r g e sa m te n M enge a lle r V a ria b le n a u f B a sisv a ria b le n u n d N ic h tb a s is v a ria b le n w ich tig . ((3), S. 106)
D ie B a sisv a ria b le d e r p rim a le n A u fg a b e e n ts p ric h t d e r N ic h tb a s is v a ria b le d e r d u a le n A u fg a b e u n d die N ic h tb a sisv a ria b le d e r p rim a le n A u fg a b e e n ts p ric h t d e r B a sisv a ria b le d e r d u a le n A u fg ab e.
B ei d e r D e g e n e ra tio n e rs c h e in t in P rim a l-A u fg a b e des D u a l-P a a re s die N ic h te in d e u tig k e it d e r A u sw a h l d e r V ariab le, w elch e die S a m m lu n g
304
d e r B a sisv a ria b le n v e rla ss e n soll. D esh alb e n ts te h e n die A b z w eig u n g en d es V e rla u fe s des S im p le x -A lg o rith m u s , die zu v e rsc h ie d e n e n a lte r n a ti v e n O p tim a llö su n g e n m it d em selb e n W e rte d e r Z ie lfu n k tio n fü h re n . In je d e r d e g e n e rie rte n O p tim a llö s u n g is t zw isch en i h r e r B a sisv a ria b le n m in d e s te n s ein e S c h lu p fv a ria b le m it N u llw e r t d ab e i an w esen d . In d e r O p tim allö su n g d e r D u a l-A u fg a b e d ag e g en m in d e ste n s eine N ich tb asis v a ria b le d en N u llw e rt des S im p le x -K rite riu m s (des Z eig e rs d e r O p ti- m a litä t) a n n im t. M an k a n n also die S a m m lu n g d e r B a sisv a ria b le n d ie se r O p tim a llö su n g ä n d e rn o h n e V e rä n d e ru n g des Z ie lfu n k tio n w e rte s. D as g ib t v e rsc h ie d e n e a lte r n a tiv e O p tim a llö su n g e n d e r D u a l-A u fg ab e . Es g ib t a u c h die F älle, w e n n g leich z eitig in b eid en A u fg a b e n des D u a l- - P a a re s sow ie die S c h lu p fv a ria b le n als B a sisv a ria b le n a u f n u llg le ic h e m N iv e a u als a u c h n o ch die N ic h tb a s is v a ria b le n m it d em N u llw e rte des S im p le x -K rite riu m s a n w e se n d sind. (S ta tt d en A u sd ru c k „S im p le x - - K r ite r iu m ” o d e r „ O p tim a litä ts z e ig e r” zu g e b ra u c h e n , k a n n m a n ü b e r ,,Z ie lw irk u n g d e r S p a lte ” sag en . ((6), S. 139))
D enn die S c h lu p fv a ria b le , w e lc h e als B a sisv a ria b le — au f dem N iv e a u das g le ic h N u ll is t — e rsc h e in t, d e r N u llw e r t d e r e c h te n D u a l v a ria b le e n ts p ric h t, die N e b e n b e d in g u n g — m it d e r d iese S c h lu p fv a ria b le v e rb u n d e n w ird — k a n n m a n so in A n sic h t n eh m en , als ob diese N e b e n b e d in g u n g s c h a rfe U n g le ic h u n g w ä re (in W irk lic h k e it ist jed o ch d iese N e b e n b e d in g u n g in d ie se m F a lle ein e g e n a u e G leich u n g ). W ie ist es sch o n f r ü h e r e r w ä h n t — im S in n e d e r I n te r p r e ta tio n d e r A u fg a b e n d e r lin e a re n P ro g ra m m ie r u n g im B e re ic h e d e r ö k o n o m isch en P ro b le m a tik — die e in s c h rä n k e n d e B ed in g u n g in d e r G e s ta lt d e r s c h a rfe n U n g leich u n g m it d e r lin k e n S e ite m in d e re n als a b s o lu te s G lied d e u te t von ein em U b e rs c h u ß d es b ila n z ie rte n P ro d u k tio n s f a k to rs u n d d ie se r P ro d u k tio n s f a k to r h a t d e sto e in e n n u llg le ic h e n D u a lp re is.
In B ezie h u n g a u f O b ig em w ird es b e q u e m sein — im F a lle des N u ll w e rte s d e r S c h lu p fv a ria b le als B a sis v a ria b le in o p tim a le r L ö su n g d e r L P A u fg ab e — zu sagen, d aß die T e n d e n z d e r N ic h ta u s n u tz u n g des v o l len V o rra ts vo n e n ts p re c h e n d e m P ro d u k tio n s f a k to r v o rh a n d e t (die T e n d en z ein en fr e ie n Z u t r it t zu d en e n ts p re c h e n d e n P ro d u k tio n s f a k to r v o r h a n d e t). N e h m e n w ir a u ß e rd e m die e in s c h rä n k e n d e B ed in g u n g , in w e lc h e r d e r N u llw e rt d e r S c h lu p fv a ria b le als B a s isv a ria b le in o p tim a le r L ö su n g h e r v o r tr a t, als ein e z u sä tz lic h e e in s c h rä n k e n d e B e d in g u n g an. G leich z ei tig n e h m e n w ir an die e in sc h rä n k e n d e B ed in g u n g , in w e lc h e r die S c h lu p fv a ria b le a u c h g le ic h N u ll ist a b e r d ie N ic h tb a s isv a ria b le is t als ein e h a u p ts ä c h lic h e e in s c h rä n k e n d e B ed in g u n g .
D ie E in fü h ru n g in d e r L P A u fg a b e e in e r z u sä tz lic h e n N e b e n b e d in g u n g — w e n n ü b rig e h a u p ts ä c h lic h e N e b e n b e d in g u n g e n o hn e irg e n d e i n e r V e rä n d e ru n g b le ib e n — k a n n b is h e rig e n o p tim a le n W e rt d e r Z iel
E inige B em erkungen über die D egeneration...
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fu n k tio n v e rsc h lim m e rn (ein N ie d e rfa ll bei M ax im alisie ru n g ) o d e r d e n selb en a u f b ish e rig e m N iv ea u b e w a h re n , k a n n dag eg en n ic h t d iesen W e rt b esse rn . ((7), S. 145) D e r n u llg le ic h e D u a lp re is in B e zie h u n g a u f e n ts p re c h e n d e r z u s ä tz lic h e r N e b e n b e d in g u n g — in d e r au f d en D u a l p re ise n vo n P ro d u k tio n sfa k to re n b e g rü n d e te n V e ra b re c h n u n g — b e w irk t n ic h t die V e rg rö sse ru n g d e r P ro d u k tio n sk o s te n , w e n n d e r V o rra t des m it d ie se r N e b en b e d in g u n g b ila n z ie rte n P ro d u k tio n s fa k to rs s te ig e rn w ird . M an k a n n d e sh a lb in ö k onom isch b e g rü n d e te r A rt zu V e rg rö sse ru n g des Z ie lfu n k tio n w e rte s d u rc h Ä n d e ru n g e n d e r a b so lu te n G lie d e r in h a u p tsä c h lic h e n e in s c h rä n k e n d e n B e d in g u n g en stre b e n u n d s p ä te r den Z u w ach s des ab so lu te n G liedes in zu sä tz lic h e r e in s c h rä n k e n d e r B e d in g u n g e n tsp re c h e n d an p a ssen . S olches V e rfa h re n s tö rt n ic h t die P rü fu n g v o n S ta b ilitä t d e r O p tim allö su n g d e r L P A u fg ab e a u f n a c h trä g lic h e Ä n d e ru n g von S c h ra n k e n .
* * *
In d u rc h s c h n ittlic h e n H a n d b ü c h e rn ü b e r L in e a re P ro g ra m m ie ru n g u n d d e re r A n w e n d u n g e n in ökono m isch en L e h re n g ib t es n u r A n w e isu n g en w ie im F a lle d e r D e g e n e ra tio n d e r L P A u fg ab e d e r e r e in d e u tig e L ö su n g zu b ek o m m en , d en n die D e g e n e ra tio n o ffe n sic h tlic h ein u n b e q u e m e s u n e rw ü n s c h te s E re ig n is f ü r L ö su n g s- u n d R e c h n u n g s te c h n ik ist. B ish e rig e P r a k tik „des A u s tre te n s von D e g e n e ra tio n ” m a c h t je doch die ökonom ische I n te r p re ta tio n d e r o p tim a le n L ö su n g s e h r arm . Sie p rä s e n tie r t n u r eine von d e r g an zen M enge von a lte r n a tiv e n B asis o p tim a llö su n g e n , die Z ah l d e re r zu sa m m e n m it d e r Z a h l von V a ria b le n u n d N e b e n b e d in g u n g e n m it n u llg le ic h e n a b so lu te n G lie d e rn s e h r sc h n e ll w ä ch st.
Es sc h e in t, dass es s e h r n ü tz lic h w ä re, g e n a u e U n te rs u c h u n g e n d e r D e g e n e ra tio n d e r L P A u fg a b e zu fü h re n . B eso nders w ä re die e v e n tu e lle M ö g lich k eit des B aues von sp ez ie lle m A lg o rith m u s f ü r D ig ita lre c h n e r, w e lc h es die gan ze M enge d e r a lte r n a tiv e n O p tim a llö su n g e n e rfa sse n lasse, ein in te re ss a n te s P ro b lem .
LITERATUR
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6 G. N i e s m e y e r : Ein fü hrung in, die lineare P la n u n g sr e c h n u n g . B erlin 1968. 7 M. S i m o n n a r d : P r o g r a m o w a n i e linio we. P W N , W arszaw a 1967.
W parze dualnej zadań program ow ania lin io w eg o w artości m ak sym alizow an ej fu n k cji celu są m n iejsze lub rów ne w artościom m in im alizow an ej fu n k cji celu. J eśli te zadania n ie są sprzeczne, w artości op tym aln e obu fu n k cji celu są rów ne. M oż na napisać:
(górny w sk a źn ik „o” oznacza rozw iązan ie optym alne).
D obrze znanym w ek on om ii je s t fakt, że ca łk o w icie w y k o rzy sta n e czynniki p rod u k cji m ają dod atn ie ocen y dualne, częściow o w y k o rzy sta n e — rów n e zeru ocen y dualne (zm ienna dualna zw iązan a z w a ru n k iem ograniczającym zadania pierw o tn eg o „ w ięk szy m n iż” lub „m n iejszym n iż” b ęd zie dodatnia, gdy w sp om n ian y w aru n ek ogran iczający je s t rów n y zeru lub b ędzie rów na zeru, gdy ten w arunek m a dodatnią p raw ą stronę). W ydaje się, że dotąd nie sta n o w ił przedm iotu w ię k sz e go za in tereso w a n ia fak t, że ca łk o w icie w y k o rzy sta n e czyn n ik i prod u k cji m ogą p o siad ać oceny d ualne rów n e zeru. J est to ch arak terystyczn e dla pary dualnej zde- g en ero w a n y ch zadań p rogram ow an ia lin io w eg o — z ich a ltern a ty w n y m i rozw iąza niam i op tym aln ym i i ocen am i du aln ym i. P rzyp ad ek b — Z a ijx ° = 0 i jed n o cześn ie y . ° = 0 zo sta ł p otrak tow an y przez autora jako przypadek gran iczn y n ie rów n ości fy — XajjX° > 0 , im p lik u ją cej y? = 0 . M ożna m ów ić o ten d en cji w y k o rzystan ia czyn n ik a p rodukcji na p oziom ie niższym n iż zasób tego czynnika. W nio sek: ca łk o w icie w y k o rzy sta n e czy n n ik i prod u k cji p osiad ają nieujem m e ocen y dualne.
В дуальн ой п аре задач линейного программирования значения максимали- зов^нной ф ун к ц и и ц ели м еньш е или равны знач ениям миним ализованной ф у н кции цели. Если эти задачи не претиворечат друг другу, оптимальны е зн а ч е ния обеи х ф у н к ц и й равны. М ож но записать: S T R E S Z C Z E N I E Р Е З Ю М Е („о” н ав ер х у обозн ач ает оптим альное реш ение). И з вы ш есказанного сл ед у ет общ еи звестн ое в экономии я вление, что полно- сьтю использован ны е производственны е ф акторы имею т п ол ож ительны е ду а л ь ные оценки, частично использован ны е — равны е нулю дуальн ы е оценки (дуаль
Зам ечания о дегенерации оптимальных решений.., 3 0 7 ная переменная, связанная о ограничительным условием первичного задания „больш е” или „меньш е”, будет полож ительной, когда это условие равно нулю или будет равна нулю, когда это условие имеет полож ительную правую сторо ну). П о-видимому, до си х пор не привлекал особого внимания тот ф ак т, что полностью использованны е производственны е ф акторы могут иметь дуальн ы е оценки, равны е нулю. Это характерно для дуальн ой пары дегенерати вны х задач линейного программирования, с их альтернативными оптимальными реш ениям и и дуальны м и оценками. С лучай Ь(— X ачхГ = 0 и одноврем енно у ? = 0 тракту-] ется как предельны й в неравенстве Ь;— X а ихГ ^ ® » из чего сл едует у ° = 0 . ] М ож но говорить о т е н д е н ц и и использования производственного ф ак тора на более низком уровне, чем ресурсы этого ф актора. Вывод: полностью исполь зованны е производственны е ф акторы имеют неотрицательны е дуальн ы е оценки.
