Blok I: Wyrażenia algebraiczne I.1

Blok I: Wyrażenia algebraiczne I.1 Obliczyć

a) 3· 3 · 3 · 3 9· 9 · 9 · 9

b) 6⁴ 3²

c) (

7^x−y1 )¹_x−¹_y

dla xy = 1

d)

((^√7)^x)² (^√7)¹¹

7^x 7¹¹

e) z, jeśli x = 10¹⁴, y = 10^0.7 i x^z= y³

I.2 Uprościć wyrażenia

a) 48x¹²

16x⁴ dla x̸= 0

b) x( x⁵)2

x⁴ dla x̸= 0

c) x( x²)4

(x³)³ dla x̸= 0 d)

(45x⁻⁴y² 9z⁻⁸

)₋₃

dla xyz̸= 0

I.3 Uprościć wyrażenia. Założyć, że wszystkie wykładniki są całkowite, wszystkie mianowniki są różne od zera i że zero nie jest podnoszone do niedodatniej potęgi

a) (x^t· x^3t)² b) (x^y· x^−y)³

c) (3²x⁵y³)⁻² x⁴y⁻⁶

d) (t^a+x· t^x−a)⁴

e) (

m^x−b· n^x+b)x(

m^bn^−b)x

f)

[ (3x^ay^b)³ (−3x^ay^b)²

]²

g) [(x^r

y^t )2(

x^2r y^4t

)₋₂]₋₃

I.4 Uprość wyrażenia

a) 2^5/3/4^7/3 b) 3^−8/11(1/9)^−4/11 c) 12^2/3· 18^2/3

d) 20^7/2· 5^−7/2 e) (x^3/2+ x^5/2)x^−3/2 f) (

x^3/4)8/3

g) x^5/2(x^−3/2+ 2x^1/2+ 3x^7/2)

h) y^1/2(1/y + 2√

y + y^−1/3)

I.5 Zapisać liczby za pomocą pojedynczego symbolu pierwiastka z liczby wymiernej, np.

√3

√3 2 = ⁶

√9 8. a) √

5√⁵ 2 ;

b)

√2√³ 3

√4

5 ;

c)

√3√³ 18

√6

6 ; d)

(√3(√³ 5²)²

√5

6

)1/3

I.6 Zapisać liczby w postaci

a) dziesiętnej: ⁷₄, ⁶₇, ¹²¹₁₁₁, ₂₅₀¹ ;

b*) wymiernej: 0.(7) = 0.777..., 3.14(5), 0.7(35);

c) wymiernej: 1

1 + 1

1 + 1 1 + 1

2

, 1

1 + 1

2 + 1 3 + 1

4 I.7 Obliczyć

a) |8 · (−3)|

b) |(−2) · (−3)|

c) (−4) · (−5) + 7 · (−2) d) 21

4 + 32 3− 13

5 e) 1

18−5 6+ 7

24

f) (

3 7 10−2

3 )−(

52 3+ 7 1

15− 43 5 )

g) 33 4 · 21

5 · 71 2 h) −3

4 ·(18 5 +

(−3 5

)−21 10 )

i) (

33 4+ 52

3 )

: 31 4 ·13

8 I.8 Obliczyć

a) (5⁷: 5³)· 5⁴

b) [(−8)⁶· (−8)²] : (−8)⁴ c) (4⁵: 4²) : (4⁶: 4⁵)

d) (3· 4 · 5)²

e) 2²· 4 · (2²)⁴ 2⁵· 2²

f) 4⁻⁶· 4⁴· (2³· 2⁻⁴)⁻¹

g) (2³)² h)

[(1 3

)3]2

i) [(0, 2)²]³

I.9 Korzystając z wartości bezwzględnej znaleźć odległości między liczbami a i b na osi liczbowej gdy

a) a =−5 i b = −7 b) a =−2 i b = 3 c) a = 8, b = 15

I.10 Wykonaj potęgowania a) (2x−√

3y)² b) (a +√

a +√³ a)²

c) (x + 2√ 2)³

d) (a + b− 1)³

e) (

p +

√ p +√

p )4

f) (

a +1 a+√

a )2

I.11 Rozłóż podane wyrażenia na czynniki a) 4x²− 1

b) 9− 2x²; c) 2x³− 3√³

4x²+ 3√³ 2x− 1

d) a⁴− b⁴

e) x³+ x²− x − 1 f) x³− 24

g) a³+ 125b³

h) a²+ b²− c²− 2ab i*) x⁴+ y⁴

I.12 Uprościć podane wyrażenia a) (x + 3y)²− (x − 3y)² b) (a− 2√

7)(a²+ 28)(a + 2√ 7) c) (x + 1)³− (x − 1)³

d) k− 1 k²+ k· 2k

k²− 1 e) 2x

x + 5+2x− 10 x²− 25 f) a

a− b + b b− a g) x + 8

x −x + 5 x− 3

h) (x− p)⁻¹− (x + p)⁻¹

i) x³+ 3x²− 2x − 6 x²− 2

j) 1 + x + x²+ x³+ x⁴ 1− x

k)

√x²+ 1− x

2 − 1

√x²+ 1 + x

l) x²+ 4x + 3 x³+ 1

m) x²− 1

|x + 1|

n) √

(x + y)²− 4xy

o)

√1− x

1 + x+3x− 1 1− x

I.13 Zapisać wyrażenie kwadratowe w postaci kanonicznej a) x²− 6x + 1

b) 3x²+ 9x c) 10− 4x − x²

d) 1 + x + x² e) 6x− x² f) 2x²− 7x − 1

g) ax²+ bx + c

I.14* Zapisać w postaci ułamków prostych a) x + 1

(x + 2)(x + 3)

b) x

1− x² c) 3x²− 2

x(x + 1)(x + 2)

d) 2x− 1 (x− 2)² e) x− 3

x²− x − 6

f) 1

(x²− 1)(x + 1)

g) 2x + 1 (x + 2)³

h) 1

x(x²+ x + 1) i) x− 5

(x²+ 1)² I.15 Podstawić wskazane wyrażenie za zmienną x i doprowadzić wynik do prostszej postaci

a) x²− 2x, x := t + 1

b) 1

x + 1, x := 2u 1− u

c) x + 1

x− 2, x := t 3t + 1 d) 2x + 3

x− 5 , x := 5y + 3 y− 2

e) 3− x

2x + 1, x := 3− u 2u + 1 f) x + 1

x²− 4, x := s

√s + 1

I.16 Podstawić wskazane wyrażenie za zmienną x i doprowadzić wynik do prostszej postaci

a) √

x²+ 1 , x := 1 2

( t−1

t )

b) √

2x²+ 3x + 1 , x := t²− 1 2√

2 t + 3,

c) x^−1/2(1 + x^1/4)^1/3, x := (u³− 1)⁴ d) √⁴

1 + x⁵, x := (t⁴− 1)^1/5

e)

√

2x²+ 2x√

x²+ 1 + 1

x²+ 1 , x := t

√1− t²

I.17 Uprościć wyrażenia a) (√

x²− 3 − x +√ 3)²

b) 2x(x²+ 1)⁻²

√

1−¹_1+x^−x22

·

√x²+ 1 x²− 1

c) 1

1 + (x−√

1 + x²)² (

1− x

√1 + x² )

d) 1

1 +

( x

1+√ 1+x²

)2 ·1 +√

1 + x²−^√_1+x^x2 2

(1 +√

1 + x²)2

e) x√ x− 3√⁵

x²+ x√⁷ x³ x√³

x

f) x−√³

x²+ x√⁴ x³

√x + x√³ x I.18 Uzasadnij że dla każdej liczby−1 ¬ x ¬ 5 wyrażenie

√

4x²+ 12x + 9 + 2√

x²− 12x + 36 ma stałą wartość.

I.19* W każdym z niżej podanych przykładów znaleźć takie wyrażenie ϕ(t), że po jego podstawieniu w miejsce zmiennej x pozbędziemy się wszystkich pierwiastków, np.

√x +√³

x ^{x := t}−→⁶ t³+ t².

a) x√ x−√⁴

x

√3

x²+ 2√ x + 1

b)

√x + 2− 3√⁵

x²+ 4x + 4 x√³

x + 2− 1

c) x²+√³

x²− 2 −

√ 1

x²− 2 d) ⁴

√ x

x + 1+ x− 2 1 +√

x x+1

e)

√2x + 3 4x− 5 + ³

√4x− 5 2x + 3

f) x²+√√³

x²+ 1− 2

√x²+ 1

I.20 Usuń niewymierności z mianownika następujących ułamków

a) 1

√5− 1

b)

√2

√3 +√ 5

c) 3√ 2−√

√ 7 7−√

2

d) 1

√3

5 + 2

e) 7

9− 6√³ 6 +√³

36

f*)

√√5 +√

√√ 3 5−√

3

g*) 1

1 +√ 2 +√

3

h*) 4

1 +√ 3−√

5

i*) 1

√3

4 +√³ 6 +√³

9 I.21 Oblicz

a) 3−√ 5 3 +√

5

 b) 2√

3−√

√ 5 3 +√

5

 c)

√ (5−√

6)²

d)

√ (√

3− 3)² I.22 Uprość wyrażenia

a) √

(2− a)² b) √

x⁴(1− x)²

c)

√a² a

d) |x − 1| − |x − 3|

e) |1 + x| + |x − 3|

f)  1

x− 1 · |1 − x|

g) |x − 3| + 3|x − 1| dla x > 3

h) |4−x|+|x−2| dla x ∈ (2, 4)

i) 5|x − 4| − |8 − 4x| dla x < 2

j) x²− 1

|x − 1|· |x − 3| dla x > 3 I.23 Przekształcić liczby do prostszej postaci

a) (√

2 +√ 3 +

√ 2−√

3 )2

b) (√ 24 +√

36)² 16− 2√

12 c) √

6 +√ 24−√

54

d)

√5− 1

√5 + 1+

√5 + 1

√5− 1

e) (

25^0.75+ 625^0.25)(

0.2^−3/2− 25^0.5)

f) (

343^1/3− 7√ 7

) [(1 7

)₋₁ + 7^1.5

]

g) |2 − 3√

3| + |3 − 2√ 3|

h) |4 −√

7| − |1 − 3√ 7|

i)  

1−√ 2 4− 3√

2  

j*)

√ 6 + 4√

2 k*) √

19 + 8√ 3 l*) √

7− 2√ 10

m*)

√ 6− 2√

5 +

√

14− 6√ 5

n*)

√

11− 4√ 7−

√

29− 4√ 7

o*)

√ 8− 2√

15−

√

57− 12√ 15 I.24* Wykazać, że zachodzą równości

a)

√ 9− 4√

5 +

√

14− 6√ 5 = 1

b)

√

11− 4√ 7 +

√

16− 6√ 7 = 1

c)

√

19− 8√ 3−

√ 7− 4√

3 = 2

d)

√

18− 8√ 2−

√ 6− 4√

2 = 2 I.25* Oblicz sumy

a) 1

√1 +√

2 + 1

√2 +√

3 + 1

√3 +√ 4

b) 1

√1 +√

2 + 1

√2 +√

3 +· · · + 1

√99 +√ 100

c) 1

√3

1²+√³

1· 2 +√³

2² + 1

√3

2²+√³

2· 3 +√³

3²+· · · + 1

√3

9²+√³

9· 10 +√³ 10² I.26* Rozwiąż równania z wartościami bezwzględnymi (modułami):

a) |x| = 6 b) |x| = π c) |x| = −1 d) |x + 4| = 7 e) |7x + 14| = 28 f) |6 − 7x| = 1

g) |x − 2| = 6 h) |x + 2| = 6 − 2x i) |3x − 2| + x = 11 j) √

(x− 3)²= 3− x k) √

(5− x)²= x− 5 l) |x| − |x − 2| = 2

m) 2|x| − |x + 1| = 2 n) |x − 2| + |x − 7| = 7 o) |1 − x| +√

(3− x)²= 4 p) √

(x− 2)²+√

(3− x)²= 3

q) |x + 1| = |x − 2|

I.27* Rozwiąż równania kwadratowe a) x²+|x − 1| = 1

b) |x²+ 4x + 2| = 5x + 16 3

c) |x²− 6x + 7| = ⁵₃x− 3 d) |x + 1| − |x²− 1| = 0

e) |x²− 1| + |x²− x| = x

I.28 Rozwiąż równania

a) 2|x + 6| + |x − 6| − |x| = 18 b) |5 − x| + |3x − 9| + |x + 2| = 8 c) |7 − x| + |x − 3| + |4x + 8| = −5 d) ||x| − 7| = 9

e) ||x| − 3| = 2 f) ||x + 2| − 5| = 4 g) |7 − |x − 1|| = 2 h) ||x + 1| − 2| = x − 1

I.29 Rozwiąż nierówności z wartościami bezwzględnymi (modułami). Zapisz rozwiązania w formie sumy przedziałów.

a) |x| > 1 b) |x| ¬ 2 c) |x| ¬ 0 d) |x − 2| > 1 e) 1 <|x| < 2 f) 0 <|x − 1| < 1 g) |5 − 2x| < 1

h) |2x − 4| < x − 1 i) |x − 3| + 1 > 2x j) 2 <|x − 1| ¬ 3

k) |2x + 3| − |4x − 3| ­ 0 l) |x − 1| +√

(x− 3)²< 5 m) |6 − x| − |7 − x| > −6 n) |x − 2| + |x − 7| > 7

o) |3x−1|+|2x−3|−|x+5| < 2

p) ||x + 2| − 6| > 2 q) |x − 2| < 3 < x + 2 r) ||2x + 1| − 5| > 2 s) |x + 2| − |x − 1| ¬ x −³₂

I.30* Rozwiąż nierówności

a) x²− 5|x| + 6 < 0 b) |x²− 2x| < x

c) |x − 6| > |x²− 5x + 9|

d) |x−2|−|x−1| ­ |x+1|−5

e) |x³− 1| < x²+ x + 1

f)   1

x + 2  <

 2 x− 1

 g) 

5x− 3 2x + 7

 < 2 I.31 Udowodnić, że

(x +|x|

2 )2

+

(x− |x|

2 )2

= x²

I.32* Udowodnić, że poniższe nierówności są prawdziwe dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y

a) |x + y| ¬ |x| + |y| b) |x − y| ­ |x| − |y| c) |x|−|y| ¬ |x±y| ¬ |x|+|y|

I.33 Masa neutronu wynosi około 0.00000000000000000000000000167 kg. Zapisać ją w notacji wykładniczej.

I.34 Przepisać z notacji wykładniczej do dziesiętnej

a) 7.632× 10⁻⁴ b) 9.4× 10⁵

I.35 Najbliższa gwiadza Alfa Centauri znajduje się w odległości około 4.34 roku świetlnego od Ziemi. Rok świetlny to jednostka astronomiczna długości równa odległości jaką przebywa światło w próżni w ciągu jednego roku zwrotnikowego i wynosi 9.4605× 10¹²km. W jakiej odległości od Ziemi liczonej w km i m znajduje się ta gwiazda. Użyć notacji wykładniczej.

I.36 Odległość Ziemi od Słońca definiuje jednostkę astronomiczną oznaczaną AU i wynosi ona 149 597 870 691 m. Największa odległość Plutona od Słońca wynosi 49.3161 AU. Wyrazić tę odległość w metrach i kilometrach.

I.37 Boki prostokąta są równe x = (2.50± 0.01) m, y = (4.00 ± 0.02) m. W jakim przedziale zawiera się pole prostokata? Jaki jest błąd bezwzględny i względny tego pola, jeśli za boki prostokąta przyjąć wartości średnie?

I.38 Masa ciała wynosi m = (12.59± 0.01) kg a jego objętość jest równa V = (3.2 ± 0.2) dm³. Obliczyć gęstość ciała i oszacować błąd względny i bezwzględny, biorąc średnie wartości masy i objętości.

I.39 Promień koła wynosi r = (7.2± 0.1) cm. Z jakim najmniejszym błędem względnym można obliczyć pole koła, jeśli przyjąć π = 3.14?

I.40 Oszacować ilość cząsteczek powietrza wypełniającego salę o wymiarach 5× 10 × 3 m³. Przyjąć gęstość powietrza 1.3 kg/m³, jego masa cząsteczkowa 29 g/mol.

I.41 Oszacować ilość cząsteczek wody w basenie 25× 10 × 2 m³. Gęstość wody 1 g/cm³, masa cząsteczkowa wody 18 g/mol.

I.42 Oszacować grubość kartki papieru trzymanej w rękach książki, której grubość jest równa 4.4 cm a liczba zawartych w niej stron wynosi 790.

I.43 Oszacować liczbę oddechów i uderzeń serca człowieka w ciągu 70 lat życia. Przyjąć, że częstotliwość oddechów wynosi 16 oddechów na minutę a częstotliwość bicia serca – 70 uderzeń na minutę.

I.44 Oszacować liczbę atomów w 1 m³ciała stałego przyjmując, że średnica atomu jest rzędu 10⁻¹⁰ m.

Odpowiedzi zI.1: a) ₈₁¹; b) 144 = 2⁴· 3²; c) ¹₇; d) 7^11/2; e) z = 0.15;

zI.2: a) 3x⁸; b) x⁷; c) 1; d) ₁₂₅¹ x¹²y⁻⁶z⁻²⁴

zI.3: a) x^8t; b) 1; c) ₈₁¹x⁻¹⁴; d) t^8x; e) (mn)^x2; f) 729x^6ay^6b= (3x^ay^b)⁶; g) x^6ry^−18t;

zI.4: a) ¹₈ = 2⁻³; b) 1; c) 36; d) 128 = 2⁷; e) 1 + x; f) x²; g) x + 2x³+ 3x⁶; h) y^−1/2+ 2y + y^1/6; zI.5: a) ¹⁰√

2²· 5⁵= ¹⁰√

12500; b) ¹²

√2⁶· 3⁴ 5³ = ¹²

√102384

125 ; c) 3√⁶ 2 = √⁶

1458; d) ⁹⁰

√3⁹· 5⁴⁰ 2⁶ ; zI.6: a) 1.75, 0.(857142), 1.(090), 0.004; b) ⁷₉, ²⁸³¹₉₀₀, ³⁹⁴₄₉₅; c) ⁵₈, ³⁰₄₃;

zI.7: a) 24; b) 6; c) 6; d) ²⁵⁹₆₀; e)−³⁵₇₂; f)−5.1; g) ⁴⁹⁵₈ = 61.875; h)−²⁷₄₀ =−0.675; i) ¹¹³₂₄; zI.8: a) 5⁸ = 390625; b) −8⁴ = −4096; c) 4² = 16; d) 60² = 3600; e) 2⁵ = 32; f) 2⁻³ = ¹₈; g) 2⁶= 64; h) ₃¹6 = ₇₂₉¹ ; i) 0.2⁶= 0.000064;

zI.9: a)|a − b| = | − 5 − (−7)| = 2; b) 5; c) 7;

zI.10: a) 4x²− 4√

3xy + 3y²; b) a + a²+ a^2/3+ 2a^3/2+ 2a^4/3+ 2a^5/6; c) x³+ 6√

2x²+ 24x + 16√ 2;

d) a³+ b³+ 3a²b + 3ab²− 3a²− 3b²− 6ab + 3a + 3b − 1;

e) p⁴+ 6p³+ p²+ p + 6p²√p + 2p√p + 4p³√

p +√p + 4p²√

p +√p + 4p√

p²+ p√p;

f) a²+ a + 1

a²+ 2a√ a + 2

√a+ 2

zI.11: a) (2x + 1)(2x − 1); b) (3 +√

2 x)(3−√

2 x); c) (√³

2 x− 1)³; d) (a² + b²)(a + b)(a− b);

e) (x + 1)²(x− 1); f) (x − 2√³

3)(x²+ 2√³

3 x + 4√³

9); g) (a + 5b)(a²− 5ab + 25b²); h) (a− b + c)(a − b − c);

i) (x²+√

2 xy + y²)(x²−√

2 xy + y²);

z1.12: a) 12xy; b) a⁴− 784; c) 6x²+ 2; d) 2

(k + 1)²; e) 2x + 2

x + 5 ; f) 1; g) −24

x(x− 3); h) 2p x²− p²; i) x + 3; j) 1− x⁵

(1− x)²; k) −1 2√

x²+ 1 + x; l) x + 3

x²− x + 1; m) (x− 1) Sign(x + 1); n) |x − y|; o) √2|x|

x²− 1; zI.13: a) (x− 3)²− 8; b) 3(

x + ³₂)2

− ²⁷₄; c) −(x + 2)²+ 14; d) (

x + ¹₂)2

−¹₄; e) −(x − 3)²+ 9;

f) 2( x−⁷₄)2

−⁵⁷₈; g) a (

x + b 2a

)2

− ∆

4a, gdzie ∆ = b²− 4ac;

zI.14: a) −1 x + 2+ 2

x + 3; b) 1 2· 1

1− x−1 2· 1

1 + x; c) 5

x + 2− 1 x + 1−1

x; d) 2

x− 2+ 3

(x− 2)²; e) 1 x + 2; f) 1

4· 1 x− 1 −1

4· 1 x + 1−1

2· 1

(x + 1)²; g) 2

(x + 2)² − 3

(x + 2)³; h) 1

x− x + 1

x²+ x + 1; i) x− 5 (x²+ 1)²; zI.15: a) t²− 1; b) 1− u

1 + u; c)−4t + 1

5t + 2; d) y; e) u; f) s√

s + 1 + s + 1 s²− 4s − 4 ; zI.16: a) t²+ 1

2|t| ; b) 2t²− 3√ 2 t + 2 4t− 3√

2 ; c)

√3

1 +|u³− 1|

(u³− 1)² czyli u

(u³− 1)² gdy u­ 1 lub

√3

2− u³

(u³− 1)² gdy u < 1; d)|t|; e) |t + 1|;

zI.17: a) 2(x −√ 3)(

x−√ x²− 3)

; b)

√2 Sign(x) (x²+ 1)√

x²− 1; c) 1

2(x²+ 1); d) 1 +√ 1 + x²

√(1 + x²)³; e) x^1/6 −

3x^−14/15+ x^2/21; f)

√x−√⁶ x + x√⁴

x 1 +√⁶

x⁵ ;

zI.18: Wyrażenie to można zapisać w postaci √

(2x + 3)²+ 2√

(x− 6)², czyli równoważnie |2x + 3| + 2|x − 6|. Dla −1 ¬ x ¬ 5 argument pierwszej wartości bezwzględnej jest dodatni, a drugiej — ujemny, stąd rownoważna postać tego wyrażenia to 2x + 3 + 2(−x + 6) = 15.

zI.19: a) x := t¹², t¹⁸− t³

t⁸+ 2t⁶+ 1; b) x + 2 := t³⁰, t¹⁵− 3t¹²

(t³⁰− 2)t¹⁰− 1; c) x²− 2 := t⁶, t⁶+ 2 + t²− t⁻³; d) x

x + 1 := t⁴, skąd x = t⁴

1− t⁴, t + 3t⁴− 2

(1− t²)(1 + t²)²; e) 2x + 3

4x− 5 := t⁶, t³+ t⁻²; f)√

x²+ 1− 2 := t³, t⁶+ 4t³+ t + 3 t³+ 2 ; zI.20: a) (1+√

5)/4, b) (√ 10−√

6)/2, c) (2√

14−1)/5, d) (√³ 25−2√³

5+4)/13, e) (9+3√³ 6+√³

36)²/63, f) (√

10 +√

6)/2, g) (√ 2−√

6 + 2)/4, h) 4(3√ 3 +√

5 + 2√

15 + 7)/11, i) zI.21: a) (3−√

5)²/2, b) (11− 2√

15)/2, c) 5−√

6, d) 3−√ 3

zI.22: a)|2−a|, b) x²|x−1|, c) |a|

a =

{ 1 a > 0

−1 a < 0 , d)





2 x­ 3

−2 x¬ 1 2x− 4 1 < x < 3

, e)





2x− 2 x­ 3

−2x + 2 x ¬ −1 4 −1 < x < 3

, f) 1, g) 4x− 6, h) 2, i) 12 − x, j) (x + 1)(x − 3)

zI.23: a) 6, b) 3(20 + 5√ 3 + 8√

6 + 6√

2)/13, c) 0, d) 3, e) 100, f)−294, g) 4√

3− 5, h) 5 − 4√ 7, i) (2 +√

2)/2, j) 2 +√

2, k) 4 +√

3, l)√ 5−√

2, m) 2, n)−√

7− 3, o)√ 3− 2√

5 zI.25: a) 1, b) 9, c) √³

10− 1

zI.26: a) x∈ {−6, 6}, b) x ∈ {−π, π}, c) x ∈ ∅, d) x ∈ {−11, 3}, e) x ∈ {−6, 2}, f) x ∈ {1, 7/5}, g) x ∈ {−4, 8}, h) x ∈ {4/3}, i) x ∈ {−9/2, 13/4}, j) x ∈ (−∞, 3], k) x ∈ [5, +∞), l) x ∈ [2, +∞), m) x∈ {−1, 3}, n) x ∈ {1, 8}, o) x ∈ {0, 4}, p) x ∈ {1, 4}, q) x ∈ {1/2}

zI.27: a) x∈ {0, 1}, b) x ∈ {−2, 1}, c) x ∈ {3, 6}, d) x ∈ {−1, 0, 2}, e) x ∈ {√

2/2, (1 +√ 3)/2} zI.28: a) x∈ [0, 6] ∪ {−12}, b) x ∈ {8/3, 10/3}, c) x ∈ ∅, d) x ∈ {−16, 16}, e) x ∈ {−5, −1, 1, 5}, f) x∈ {−11, −3, −1, 7}, g) x ∈ {−8, −4, 6, 10}, h) x ∈ [1, +∞)

zI.29: a) x∈ (−∞, −1)∪(1, +∞), b) x ∈ [−2, 2], c) x = 0, d) x ∈ (−∞, 1)∪(3, +∞), e) x ∈ (−2, −1)∪

(1, 2), f) x∈ (0, 1) ∪ (1, 2), g) x ∈ (2, 3), h) x ∈ (5/3, 3), i) x ∈ (−∞, 4/3), j) x ∈ [−2, −1) ∪ (3, 4], k) x ∈ [0, 3], l) x ∈ (−1/2, 9/2), m) x ∈ R, n) x ∈ (−∞, 1) ∪ (8, +∞), o) x ∈ (−1/2, 11/4), p) x∈ (−∞, −10) ∪ (−6, 2) ∪ (6, +∞), q) x ∈ (1, 5), r) x ∈ (−∞, −4) ∪ (−2, 1) ∪ (3, +∞), s) x ∈ [9/2, +∞) zI.30: a) x ∈ (−3, −2) ∪ (2, 3), b) x ∈ (1, 3), c) x ∈ (1, 3), d) x ∈ [−7, 3], e) x ∈ (0, 2), f) x∈ (−∞, −5) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞), g) x∈ (−11/9, 17)

zI.33: 1, 67· 10⁻²⁷ kg

zI.34: a) 0, 0007632, b) 940000 zI.35: 4, 1· 10¹³ km = 4, 1· 10¹⁶ m zI.36: 7, 37758· 10¹²m

zI.37: błąd bezwzględny = 0, 09 m², błąd względny = 9· 10⁻³ zI.38: błąd bezwzględny = 0, 3 kg/dm³, błąd względny = 0, 07 zI.39: 0,031

zI.40: 4· 10²⁷ zI.41: 1, 7· 10³¹

zI.42: 5, 57· 10⁻⁵ m = 55, 7 µm

zI.43: ilość oddechów = 5, 88· 10⁸, ilość uderzeń serca = 2, 57· 10⁹ zI.44: 10³⁰