Instytut Matematyki
Arkadiusz Misztela
Pochodne Funkcji Wielu Zmiennych
Analiza Matematyczna II
Materiał Pomocniczy do Zajęć On-line
1 października 2021
1 Pochodne cząstkowe
W tym paragrafie U oznaczać będzieotwarty podzbiórprzestrzeniRn. W przypadku funkcji wielu zmiennych mamy kilka istotnie różnych definicji pochodnych. Zaczniemy od pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.
Definicja 1.1. Pochodną cząstkową funkcji f : U → R względem i-tej zmiennej w punkcie x = (x1, ... , xn) ∈ U nazywamy granicę
∂f
∂xi(x) := lim
τ →0
f (x1, . . . , xi−1, xi + τ, xi+1, . . . , xn) − f (x1, . . . , xn)
τ ,
o ile istnieje. Jeżeli funkcja f ma i-tą pochodną cząstkową w każdym punkcie x ∈ U , to funkcję ∂x∂f
i(·) nazywamy i-tą pochodną cząstkową funkcji f . Przykład 1.2. Funkcja f :R2 → R dana wzorem
f (x1, x2) =
x21 + x2
sin
1
x21 + x22
dla (x1, x2) 6= (0, 0) 0 dla (x1, x2) = (0, 0) jest ciągła i ponadto
∂f
∂x1(0, 0) = lim
τ →0
f (τ, 0) − f (0, 0)
τ = lim
τ →0
τ sin
1 τ2
= 0,
∂f
∂x2
(0, 0) = lim
τ →0
f (0, τ ) − f (0, 0)
τ = lim
τ →0
sin
1 τ2
= nie istenieje.
Uwaga 1.3. Bezpośrednio z definicji wynika, że pochodna cząstkowa funkcji f względem i-tej zmiennej jest „zwykłą” pochodną funkcji f przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych, to znaczy ∂x∂f
i(x) = g0(xi), o ile g(t) = f (x1, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xn).
Przykład 1.4. Pochodne cząstkowe funkcji:
(a) Niech funkcja f : R2 → R będzie dana wzorem f(x1, x2) = x21x22 − ex1x2. Różniczkując funkcję f najpierw względem zmiennej x1 a później względem zmiennej x2 otrzymujemy:
∂f
∂x1(x1, x2) = 2x1x22− ex1x2, ∂f
∂x2(x1, x2) = 2x21x2− ex1.
(b) Niech f : R4 → R będzie dane wzorem f(x1, x2, x3, x4) = sin(x1x2x3x4). Różniczkując f kolejno względem zmiennych x1, x2, x3, x4 otrzymujemy:
∂f
∂x1
(x1, x2, x3, x4) = x2x3x4cos(x1x2x3x4), ∂f
∂x2
(x1, x2, x3, x4) = x1x3x4cos(x1x2x3x4),
∂f
∂x3(x1, x2, x3, x4) = x1x2x4cos(x1x2x3x4), ∂f
∂x4(x1, x2, x3, x4) = x1x2x3cos(x1x2x3x4).
Zadanie 1.5. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
(((a))) f (x1, x2) = 2x1x2+ x21 + x2, (((b))) f (x1, x2) = (x1+ y2)(x21 + x1x2+ 1), (((c))) f (x1, x2) = x1x2+ 1
x21+ x1x22, (((d))) f (x1, x2) = (x21+ x31x32)10, (((e))) f (x1, x2) = x2ex1x2, (((f))) f (x1, x2) = ln(x21+ x22),
(((g))) f (x1, x2, x3) = (x1+ x2x3) cos x2, (((h))) f (x1, x2, x3) = ex1+x2sin(x2x3), (((i))) f (x1, x2, x3) = xx12x3, (((j))) f (x1, x2, x3) = xx1x32 .
Definicja 1.6. Następujący wektor złożony z pochodnych cząstkowych grad f (x) := ∂f
∂x1(x), ∂f
∂x2(x), ... , ∂f
∂xn(x)
!
nazywamy gradientem funkcji f : U →R w punkcie x ∈ U .
Przykład 1.7. Gradient funkcji:
(a) Niech funkcja f : R2 → R będzie dana wzorem f(x1, x2) = x1x2sin(x1x2). Wówczas gradient funkcji f w punkcie (x1, x2) jest równy
grad f (x1, x2) =x2sin(x1x2) + x1x22cos(x1x2), x1sin(x1x2) + x21x2cos(x1x2). (b) Niech funkcja f : R3 → R będzie dana wzorem f(x1, x2, x3) = exp(x1x2x3). Wówczas
gradient funkcji f w punkcie (x1, x2) jest równy
grad f (x1, x2, x3) = x2x3exp(x1x2x3), x1x3exp(x1x2x3), x1x2exp(x1x2x3).
Definicja 1.8. Jeżeli funkcja f : U →R ma wszystkie pochodne cząstkowe oraz istnieje pochodna cząstkowa funkcji ∂x∂f
j : U →R w punkcie x ∈ U dla j = 1, . . . , n, to liczby
∂2f
∂xi∂xj(x) := ∂∂x∂f
j
∂xi (x), i = 1, . . . , n
nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji f w punkcie x. Pochodne postaci ∂x∂2f
i∂xi(x) oznaczać będziemy symbolem ∂∂x2f2 i
(x).
Przykład 1.9. Pokażemy jak liczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f : R2 → R danej wzorem f (x1, x2) = x21x2− 2x1x22. Najpierw liczymy pochodne cząstkowe:
∂f
∂x1(x1, x2) = 2x1x2− 2x22, ∂f
∂x2(x1, x2) = x21− 4x1x2. 3
Następnie liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
∂2f
∂x21(x1, x2) = 2x2, ∂2f
∂x1∂x2(x1, x2) = 2x1− 4x2,
∂2f
∂x2∂x1(x1, x2) = 2x1− 4x2, ∂2f
∂x22(x1, x2) = −4x1. Zauważmy, że pochodne ∂x∂2f
1∂x2(x1, x2) i ∂x∂2f
2∂x1(x1, x2) są równe. Następne twierdzenie przekona nas, że nie jest to przypadek, a reguła.
Twierdzenie 1.10. Jeżeli funkcja f : U →R ma wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu ∂x∂2f
i∂xj, i, j = 1, . . . , n na zbiorze U oraz są one ciągłe, to dla każdego x ∈ U mamy
∂2f
∂xi∂xj(x) = ∂2f
∂xj∂xi(x), i, j = 1, . . . , n.
Przykład 1.11. Funkcja f :R2 → R dana wzorem
f (x1, x2) =
x1x2x21− x22
x21 + x22 dla (x1, x2) 6= (0, 0) 0 dla (x1, x2) = (0, 0)
pokazuje, że Twierdzenie 1.10 na ogół nie jest prawdziwe. Istotnie, zauważmy, że
∂f
∂x1(0, x2) = lim
τ →0
f (τ, x2) − f (0, x2)
τ = lim
τ →0
x2(τ2 − x22)
τ2+ x22 = −x2,
∂f
∂x2(x1, 0) = lim
τ →0
f (x1, τ ) − f (x1, 0)
τ = lim
τ →0
x1(x21− τ2) x21+ τ2 = x1. Następnie policzymy pochodne mieszane funkcji f w punkcie (0, 0):
∂f
∂x1∂x2
(0, 0) = lim
τ →0
∂f
∂x2(τ, 0) − ∂x∂f
2(0, 0)
τ = lim
τ →0
τ − 0 τ = 1,
∂f
∂x2∂x1(0, 0) = lim
τ →0
∂f
∂x1(0, τ ) − ∂x∂f
1(0, 0)
τ = lim
τ →0
−τ − 0
τ = −1.
Zatem pochodne mieszane funkcji f nie są równe.
Zadanie 1.12. Wyznacz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:
(((a))) f (x1, x2, x3) = sin(2x1+ x2x3), (((b))) f (x1, x2) = x1ln(x1+ 2x2), (((c))) f (x1, x2, x3) = x3ex1ex2, (((d))) f (x1, x2) = x2esin(x1+x2), (((e))) f (x1, x2) = arc tg x1+ x2
1 − x1x2, (((f))) f (x1, x2, x3) = arc ctgx1 − x2
x1x3 , (((g))) f (x1, x2) = [sin(x1x2)]x2, (((h))) f (x1, x2) = [tg (x1+ 2x2)]ln x2.
Definicja 1.13. Macierzą Hessego funkcji f : U → R w punkcie x ∈ U nazywamy macierz złożoną z pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, tzn.
Hf(x) :=
∂2f
∂x21(x) ∂x∂2f
1∂x2(x) . . . ∂x∂2f
1∂xn(x)
∂2f
∂x2∂x1(x) ∂∂x2f2 2
(x) . . . ∂x∂2f
2∂xn(x) ... ... . .. ...
∂2f
∂xn∂x1(x) ∂x∂2f
n∂x2(x) . . . ∂x∂2f2 n(x)
.
Uwaga 1.14. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że jeżeli funkcja f : U → R ma wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu i są one ciągłe, to w każdym punkcie x ∈ U hesjan Hf(x) jest macierzą symetryczną, tzn. ∀ x ∈ U : Hf(x) = Hf(x)T.
2 Pochodna kierunkowa
W tym paragrafie U oznaczać będzie otwarty podzbiórprzestrzeni Rn.
Definicja 2.1. Pochodną kierunkową funkcji f : U → R w punkcie x ∈ U w kierunku wektora v ∈ Rn nazywamy granicę
∂f
∂v(x) := lim
τ →0
f (x + τ v) − f (x) τ
o ile ta granica istnieje.
Powyższy rysunek przedstawia pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x w kierunku wektora v jako styczną do krzywej C w punkcie S.
5
Uwaga 2.2. Szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej są pochodne cząstkowe
∂f
∂x1(x) = ∂f
∂e1(x), ∂f
∂x2(x) = ∂f
∂e2(x), . . . ∂f
∂xn(x) = ∂f
∂en(x), gdzie e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , en = (0, . . . , 0, 1).
Przykład 2.3. Niech funkcja f :R2 → R będzie dana wzorem
f (x1, x2) =
x31x2
x61+ x22 dla (x1, x2) 6= (0, 0), 0 dla (x1, x2) = (0, 0).
Pokażemy, że pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie (0, 0) istnieje w każdym kierunku wektora v = (v1, v2), a funkcja f nie jest ciągła w tym punkcie. Istotnie,
∂f
∂v(0, 0) = lim
τ →0
τ4v13v2
τ3(τ4v61+ v22) = 0
dla dowolnego v 6= 0. W konsekwencji pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie (0, 0) istnieje w każdym kierunku wektora v. Pokażemy, że odwzorowanie f nie jest ciągłe w punkcie (0, 0).
Istotnie, weźmy ciąg (1/k, 1/k3) zbieżny do punktu (0, 0), wówczas
k→∞lim f
1 k, 1
k3
= lim
k→∞
1 k6 1 k5 + k16
= 1
2 6= 0 = f (0, 0).
Twierdzenie 2.4. Jeżeli funkcja f : U →R ma ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe na zbiorze U , to istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w każdym punkcie x ∈ U i w każdym kierunku wektora v ∈ Rn, ponadto zachodzi równość:
∂f
∂v(x) = h grad f (x), v i dla dowolnych x ∈ U, v ∈Rn.
Zadanie 2.5. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x w kierunku wektora v:
(a) f (x1, x2) = x21− 2x1x2, x = (2, 1), v = (3, 4), (b) f (x1, x2) = x31+ 2x1x22, x = (0, 1), v = (1, 1),
(c) f (x1, x2) = sin(x1+ x2), x = (0, π/2), v = (−1, 1),
(d) f (x1, x2, x3) = x21+ x1x2x3− x23, x = (2, −1, 3), v = (3, 4, −2), (e) f (x1, x2, x3) = x2+ x3
x1 , x = (2, 1, 1), v = (1, 0, 2),
(f) f (x1, x2, x3) = sin x1+ cos x2 − sin x3, x = (π, 0, −π), v = (0, −2, 2).
Uwaga 2.6. Gradient funkcji wskazuje kierunek najszybszego jej wzrostu. Istotnie, na mocy Twierdzenia 2.4 i nierówności Cauchy’ego-Schwarza otrzymujemy, że
∂f
∂v(x) = h grad f (x), v i6 kgrad f (x)k · kvk = kgrad f (x)k
dla każdego wektora unormowanego v. Oznacza to, iż pochodna kierunkowa w kierunku wektora gradientu jest największa.
3 Pochodna Frécheta funkcji
W tym paragrafie U oznaczać będzie otwarty podzbiórprzestrzeni Rn.
Definicja 3.1. Mówimy, że funkcja f : U → R jest różniczkowalna w punkcie x ∈ U , jeżeli istnieje p ∈ Rn takie, że zachodzi równość
h→0lim
f (x + h) − f (x) − h p, h i
khk = 0.
Wektor p nazywamy pochodną Frécheta funkcji f w punkcie x i oznaczamy f0(x).
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie dziedziny, a funkcję f0 nazywamy pochodną Frécheta funkcji f .
30 wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015
Definicja 2.24 (płaszczyzna styczna do wykresu funkcji). Jeśli f : Ω → R jest róż- niczkowalna w punkcie a , to płaszczyzną styczną do wykresu f w punkcie ( a , f ( a )) ∈
Rn+1 nazywamy zbiór
T = {( x , xn+1) ∈ Rn × R = Rn+1: Df (a )( x − a ) = xn+1 − f ( a )}
Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji różniczkowalnej f : R2 ⊃ Ω → R w punkcie ( p , f ( p )) ∈ R3 ma równanie
fx1(p )(x1 − p1) + fx2(p ) · (x2 − p2) = x3 − f ( p ) Wektor (−fx1(p ), −fx2(p ), 1) ∈ R3 jest prostopadły do płaszczyzny stycznej.
Po lewej: w punkcie ekstremum lokalnego fx = fy = 0 i tam płaszczyzna styczna jest pozioma.
Innymi słowy, zbiór T jest wykresem odwzorowania afinicznego Rn 3 x 7−→ φ( x ) = f ( a ) + Df ( a )( x − a ) ∈ R .
Wprost z definicji różniczki wynika, że dla x → a jest f ( x ) − φ( x ) = o(k x − a k). Widzie- liśmy też, że ten warunek określa odwzorowanie φ jednoznacznie. To uzasadnia nazwę płaszczyzna styczna. Zauważmy, że jeśli Df ( a ) = 0, to przekształcenie φ jest stałe, a więc
jego wykresem jest hiperpłaszczyzna xn+1 = const.
Podamy teraz warunek konieczny istnienia ekstremum4 funkcji w punkcie wewnętrz-
nym dziedziny.
Stwierdzenie 2.25 (lemat Fermata). Jeśli funkcja f : Rn ⊃ Ω → R ma ekstremum lokalne w punkcie a ∈ Ω i jest w tym punkcie różniczkowalna, to
Df (a ) = 0 , lub równoważnie ∂ x∂ fi(a ) = 0 dla i = 1, 2 . . . , n.
4Definicja maksimum (minimum) lokalnego jest analogiczna, jak w wymiarze 1; trzeba tylko przedział wokół danego punktu w dziedzinie zastąpić kulą o środku w tym punkcie.
Pochodną Frécheta funkcji f w punkcie x0 geometrycznie interpretuje się jako płaszczyznę styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f (x0)). Płaszczyzna styczna ma równanie
y − f (x0) = h f0(x0), x − x0i.
Zauważmy, że f0(x0) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny stycznej.
7
Twierdzenie 3.2. Jeżeli funkcja f : U →R ma pochodną Frécheta w punkcie x ∈ U , to istnieją pochodne cząstkowe w tym punkcie oraz zachodzi równość f0(x) = grad f (x).
Przykład 3.3. Niech funkcja f :R2 → R będzie dana wzorem f (x1, x2) =
x21x2
x21+ x22 dla (x1, x2) 6= (0, 0), 0 dla (x1, x2) = (0, 0).
Funkcja f ma pochodne cząstkowe w całej płaszczyźnie. W punkcie (x1, x2) 6= 0 pochodne cząstkowe istnieją, ponieważ funkcja f jest funkcją wymierną. Natomiast w początku układu współrzędnych mamy ∂x∂f
1(0, 0) = ∂x∂f
2(0, 0) = 0. Mimo że pochodne cząstkowe funkcji f istnieją w całej płaszczyźnie, to jej pochodna Frécheta w punkcie (0, 0) nie istnieje. Istotnie, jeżeli f0(0, 0) istniałaby, to f0(0, 0) = (0, 0) oraz
(h1,hlim2)→(0,0)
h21h2
(h21+ h22)qh21+ h22
= 0,
co nie jest możliwe, gdyż granica ta nie istnieje, wystarczy wziąć (h1k, h2k) = (1/k, 1/k).
Przykład ten pokazuje, że twierdzenie odwrotne do powyższego nie zachodzi bez dodatkowych założeń o pochodnych cząstkowych.
Twierdzenie 3.4 (Schwarza). Jeżeli f : U → R ma wszystkie pochodne cząstkowe oraz są one ciągłe na zbiorze U , to f ma pochodną Frécheta w każdym punkcie x ∈ U .
Przykład 3.5. Niech funkcja f :R2 → R będzie dana wzorem f (x1, x2) =
(x21 + x22) sin
1
x21 + x22
dla (x1, x2) 6= (0, 0), 0 dla (x1, x2) = (0, 0).
Pochodne cząstkowe funkcji f istnieją w całej płaszczyźnie. W punkcie (x1, x2) 6= 0 mamy
∂f
∂x1
(x1, x2) = 2x1sin 1 x21+ x22
!
− 2x1
x21+ x22 cos 1 x21+ x22
!
,
∂f
∂x2(x1, x2) = 2x2sin 1 x21+ x22
!
− 2x2
x21+ x22 cos 1 x21+ x22
!
, zaś w początku układu współrzędnych ∂x∂f
1(0, 0) = ∂x∂f
2(0, 0) = 0, gdyż limτ →0τ sinτ12 = 0. W punkcie (0, 0) pochodne cząstkowe nie są ciągłe, wystarczy wziąć x1k = x2k = √1
2kπ. Mimo że pochodne cząstkowe nie są ciągłe, to istnieje pochodna Frécheta funkcji f w całej płaszczyźnie.
Istotnie, ponieważ w otoczeniu każdego punktu (x1, x2) 6= 0 pochodne cząstkowe funkcji f są ciągłe, więc z Twierdzenia 3.4 pochodna Frécheta w tych punktach istnieje. Natomiast w punkcie (0, 0) pochodna Frécheta istnieje i jest równa (0, 0), gdyż
0 = lim
(h1,h2)→(0,0)
q
h21+ h22· sin 1 h21+ h22
!
= lim
(h1,h2)→(0,0)
f (h1, h2) − f (0, 0) − h(0, 0), (h1, h2)i k(h1, h2)k .
Twierdzenie 3.6. Załóżmy, że pochodne cząstkowe funkcji g1, . . . , gm : U →R w punkcie x ∈ U istnieją i niech g : U → Rm będzie funkcją daną wzorem g = (g1, . . . , gm). Jeżeli funkcja f : Rm → R ma pochodną Frécheta, to pochodne cząstkowe funkcji f ◦ g : U → R w punkcie x istnieją oraz zachodzi reguła łańcucha:
∂ f ◦ g
∂xk
(x) =
m
X
i=1
∂f
∂xi
g(x)· ∂gi
∂xk
(x).
dla k = 1, . . . , n.
Przykład 3.7. Załóżmy, że funkcja Hamiltona H : R2 → R jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Jeżeli funkcje q, p :R → R są różniczkowalne i spełniają układ równań Hamiltona:
q0(t) = ∂H
∂p(q(t), p(t)), p0(t) = −∂H
∂q (q(t), p(t)),
dla każdego t ∈ R, to odwzorowanie h : R → R dane wzorem h(t) = H(q(t), p(t)) jest stałe.
Istotnie, stosując regułę łańcucha do funkcji h otrzymujemy h0(t) = ∂H
∂q (q(t), p(t)) · q0(t) + ∂H
∂p (q(t), p(t)) · p0(t)
= ∂H
∂q (q(t), p(t)) · ∂H
∂p (q(t), p(t)) −∂H
∂p(q(t), p(t)) · ∂H
∂q (q(t), p(t)) = 0,
dla każdego t ∈ R. Zatem na mocy twierdzenia Lagrange’a funkcja h jest stała. Równania Hamiltona opisują ruch w standardowym układzie zachowawczym. Funkcje q oraz p wyrażają położenie i pęd układu, odpowiednio. Natomiast wielkość h(t) = H(q(t), p(t)) jest całkowitą energią układu w czasie t. Zatem energia tego układu jest zachowana, gdyż funkcja h jest stała.
Uwaga 3.8. Pochodną funkcji rzeczywistej f : U → R w punkcie x ∈ U jest wektor grad f (x) złożony z pochodnych cząstkowych. Natomiast pochodną funkcji wektorowej f : U → Rm w punkcie x ∈ U jest macierz Jf(x) złożona z pochodnych cząstkowych funkcji f1 : U →R, . . . , fm : U →R będących składowymi funkcji f : U → Rm, gdzie
Jf(x) :=
∂f1
∂x1(x) . . . ∂x∂f1
n(x) ... . .. ...
∂fm
∂x1(x) . . . ∂f∂xm
n(x)
.
Macierz Jf(x) nazywamy Macierzą Jacobiego funkcji f : U →Rm w punkcie x ∈ U .
Definicja 3.9. Mówimy, że funkcja f : U → Rm jest różniczkowalna w sensie Frécheta, jeżeli funkcje f1 : U → R, . . . , fm : U → R będące składowymi funkcji f : U → Rm są różniczkowalne w sensie Frécheta. Ponadto wtedy f0(x) = Jf(x) dla każdego x ∈ U .
9
Twierdzenie 3.10. Załózmy, że U , V są podzbiorami otwartymi Rn, Rm, odpowiednio, oraz funkcje g : U → V , f : V → Rk są różniczkowalne w sensie Frécheta. Wówczas funkcja f ◦ g : U →Rk jest różniczkowalna w sensie Frécheta oraz
Jf ◦g(x) = Jf(g(x)) · Jg(x) dla każdego x ∈ U .
4 Wzór Taylora
W tym paragrafie U oznaczać będzie otwarty podzbiórprzestrzeni Rn.
Definicja 4.1. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów funkcji f : U → R definiujemy rekurencyjnie. Złóżmy, że funkcja f ma wszystkie pochodne cząstkowe k–tego rzędu
∂kf
∂xjk··· ∂xj1 : U → R, 1 6 j1, . . . , jk 6 n. Wówczas pochodne cząstkowe rzędu k + 1 funkcji f w punkcie x ∈ U definiujemy jak następuje
∂k+1f
∂xjk+1∂xjk· · · ∂xj1(x) :=
∂
∂kf
∂xjk··· ∂xj1
∂xjk+1 (x), jk+1= 1 . . . , n.
Mówimy, że funkcja f : U → R jest klasy Ck, jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe k–tego rzędu funkcji f i są one ciągłe na zbiorze U .
Definicja 4.2. Załóżmy, że funkcja f : U → R jest klasy Ck. Różniczką k–tego rzędu funkcji f : U → R w punkcie x ∈ U nazywamy funkcję dkf (x) : Rkn → R zmiennych hi = (hi1, . . . , hin) ∈Rn, i = 1, . . . , k daną wzorem
dkf (x)(h1, . . . , hk) =
n
X
j1,...,jk=1
∂kf
∂xjk· · · ∂xj1(x) · h1j1· · · hkjk.
Można wykazać, że różniczka k–tego rzędu dkf (x) jest funkcją k–liniową, tzn. liniową ze względu na każdą zmienną. W celu uproszczenia zapisów wprowadzimy następujące oznaczenie dkf (x)hk = dkf (x)(h1, . . . , hk) jeżeli h = hi dla każdego i = 1, . . . , k.
Zbiór typu[x, y] = { x + τ (y − x) | τ ∈ [0, 1] } będziemy nazywaćodcinkiem łączącym punktx z punktem y w przestrzeni Rn.
Twierdzenie 4.3 (Wzór Taylora). Jeżeli funkcja f : U → R jest klasy Ck+1 i odcinek [x, x + h] zawiera się w U , to istnieje 0 < θ < 1 takie, że
f (x + h) = f (x) + df (x)h
1! +d2f (x)h2
2! + · · · + dkf (x)hk
k! +dk+1f (x + θh)hk+1 (k + 1)! .
Uwaga 4.4. W przypadku funkcji dwóch zmiennych f :R2 → R różniczkę k–tego rzędu można wyrazić następującym wzorem
dkf (x1, x2)(h1, h2)k =
k
X
i=0
k i
! ∂kf
∂xk−i1 ∂xi2
x1, x2hk−i1 hi2.
Przykład 4.5. Wyznaczymy cztery pierwsze wyrazy wzoru Taylora funkcji f :R2 → R danej wzorem f (x1, x2) = ex1sin x2 w otoczeniu punktu (0, 0). Istotnie
df (x1, x2)(h1, h2) = h1ex1sin x2+ h2ex1cos x2,
d2f (x1, x2)(h1, h2)2 = h21ex1sin x2+ 2h1h2ex1cos x2− h22ex1sin x2,
d3f (x1, x2)(h1, h2)3 = h31ex1sin x2+ 3h21h2ex1cos x2− 3h1h22ex1sin x2− h32ex1cos x2. Cztery pierwsze wyrazy wzoru Taylora w otoczeniu punktu (0,0) są dane jako
f (h1, h2) = h2 + h1h2 +1
2h21h2− 1
6h32+ d4f (θh1, θh2)(h1, h2)4
24 .
Zadanie 4.6. Podać cztery pierwsze wyrazy wzoru Taylora funkcji f : R2 → R w otoczeniu punktu (0, 0), jeżeli
(((a))) f (x1, x2) = x21+ x22+ 2x42, (((b))) f (x1, x2) = ex1cos x2,
(((c))) f (x1, x2) = ex1ln(1 + x2), (((d))) f (x1, x2) = 2x31+ x22+ x21x2, (((e))) f (x1, x2) = ex1x2, (((f))) f (x1, x2) = ln(1 + x1x2).
11
