Responsiebeschrijving van de dry hull met behulp van de methode der natuurlijke coordinaten

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT

AFDELING DER SCHEEPSBOUW- EN SCHEEPVAARTKUNDE Laboratorium voor Scheepsconstructies

RESPONSIEBESCHRIJVING VAN DE DRY HULL MET BEHULP

VAN DE METHODE DER NATUURLIJKE:OORDINATEN

Voordracht van Prof. R. E'. D. Bi8hop

bewerkt door J.J. Rei jmers.

Augustus 1981 Rapport nr.

SSL 244

4

-1-INHOUD blz. Nomenclatuur. 11 Inleiding. 1.2 1.1. De traditionele benadering. 1.2 1.2. Het balkinodel. 1.2 1.3. De bevegingsvergelijking. 1.6 Symmetrische bewegingen. 2.1. De bewegingsvergelijkingen. 2.2 2.2. De trilvorinen. 2.3 2.3. De orthogonaliteitsvoorwaarde. 2.6

2.4. Analyse van de reaponsie. 2.7

2.5. Natrixnotatie. 2.9 Vlakwater responsie. 3.1. De statische belasting. 3.2 3.2. Trilvormanalyse. 3.2 3.3. Resultaten. 3.4 Demping.

4.1. Demping van, de "Dry Hull" bij

symmetrische bewegingen. 4.2

4.2. Theoretische grondsiagen van de demping. 4.2

4.3. Experimentele bepaling van de demping. 4.3

4.4. Schatting van de dempingscofficinten. 4.4

Antisymmetrische bewegingen.

5.1. De bewegingsvergelijking van de "Dry Hull". 5.2

5.2. De trilvormen. 5.4

5.3. De orthogonaliteitsvoorwaarden. 5.5

5.4. Gedwongen antisymmetrische bewegingen. 5.6

NOMENCLATUUR

1Ml : rnassamatrix

m. : element van de mas samatrlx rr

ICI dempingsmatrix

e :. element van de gediagonaliseerde dempingsmatrix IKI : stijfheidsmatrix

k : element van de stijfheidsmatrix

rr -

-rn : massa per lengte-eenheid

y : verpiaatsing in y-richting

w

: verplaatsiñg in z-richting

O : hoekverdraaiing tg.v. buiging

y : schuifhoek

4) -: rotatie orn een as -evenwij dig aan de x-as

M

: buigend moment

Q : dwarskractit

MT -: torsiernornent

q : verdeelde belasting in y-richting

- :- verdeeldebelasting in z-richting':

verdeeldetörsiebelästing kAG : schuifstijfheid

Et : buigs:tij.fheid

C(x) : .torsiestijfheid van de St. -Venant-torsie, CId

C1(x) : torsiestijfheid van de welvingsverandèringstorsie, EI

màssattaagheidsmomenten per lengte-eenheid:

1(x)

: orn een as evenwijdig aan de y-as : orn een as evenwijdig aan de z-as

: orn een as doór het zwaartepunt evenwijdig aan dez-as

: orn een as-door bet dwarskrachtmiddelpunt evenwijdig aan de x-as Ax : lengte van een balkelemént

ct(x) : dempingscofficint van de afschuiving

ß(x) : dempingscofficint van de buiging

v(x) -: dempingscofficint van de torsie

: dirnensieloze demp-ingscoffícint

: logari-trnischdecrement

d : eenheidsdempingsenergie

D : gedissipeerde energie per periode van belasting Wr : natuurlijke. frequentie van de r-de trilvorm

:natuurlijke cordinaat van de r-de trilvorm

: Kronecker 5-funktie

rs -

-C : zwaartepuñt -.

S - : dwarskrachtmiddelpunt

Vkfl

20

MAX. SNELHEID ZONDER

VERMOGEN TE

N.

MINDEREN

10 D o 10 20

WINDSNELHEID

rn/s

I

¡ I I I I f I

01

2 3 4 5 6 7 8

BEAUFORT SCHAAL

FIG. 1.1

VERHOOGDE WEERSTAND

vert.

verptaatsing

FIG. 1.2

PAALTJES PIKKEN

Het dynamisch gedrag vanschepen in golven valt uiteen m de scheepsbewegingen,

dit zijn starre verplaatsingen en verdraaiiùgen, en in de scheepsvervormingen : tengevolge van buiging en torsie.. Bishop: en Price hebben een methode voorgesteld

orn deze twee gebieden. integraal te benaderen. Het nU volgende overzicht van deze. methode is slechts een stand van zaken, omdat: het werk geenszins:. afgerond is.

De ontwikkeling van de theorie houdt geen gelijke tred met de ontwikkeling van

computerprograinma's, zodat tegen de tijd dat een computerprogramma operationeel

is, detheorie voor ligt. Vandaar dat slechts een indruk gegeven kan worden.

1.1. DE TRADITIONELE BENADERING

Golven vormen voorhet schip een dynamische belasting met als mogelijke gevolgen:

een verhoogde weerstand, ziè f iguur 1;

-het overnemen van water, waardoor beschádiging van romp en dekuitrusting kan

optreden; :

- paaltjespikken door de relatief hoge vertikale snelheid van het vootschip

ten opzichte van het wateroppervlak, waardoor een 'piekbelasting ontstaat,

zie figuur 2; .

- grate vertikale versneIlingen, waardoor zeeziekte kan optreden; - verhoogde materiaalspanningenin de romp.

Bij de traditionele benadering van de responsie op de golfbelasting kamt het dynamische aspekt alleen in de scheepsbewegingen naar varen. De vervormingen en materiaalspanningen worden berekend door het schip te onderwerpen aan een statische belasting tengevolge van éen standaardgolf, eventueel gecorrigeerd voor springing /1/ en /21. Deze semi-empirischeaanpak-is-ontstaan-door.-de

-behoefte aaneenrekenmethode. Hoewel de scheepstrillingen reeds lang onderzocht zijn met behulp van een balkmodel/3/, waren deze resultaten voor berekeningen niet toepasbaar in verband met het gebrek aan rekencapaciteit. Door de komst van de moderne rekenmachines kan de standaardgolf-methode nu plaatsmaken voor een analytische benadering, waarbij behalve langsscheepse buiging oak torsie be-schouwd kan worden. Torsie is namelijk door de opkomst van de open scheepstypes, zoals containerschepen, steeds belangrijker geworden. Door de algemeenheid van de methode kunnen behalve de responsie op golfbelastinen ook de responsies op andere eccitatiebronnen, zoals de scheepsschroef, bepaald worden.

1.2. HET BALKMODEL

Ret schip kan gernodelleerd wordèn als een balk, indien de lengte vrij groat is

ten-opzichte van de dwarsafmetingen. Wanneer echter de slankheid afneemt,wordt

de afschuiving steeds belangrijiker. Daarom wordt het schip opgevat als een balk, /4, blz. .432/, /5/, zie f iguur 1.3 en 1.4. Bij de

Timoshenko-?ñ(x)

,

EI (x)

q2(x,t)

FIG. 1.3

HET SCHIP OPGEVAT ALS

EEN BALK

z

-

1.3-z

FIG. 1.4 DE TIMOSHENKO-BALK

X

J.4

-balk worden zowel afschuiving als rotatietraagheid in rekening gebracht. 0m een

indruk te krij gen van de grootte van deze invloeden, voigt hieronder een

over-zieht van de eerste vier eigenfrequenties van een torpedobootjager voor vier verschillende gevallen, nameiijk:

Geval Correctie voor afschuiving Correctie voor rotatietraagheid

I neen neen

II ja neen

III neen ja

IV ja ja

De resultaten zijn in tabelvorm samengevat:

Ceval I geef t het balkmodel van Euler-Bernoulli veer en geval IV de

Timoshenko-balk. De correcties hebben de volgende kenmerken:

Hoe hoger de eigenfrequentie, hoe belangrijker de correcties. Elke correctie verlaagt de eigenfrequentie.

De invloed van afschuiving is belangrijker dan de invloed van rotatietraagheid.

Bij berekening van de responsie wordt op basis van het superpositiebeginsel een willekeurige vervorming bepaald als de som van de eigentrilvormen. De sterkte vaarmee een eigentrilvorm bijdraagt in de responsie wordt als co6rdinaat opgevat, vandaar de term Normal Mode Method. 0m het eigentrillingsgedrag van een balk te

onderzoekèn wordt de invloed van het water afwezig gedacht, alsof de balk vrij in de ruimte beweegt. Dit is de zogenaamde "Dry Hull" conceptie /6/. De afwezigheid van de hydrodynamische invloeden, zoals toegevoegde massa, demping en veerwerking

van het water geef t aanleiding tot oplossingen van eigentrilvorinen, zoals in f iguur 1.5 is weergegeven voor het vertikale buigtrillingsgedrag.

Er wordt een onderseheid gemaakt in symmetrische en anti-symmetrische

vervormin-gen. De symmetrische vervormingen bescl-irijven het vertikale buigtrillingsgedrag

en de anti-symmetrische vervormingen het gekoppelde horizontale buig- en

torsie-trillingsgedrag.

De eigenfrequentie van de "Dry Hull" ugt voor een bepaalde trilvorm echter niet eenduidig vast. Zo ligt de 8-ste eigenfrequentie van een 250.000 tdw tanker in

2 14.81 13.68 14.69 13.60

3 33.77 27.44 33.27 27.24

4 57.39 40.42 56.18 40.15

5 96.91 58.45 93.63 58.12

Aantal Eigenfrequentie (rad/s) in geval: knopen

s

r =0

r=1

r=2

r=3

-

1.5-D O MP EN S TA MPE N

(I

3 KNOOPS

I

1.6

-ballast in de buurt van de 75 rad/s (12 Hz). In volbeladen toestand zakt deze

eigenfrequentie naar 45 radIs (7 Hz). Bij berekening van de responsie moet dus de gewenste eigenfrequentie gebruikt worden.

1.3. DE BEWEGINGSVERGELIJKINGEN

Toepassing van de Normal Mode Method resulteert analoog aan een meervoudig massa-veersysteem in de bewegingsvergelijkingen:

IMI{i} + IcI{} + IKI{p} = {Q(t)}

1.1

Het linkerlid stelt de "Dry Hull" voor, gexciteerd door de gegeneraliseerde be-lasting (Q(t)). Deze gegeneraliseerde bebe-lasting bevat de hydrodynamische invloeden van het water. De matrices

_{MI, ICI}

en _IKI zijn respectievelijk de massa-,

dempings- en stijfheidsmatrix. _1Ml is positief-definiet en

_Ici

en _IKI zijn

semi-definiet. De verplaatsingsvector p bestaat uit de natuurlijke c&3rdinaten

(principle coordinates).

{p} = {p0, p _Pn) 1.2

In de nu volgende hoofdstukken worden de elementen m van de massainatrix, c

rr rs

van de dempingsmatrix en 1rr van de stijfheidsmatrix afgeleid, evenals de

gegene-raliseerde belastingsvector {Q(t)}.

Doordat de vervormingen van de scheepsromp klein zijn, is linearisatie van de bewegingsvergelijkingen toegestaan, maar of linearisatie ten aanzien van de

Mb(x,t)

2.1

-FIG. 2.1 EEN BALKELEMENT

Ax

9w(x,t)

aMB(x,t)

2.2

-2. SYMMETRISCHE BEWEGINCEN

2. 1. DE BEWEGINCSvERGELIJKINGEN

In figuur 2.1 is een balkelement & weergegeven met de daarop werkende belasting

in het assenstelsel OXYZ. Dit balkelement stelt een gedeelte van de romp

voor ter lengte tx, waarbij het OXZ-vlak bet symmetrieviak is tussen stuur- en bakboord. De x-as ugt in langsrichting van bet schip.

Ret vertikale evenwicht vereist:

(x)x

a2w(x,t) aQ(x,t) + q(x,t)Ax

at2 ax

de verdeelde massa per lengte-eenheid; v(x,t) de verplaatsing in z-richting;

Q(x,t) de dwarskracht.

Ret rotatie-evenwicht vereist:

a20(x,t) aMB(x,t)

I(xThx

_{at2 = ax} + Q(x,t)Ax

1(x)

= het massatraagheidsmoment per lengte-eenheid van bet balkelement in

y--richting orn het zwaartepunt;

Ø(x,t) = de hellingshoek t.g.v. buiging; Mß (x,t) = het buigend moment.

De kinematische voorwaarde luidt:

- O(x,t) + y(x,t) ax

y(x,t) is de schuifhoek.

Deze drie vergelijkingen vormen de basis voor de balkhypothese van Timoshenko. Wanneer de rotatietraagheid wordt verwaarloosd, gaat vergelijking 2.2 over in:

Q(x,t)

-ax

Verwaarlozing van de afschuiving geef t met 2.3:

O(x,t) aw(x,t) ax

Ret verband tussen buigend moment en vervorming wordt gegeven door:

2.1

2.2

2.3

2.4

Mß(x,t) = EI(x)

Substitutie van MB in 2.4 geeft:

Q(x,t) .

{-i(x)

a2w(xt)} 2.7

Substitutie van Q(x,t) in vergelijking 2.1 geef t de kiassièke balkhypothese van Eulér-Bernoulli:

;()

a2 xt)

{EI(x)

!-t--}

=q(c,t)

2.8.

Bestudering van de Timoshenko-balk vraagt een nadere beschouwing van de fysische

eigenschappen van de. balk, nameiijk het verband tussen de vervorming en het

búigend moment ntusseri vervorming en dwarskracht. Dit verband wordt gegeven

door de vergelijkingen van, Kumai /7/: ' a o (x, t)

ax'

t) Ei(x) --.IO(x,t) '+ (x) ao(x,t)1

kAG(x) de schu±fstijfheid;

k = een cofficint afh'ankèlijk van de doorsnede:; = de cofficint van de schuifdemping; (x) = de coefficient van de buigdemping

.-Substitutie van de vergelijkingen 2.9 eu 2.10 i'n ,e vergéiijkingen 2.1 _tIm 2.3 geeft:onder weglating van de funktie-variabelen:

- .- {i .-. (0, ₊

)} - kAG(y +

cd)' =' O

aw

2.2. DE: TRILVORMEN

Bij een ongedeinpte vrije trilling, dus q = = = 0, heel

t

het baikmodl een

oneindig aantal eigenf.requenties en eigentrilvormen. De vervorming bi een

eigen-frequentie is plaats- en tijdsafhankelijk. Wanneer deplaatsfunktie en de

tijds--

2.3 -:

= EI(x) a2w(x,t) 2.6 Q(

t)

kAG(x) Jy( , 2.9 2.10'

2.11

2.112 2. 13

2! - ç

z

z

R

Mb_

24

-DQX

FIG. 2.2

GEIDEALISEERDE BALK MET

PU NTMASS A S

FIG. 2.3

ELASTISCHE VERVORMING VAN EEN

B AL KE LE ME NT

I

funktie als onafhañkelijk aangenomen worden, .kunnen de vervormingen voorges teid worden door:

v(xt)

_{= Wr(X) SIflLA)rt}

O.(x,t) Siflhj)t 2. 14.

..y(x,t)

= SIflLi)t

Bij.de r-de trilvorm met een eigenfrequentie w zijn de vervormingenover de lengte verdeeld volgens: w., 9.

Substitutie van de vergelijkingen 2 14 in 2 11 tIm 2 13 met q

= a = ß

= O geeft -w2mw

- ¿ (kAG1) = O

-w21 O -. -- (El

_!)

kAGy

ryr

x Bx r

r

=0 +y

_{3x r r}

'Met behuip van dë.randvoorwaarden zijn uit deze vergeIijtkingen de eigenfrequenties en -vervormingen te bepalert.

Eeñ numerieke methode ter bepaling van de triivormen is de aanpak van Mykiestad en Pröhl/8, biz. 243/. Volgens dezemethode wordt de continu verdeeldebalkmassa

ondergebracht in een aantal. puntmassa's op een massaloze balk. Het balkdeel. tussen

twee massa's heeft een constante buigstijfheid In f iguur 2 2 is deze gedeali-seerde vorm van een balk weergegeven Voor de dwarskrachten en momenten uit deze

f iguur gelden de vergeiijkingen:

= Mr

i. r ₂

(j

=Q -wmw

n n

nn

De elastische vervorming van hét balkelement L staat afgebeeid in f igúur 2.3. Met behuip van. de. vergeet-me-nietjes ontstaañ voor de verplaatsing en de verdraai Ing de:vérgeiijkingen:

L3

L n i n

= w_1 + LO_ì + M2çEfl

_{n 3(EI)}

t

in

1 n

= 0n-i + Mn (El) Q 2(EI)

2.5

-'in- I

Mr _{= M1 - Q1L}

n-1 n

nn

Er zijndusvergelijkingen voor w en O ter plaatse van massa n enmassa'n-.Ien

2.15

2.1

2.6

-vergelijkingen voor M en Q links en rechts van balkelement Z en massa m.

Het is nu mogelijk orn het verband te geven tussen w, 0, M en _Q rechts van massa

in en w, 0, N en _Q rechts van massa m

n n-1

In rnatrixvorm wordt dit verband gegeven door:

Te begitnen niet de randvoorwaarden voor n = O kan op deze wijze de balk

doorgere-kend worden. Het uiteindelijk resultaat is een matrixvergelijking tussen w, 0, M en Q ter plaatse van massa's aan de emden yap de balk. Met behuip van de rand-voorwaarden volgen de eigenfrequenties en de vervormingen hieruit.

De trilvormen worden za geschaald dat ter plaatse van de achtersteven een een-heidsverplaatsing optreedt, dus wr(0) 1. De starre bewegingen dompen en stampen

hebben eenvoudig te bepalen trilvormen, namelijk voor het dompen: w0(x) = 1. Met de cordinaat voor het massamiddelpunt wordt de stampbeweging beschreven door: w1(x) = I - . Door de afwezigheid van vervorming geldt voor r = O en 1:

= O. Vanneer vervorming optreedt (r > 2) kunnen de trilvormen bepaald worden met de Mykiestad-Prohi methode.

2.3. DE ORTHOGONALITEITSVOORWAARDE

Een stelsel funkties f wordt orthogonaal genoemd indien geldt:

ff .f = c.6

r s rs

Hierin is (S de Kronecker delta-funktie. rs

I indienr=s

{

O indien r s.

w(x), 9(x) en Yr(X) vormen jeder een stelsel orthogonale funkties /9, biz. 121/. De orthogonaliteitsvoorwaarde luidt: Z

f (

+ I O O )dx = m (S 2.18

rs

yrs

rsrs

Z 30 30

f

(EI-S_.+kAcyy )dx=k

(S 3x 9x

rs

rsrs

2.19 V M Q R n = I O O w2m Z I O w2mL L2 I Z3 Z3 n w e M Q n- I

-

_2E1 Z

-

_EI I

22

-

_6E1 Z2

-

_2E1 L

+ Wm

2E1

rÒ

2.7

-30 30

r s

w , w en O , 0 zijn dus orthogonaal ten opzíchte van de massa en

-x--r s r s

dx'

3x

en y zijn orthogonaal ten opzichte van de stijfheid.

Voor de r-de .trilvorm gaan de orthogonaliteitsvoorwaarden over in:

£

f

(2

+ I 02)dx =

r

yr

rr

o

2. 30 2

f (EI()

+ kAGy2)dx = k = Ui2m

r rr

rrr

o

2.4. ANALYSE VAN DE RESPONSIE

Op basis van het superpositiebeginsel kunnen willekeurige vervormingen uitgedrukt worden in hun modale componenten, gevormd door de eigentrilvormen. De mate waarin

een eigentrilvorm vertegenwoordigd is wordt gegeven door de natuurlijke coBrdinaat

Voor de natuurlijke coórdinaat geldt:

1)r(t) = Ar cos(w ₊

Hierin is Ar de amplitude van 1)r(t) dus de sterkte van de eigentrilvorm en

de faseverschuiving.

De ververming is nu opgebouwd uit de som van de cigentrilvornien, jeder met hun eigen sterkte. w(x,t) = p (t) w (x) r=0 r r O(x,t) = r(t _6r r=0 y(x,t) ₌ 'r' r=0

Substitutie van de vergelijkingen 2.23 in 2.11 geeft:

rO

r"r -

r0

{kAG(py _{+ =}

Vermenigvuldiging van vergelijking 2.24 met w en integratie over de lengte naar z

leidt tot:

£

coL

2.

J' rWs -

f

w

.L

{kAG(PrYr ₊

_r'r1

= f

wqdx

o

r=Oo

o

De tweede term van het linkerlid geeft na partiale integratie:

2.25 2.20 2.21 2 22 2.23 2.24

2.8 -L

-f w

ì

{kAG(py

+ cty)}dx =

s

o

L w kAG(p y + - --- {kAG(py +

r1r1X

s

rr

o_ o L.

_{= o,}

omdat = = 0 2.26

Substitutie van 2.26 in 2.25 geeft:

00 9. 9. 9w

r 1 rWsCIC + r ¡ kAG YrCIX +

r=0 o

r0

o

00 _{9. 9w} 9. +

9x r

sz

r=0 o o

Wanneer de vergeiijkingen 2.23 gesubstitueerd worden in 2.12 voigt:

00 00 _{90 90}

I" O

-

--{EI(p +

y1r r 9x r 9x r

)} -

kAG(PrYr + r'r 0 2.28

r=O r=0

r0

Vermenigvuidiging met O en integratie naar x over de lengte geef t:

s

00 9. co9. 90 ₉₀

r1I00dX_

.fo --{EI

r=0 y r s s x r __ + ,

--E.)}dx +

r=Oo

-

_{f OkAG(py +ct-y)dx=O}

r=Oo

s

rr

r

Partiie integratie van de tweede term levert:

O - {EI(p °r + r r)}d = 38 30 2. 2.30 90 _3e r r s r r

OsEU1r

_iE

_{+ r} iZ + r -.-.--)}dx omdat MBr(0) _{= MBr(L) =} O

Substitutie van 2.29 in 2.28 geeft:

00 _9. 2.

9090

00

9830

r s

X

rfI00X+

X

Pr1EI

_9:dx+

X

r1 I---dx+

_{ox 9x}

r=0

yrs

r=0 o r=0 o 00 _9. 00 9,

I

Pr1G0Yd

_sr

V 1rfcLkAG0YdX=O

L.

sr

r=0 o r=0 o 00 2.27 2.29 2.30 2.31

Optelii'ng"vande verge'lijkingen 2.27 en '2.31geeft: L - r=O - 'o

rs

yrs

2.9

-m333

+

wm33p3

(a3 ₊

_ß32)

+ r:o .'{EI.

!.

1Q(.;.-+ (a23 (a33 L =

f

qw2dx

L r8 L -, 90 90 'L L

+ {fßEi -_---. dx +

f

ctkAG--2-

0)ydx}

f

wqdx

o o

_..'

o

s - 2.32

De der.de

term

_{van het linkerlid verte'genwòordig.t de demping, en wordt vereenvoudigd}

met: £ -a =

akAGyydx

2.33 L . 90 90 rs = Ei

-e.

dx

Toepassing van de orthogonaliteitsvoorwaarden 2.18.en 2.19 en vereenvoudiging

volgens .2.33 herleiden vergelijking 2.32..tot: 9.

-+

w2m,p

+

rrs

+ =

f

qw.dx

(s 0,1,2 ....) 2.34'

r-O I o

Het somteken valt bij de eerste twee termen-weg omdat. alleen r = s een bij;drage

levert volgens de orthogonaliteitsvoorwaarden _{De dempingsterm coispliceert de} vergelijking 2.34 cmdat de demping an de verschillende trilvorinen gekoppeld is.

2.5. MATRIXNOTATIE .

Hoe meer knopen de t-rilvorm-heeft, hoe minder de bijd.rage in de vervorming is. Daarom worden -alleen de e'erste n trilvormen beschouwd, waarbij _{n betr.ekking heef t} op de _{rilvorm, die nog een rol speelt. Vergelijking 2.34 bestaat dan uit een set} van n vergelij-kingen, die op overzi-chtelijke wijze in matrixvorm weergegevén kun-. nen worden. Voor. n =,4 luiden de vergeiijkingen met behuip 'van -de uitdrukkingen

voor w0(x) en w1(x), (zie 2.2): . . L

= ¿

-L

m11p1=

_f

q(1 -

)dx '

2.10

-Wanneer onderschdd wordt gemaakt tussen starre bewegingen (rigid body) en vervormingen (deflections) gaat 2.35 over in de submatrixvergelijking:

[IM

I loll

[i.l]

[loI

loi

hi'rul

loI

]

Íl)h1

1rhl

rr

loi

lMddlj _lPdl

loi

kddIj

_[1dlj

loI

Iw2Mddl

Ldhi

[iQdl]

2.36

Wanneer de trilvormen bekend zijn en daarmee de gegeneraliseerde belasting in bet rechter lid van vergelijking 2.36 of 2.35 kunnen de natuurlijke cordinaten p(t) bepaald worden. Uit de modale vervormingen

0r en 1r (r = 2, 3 )

volgen met behuip van de vergelijkingen 2.9 en 2.10 de modale momenten en dwars-krachten: MB(x) en Met de natuurlijke co6rdinaten worden de dwarskracht

en het moment gegeven door:

n

Q(x,t) = (t)

r=2 r

MB(x,t)

=

r2

MBr(x)Pr(t)

. In figuur 2.4 is een indruk gegeven van de modale vervorming Wr buigend moment

MB en dwarskracht Q voor r = 2 tIm 4.

r r

001

0 0

00

O O

o]

+ P2 O o i CL22 + 822 c23 + ₂₃ p2 P3 o o i a32 + 832 a33 + 833 p3 Po R.. dompen PI - s tampen = _2.35 R. 2-knoop s P3 3-knoops In matrixvorm: m00 O I O O -

"!i_°_

-o o

Im22

O o o I o in33

oolo

o

00

0 0 o o

4m22

o O O

wm33

Mb2(x)

2.11

-r= 2

r=3

r=J.

o2(x)

03(X)

4(x)

Mb3(x)

FIG. 2.1.

DE TRILVORMEN MET DE

BIJBEHORENDE

DWARSKRACHTEN EN MOMENTEN.

Mb4(X)

4

-150

-200

FIG. 3.1

DE VLAKWATERBELASTING

J

3.1

-r

o 100

200

300 400 500 150 kN/m 100 50 o

-50

-loo

I I I X I 25 50 75 100 125

(a)

(x) g

(b)

. .

. .

0

400 kN/m 300 q

x)

200

100

3.1. DE STATISCHE BELASTING

In hoofdstuk 2 is ulteengezet hoe de natuurlijke co6rdinaten berekend kunnen worden, wanneer de gegeneraliseerde belasting bekend is. Ter illustratie is

deze methode toegepast op de vlakwaterbelasting en de berekende dwarskracht en bet moment is vergeleken met de resultaten van de integratie en dubbeie integratie van de belasting.

In fig. 3.1 is voor de reedsgenoenide torpedobootjager de verdeling van de massa en de waterverplaatsing gegeven. De verschilkromine geef t de vlakwaterbeiasting op bet schip:

= q(x) -

(x)g 3.1

Volgens de kiassieke aanpak voigt hieruit voor de dwarskracht:

Q(x) _{- f} (x)dx 3.2

en voor het buigend moment:

MB(x) = - Q(x)dx 3.3

De dwarskracht en het moment kunnen ook weergegeven worden door de som van hun modale componenten: N p (t)M (x) 3.4

s2

s N p (t)Q Cx) 3.5 s=2 S S

s = O en I geven de scheepsbewegingen dompen en stampen weer waarbij de dwarskracht

en bet moment geiijk aan nul zijn door afwezigheid van vervorming. Verder worden alleen de eerste N trilvormen beschouwd, omdat bij toenemende r de bijdrage van de trilvorm steeds verder afneemt. Er wordt dus verondersteld dat alleen de eerste N trilvormen wezeniijk bijdragen aan de verplaatsingen, dwarskrachten en momenten.

3.2. TRILVORMANALYSE

3.2

-3. VLAKWATER RESPONSIE

In hoofdstuk 2 zijn de ontkoppelde vergelijkingen afgeieid:

2.

m j;

+w2m p

+ (ct +

)=fqwdx

(s=O,1,2

₎

SS 5

S SS S

r rs rs

zs

B1J een. statische .belasting vallen de tijdsafhankeilijke termen weg, zodat voor

q(x,.t) E geidt:: . .

t

w2m p

fjwdx

.S-ss.s -. z_s.

Voor de natuuriijke cordinaat geldt: ,p(t)

Oplossing van de natuurlij.ke c&órdinaat uit 3.6 geef t:

L

_______

wdx

S SS

w2 J

w2dx

so

S -

3.3.-Met vergelijking 3.8 voigt uit 3.9 hetmomentenevenwicht: t

Voor s O en 1 zijn de natuurlijke cordinaten dus geiijk an nui.

= O.Di.t resultaat is triviaal omdat t.g.v. de statische belasting geen beweging optreedt zodat de bijdragen van dompen en stampenaan de verpiaatsing w

gèiij'k aan nui zijn. Voor s 2 heef t de natuuriíjke -co6rdinaat een waarde ongelijk aan nul. ..

.

3.6

3. 7.

3.9

3.10

Voor d O-de trilvorm is afgeleid:

w0 = O en w0,(x) =:I..

t

Doordát

w0 =O

zal

f

wdx evéneens gelij.k aan nul moeten zijn.

t

Lw0dx

= L

dx = O. 3.8

Doordeze vergelijking is het: verticaal evenwicht beschre.ven. Voòr de le trilvòrm geldt:

w1 =0 en

w1(x) =1

-» Uit vergelijking 3.7 voigt, doordat w1 = O:

t L

3.3 RESULTATEN

Voor de torpedobootjager zijn de eerste 4 verticale buigtrilvormen berekend. Deze berekeningen zijn uitgevoerd voor de ongecorrigeerde balk en voor een balk

alleen gecorrigeerd voor afschuiving. In fig. 3.2 t/m 3.4 zijn deze trilvormen weergegeven. Wanneer wel afschuiving maar geen rotatietraagheid in rekening wordt

gebracht, luiden de eigenfrequenties:

Verder is berekend:

3.4

-De bulging t.g.v.. de statische belasting (x) wordt dus gegeven door:

N

w(x) =

'w (x)

s2

S S

waarbij aangenomen is dat voor s > N de waarde van is te verwaariozen.

Uit de modale vervorming w(x) voigt de modale dwarskracht en het modale buigend

moment:

Q(x)

en MB(x).

Wanneer dus uit vergeiijking 3.7 j' berekend is voor s = 2 tIm N, voigt hieruit: (A) (rad/s) 2 13.68 3 27.44 4 40.42 gegeneraiiseerde belasting 9, gegeneraliseerde massa natuuriijke cordinaat s

fwdx

ni

zS

o SS S (Nm) (kgm2) 2 -1027.10 334,7.10 -0,0164 3 - 207. 10 243,O.10 -0,0011 4 +l023.10 249,9.10 +0,0025 N w(x) = 'w (x) 3.11

s2

SS

N Q(x) ₌

s2

Q5(x) 3.12 N MB(x) =

s2

(x) s 3.13

1.0

s

FIG. 3.2

DE 2-KNbOPS VERTICALE BUIGTRILVORM

I

)( Ceén afschuiving en geen

rotatietraagheid in rekening

gebracht.

Wel afschuiving máar ¿een rotatietraagheid in rekening

gebracht.

Achtersteven Boeg

I

I

y

s

'C

'c Geen afschuiving en geen

rotatietraaghejd in rekening

gebracht.

I

_{Wel afschuiving maar geen}

rotatietraaghejd in rekening

gebracht.

FIG. 3.3

_{DE 3-KNOOPS VERTICALE}

_BUIGIRILVORM

s

I

X C

t

I

I I I

_.

I I I I I

ti

Achtersteven Boeg e s C.

I

X X ,c. e

.

_I

'C

I

1.0 'C e e _C 'C e X

1.0

V

FIG. 3.L DE L-KNOOPS VERTICALE

BUIGTRILVORM

s C

X _{Geen afschuiving en geen}

rotatietraagheid. in rekening gebracht.

Wel afschuiving maar ceen rotatietraaghejd in rekening gebracht. Achter steven X _C Bo eg

X

C

*

_'I

s X s X s X

s

I

X s s V. 'j'

Rompbuig Ing

nun

X _{Ceen afschuiving en geen rotatietraaghejd}

In rekening gebracht.

Wel afschuiving maar geen rotatietraaghejd

In rekening gebracht.

FIG. 3.5

DE VERTICALE ROMPBUIGING

s

*

M s ,,c Achters teven

A

* Bo eg s M 'C _M

.

C

Dwarskracht HM 1.5 1.0 0.5 o -0.5 -1.0 -1.5 Achters teven 'C

_.

X Boeg

Getrokken lijn volgens traditionele

aanpak.

X Geen afschuiving en geen rotatietraagheid in rekening

gebracht.

FtG. 3.6

DE DWARSKRACHT

Wel afschuiving maar geen

rotatietraagheid in rekening

Buigend moment NNm Io 5 -25 o -5 -10 -15 -20 Achtersteven 1,1(1 t t I I t t I I I I I

IXIt

FIG. 3.7

HEI

BUIGEND MOMENT

Boeg

X Geen afschuiving en geen rotatietraagheid in rekening

gebracht.

e Wel afschuiving maar geen rotatietraagheid in rekening

s

3.11

-zodat met behuip van de vergelijkingen 3.11 t/m 12, de vervorming, de dwars-kracht en het buigend moment voor N = 4 benaderd kunnen worden. De resultaten

zijn grafisch weergegeven in de figuren 3.5 tIm 3.7. In d'e figuren 3.6 en 3.7 zijn tevens middels een getrokken lijn de dwarskracht Q(x) volgens:

2.

Q(x) = -f (x)dx

en ht buigend moment MB(x) volgens: 2.

M»(x) = - Q(x)dx

i

io2

I n

Lage spanning

Middetmatige spanning

i spanning

4.1

-Amplitude van de wisseispannin g,

_{1/2 (}

_max

-

cc

_min

.

(MN/rn2)

FIG. 4.1

De eenheidsdemping energie

d

voor zacht staat bij kamertemperatuur

r

=0

gem

N= aantat wissetingen

bij

constante

io2

i

3

C4I

d= JO

n

LogN= 6'

1.3 d

iü-2

Ei

Z'

xi

c'il

(n=2 3)

(KN.rn/)

m 'I i

bi

Cn4I

E,

Z'

I

io6

io_8

UJ

a

Q'

I' I

bi

Hoge

10_1

i

lo

io2

de buigdemping :

-

4.2

-8(x) 2e(x,t) EI(x)

In de bewegingsvergeljjking zijn de dempingscofficinten _{vereenvoudigd tot:}

2

a

fkACyydx=a

rs

rs

sr

o

o o

In de matrixvergelijking kwam de dempingsterm _{naar voren in de gedaante:}

o

o.

o ---o

O

O.

O ---0

o o

8

-2n 2n 22 22 I I I I I I

H

I i I, I I I I O O

a

+ß ----a +8

n2 n2 tin nfl

De dempingscodfficÇnten zijn echter tnoeilijk _{te bepalen en hoewel zij klein} zijn mogen zij niet verwaarloosd worden. _{Vooral bij de hogere frequenties worden}

Sde

trilvormen zwaar gedempt.

4.2 THEORETISCHE GROMDSLAGEN VAN DE DEMPING

De scheepsconstructie ("Dry hull") wordt in zijn bewegingen gedempt door:

- materiaal hysteresis;

- droge wrijving, zoals bijv. bij geklonken verbindingen optreedt; - vaste of vloeibare lading.

Bij de huidige schepen is _{van deze oorzaken de materiaal hysteresis wel de}

be-,langrijkste. Door iniperfectie _{van het materiaal wordt per belastingscyclus een}

hoeveelheid energie geabsorbeerd _{en als warinte gedissipeerd. Voor een} volume-eenheid materiaal in lijnspanningstoestand wordt deze energie de volume- eenheidsdemping-energie, d, genoemd. De eenheidsdemping-energie _{is in f iguur 4.1 weergegeven als} functie van de wisselende belasting. Bij _{lage spanningen wordt het verband} tus-sen de eenheidsdemping-energje en de wisselende belasting _{gegeven door: d =}

4. DEMPING

4. 1 DEMPING VAN DE "DRY HULL" BIJ SYMMETRISCHE BEWEGINGEN

1n de vergelijkingen van Kumai (2.4 en 2.5) zijn de _{dempingstermen} geintrodu-ceerd, namelijk:

de schuifdemping: ct(x) _{kAG(x) en}

s

-

4.3

-J is de dempingseonstante van het materiaal en G = (a - a . ).

a max min

Bij middelmatige spanning wordt dit verband gegeven door: d = Jc, waarbij

n = 2 - 3. Bij hoge spanningen vordt de voorgeschiedenis belangrijk en is de demping afhankelijk van het aantal belastingswisselingen. Wanneer d nu bekend is kan de totale dempingsenergie berekend worden door integratie over het

niaterlaalvolume. Dus per belastingswisseling:

D = ¡ d.dV

V

De spanningsamplitude is echter moeilijk te bepalen omdat tengevolge van scheu-ren, onjuiste constructies en lasinvloeden spanningsconcentraties optreden. Door de hoge waarden van d afkomstig van de onbekende spanningspieken zal de

werkelijke waarde. van de totale. dempingsenergie een orde hoger liggen dan de berekende waarde.

4.3 EXPERIMENTELE BEPALING VAN DE DEMPING

Een alternatief voor de berekening is de meting van demping. Er zijn twee

moge-iijkheden voorhanden, namelijk:

- dewaarneming van vrije trillingen t.g.v. een verstoring; - metingen bij het optreden van resonantie.

Metingen vinden echter noodzakelijkerwijs in het water plaats en hebben dus be-trekking op de "wet hull". De bijdrage van vloeistofdemping aan de constructie is in dat geval onbekend. Bij de starre bewegingen dompen en stampen zal de dem-ping alleen afkomstig zijn van vloeistofdemdem-ping, maar bij de buigtrilvormen is het aandeel van het wateronbekend. Betts e.g. /10/ stellen echter dat dit aandeel

te verwaarlozen is. Tevens stellen zu dat er geen koppeling optreedt tussen de

demping van de verschillende trilvormen, zodat:

jO ,alsrs

e

= + ers' als r = s.

Voor een enkelvoudig massa-veersysteem geldt:

de dimensieloze dempingscofficint: C C

er

de kritische dempingscofficint : C 2vlZ 2nii

er n

het logaritmisch decrement

6=

2ïr 2Tr.

Uit een experiment met een vrije trilling voigt het logaritmisch decrement. Voor de "wet hull" volgt dan voor de s-de trilvorm en hieruit de

dempings-cofficint c

met:

m

SS S S

CS8 ₇₁

Uit resonantie-experimenten voigt de hoeveelheid gedissipeerde energie /11/ en daaruit de dimensieloze dempingscofficint

.

Voor de dernpingscofficint C geldt:

c

=2m w

SS

SS S S

Metbehuip van diverse aannamen voigt dus uit de experimenten de dempingsmatrix

Ici.

00

000

O 0 0 e22

--0

Ici

00

0 4.4

-4.4 SCHATTING VAN DE DEMPINGSC0FFICflNTEN

C

nfl

Door diverse onderzoekers zijn empirische formules opgesteid orn de demping te kunnen schatten. Zo stelt Kumai /7/ voor een scheepsiengte 80 rn < L < 200 ni:

6

2 L

Voor de hogere tiilvormen s > 2 geldt voor vrachtschepen en tankers in

ballast-conditie:

3/k

6=6 (-.)

_{S 2}

Volgens Aertssen en De Lembre /12/ wordt het logaritmisch decrement gegeven door:

6

= 7.3 X

10w

indien w < 20 rad/s.

S s s

Een overzicht van de verschjllende formules wordt _{gegeven door Betts c.s. /10/.} Toepassing van deze formules op de eerdergenoemde torpedobootjager geeft de

a

4.5

-Waarden voor (S (; )

s s

Het gerniddeide voor de 2-, 3- en 4-knoopstriiling is:

= .046 53 =

.058

S4 = .084

= .007

= .009

= .013

Hieruit voigt voor de dernpingscofficinten:

m22c2(S2 X X 13.68 X _.046 =

67 X

kg/s

c22=-- 11 ni33w363 C33 = -= 123 x kg/s rn44w464 = 270 X _kg/s. ir s 2 3 4 Kumai .033 (.005)

.056

(.009)

.074 (.012) Tornita .033 (.005)

.069

(.011)

.091

(.014) Hirowatari .039

(.006)

.056

(.009)

.100

(.016)

Johnson, Ayiing & Couchrnan .027 (0.Ò04) .052 (.008) .073 (.012) Aertssen & De Lembre .100

(0.016)

-

-s

5.1

-FIG. 5.1

Assenstelsel met balketement

x

en

het

daarop werkencte krachtenspel

q(x,t)

FIG. 5.2

HorizontaLe bulging

s

5. ANTISYMMETRISCHE BEWEGINGEN

5.2

-5. 1 DE BEWEGINGSVERGELIJKING VAN DE "DRY HULL"

Bij schepen met grote dekopeningen zal het dwarskrachtmiddelpunt in het algemeen niet samenvallen met bet zwaartepunt van de doorsnede. Tengevolge van een hori-zontale belasting zal dus naast een buigvervorming een verdraaiing optreden.

tn f iguur 5.1 is in bet OXYZ-assenstelsel een balkelement AX gegeven met de

daarop werkende krachten, belastingen en momenten. De afstand tussen het zwaarte-punt C en het dwarskrachtmiddelzwaarte-punt S (shear centre) wordt gegeven door (x).

Het krachtenevenwicht bij horizontale buiging, weergegeven in f iguur 5.2, ver-eist:

a2v(x,t) _aQ(x,t)

- ax + q(x,t) (5.1)

= de verdeelde massa per lengte-eenheid

v(x,t) = de verplaatsing van het zwaartepunt in y-richting Q (x,t) = de dwarskracht

(x,t) de verdeelde belasting in y-richting.

I (x) 320(x,t)

aMB(x,t)

z at 3x Q(x,t)

het massatraagheidsmoment van Ax orn de rotatieas evenwij dig aan de Z-as

MB (x,t) = het buigend moment.

De kinematische voorwaarde luidt:

av(x,t)

ax = O(x,t) + y(x,t) (5.5)

In dit geval hebben O en y betrekking op de horizontale buiging in tegenstelling

tot (2.3).

(5.4)

Voor de verplaatsing van S in y-richting geldt (zie figuur 5.3):

v(x,t) = v(x,t) + (x)4(x,t) (5.2)

Substitutie van v(x,t) in (5.1) geef t navereenvoudiging:

;çi-)

-+q

(5.3)

-

De buiging, weergegeven in f iguur 5.2, gaat gepaard met een hoekverdraaiing O.

5.3

-FI G. 5. 3

Torsie

met horizonta(e buiging

aM1

T + - X

&3x

q1(x,t) -tu

,Xp

FIG. 5.4

Torsiebetasting

en momenten

MT

5.4

-Voor de dwarskracht en het buigend moment worden weer de vergeiijkingen van Kumai (2.4) en (2.5) gebruikt.

Ret torsie-evenwicht wordt gegeven door (zie oak figuur 5.4):

a24(x,t) aMT(x,t) ________ - + (x) (aQ(xt) Ax) + q(x,t)Ax I (x)Esx ax

=het massatraagheidsmoment orn C in x-richting

M. (x,t) = het torsiemoment op de doorsnede

q(x,t) = de verdeelde torsiebelasting.

Ret massatraagheidsmoment orn het dwarskrachtmiddeipunt S, 1(x), voigt uit de verschuivingsregei:

I (x) I

(x) +

(x) í(x)I2

s C

aQ(x,

t) Substitutie van t (x) uit vergeiijking (5.7) en

ax uit vergelijking (5.3)

C

in vergelijking (5.6) geft:

- inzv = zq + (5.8)

Ret torsiemoment op de doorsnede, M., is opgebouwd uit drie termen, nanieiijk:

M,(x,t)

C(x) ax

x,t)

-.- {C(x)

a2(xt)}

+ V(x)

(x,t)

ax (5.9)

De eerste term is het Saint-Venant-torsiemoment en de tweede het welvingstorsie-moment De derde term is de torsiedeinping met de torsiedeingscofficint \)(x). - Met deze vergeiijkingen wordthet antisymmetrische gedrag van het schip

beschre-ven, te veten:

- horizontale buiging door (5.3) t/m (5.5); - torsie door (5.8) en (5.9).

5.2 DE TRILVORIEN

Voor de vrije ongedempte bewegingen gelden t.a.v. de horizontale buiging de

ver-geiijkingen:

a _-

i) =

= o + y = e +

-s--ax kAG met behuip van de vergelijking van Kumai:

Q = kA.G(y),

(5.6)

(5.7)

M

B

Deze 4 vergelijkingen teilen 5 onbekenden, waarvan aangenomen wordt dat ze de

volgende gedaante hebben:

y (x,t) y (x) sin t r r O (x,t) O (x) sinw t r r 4) (x t) = 4)r (x) sinù tr MB(x,t) MB (x) sinw t_r r Q (xt) = r (x) sinw tr

De 4 vergeiijkingen worden gecompleteerd door detorsievergelijking voor de

vrije ongedempte beweging:

...aMT

Ic - mzv - ---- met

Uit deze vergelijkingen zijn nu voor iedere eigenfrequentie Wr de trilvormen te bepalen, d.w.z. de eigenfuncties van de vervormingen v(x), 4)r(x) en Or(X) en de momenten en krachten Mß (x), MT (x) en

r r

5.3 DE ORTHOGONALITEITSVOORWAARDEN

5.5

-Voor de.antisymmetrische bewegingen luiden deze voorwaarden /14/:

J1vv+t4)4)+IO.O-(v4)+v4))}dx=m6

rs

srs

zrs

rs

sr.

rsrs

2.. O aO 34)

f{EI -i

. g- + kAGy y + tL. .}dx = w2m 6 = k 6 3x 3x r s i. 3x r rs rs rs rs o r

Voor r = s gaan de orthogonaliteítsvoorwaarden over in:

2., m

f(v2+I4)2+IO2-2mv4))dx

SS S

SS

Z5

SS

o 2,

302

34) k w2m f(EI(__-!) _{+ kAGy2 + M} SS

SSS

3x s T 3x o s (5. 11 (5. 12 (5.14: (5.15 MT =. c - . {c1

De aangenoinen oplossing voor MT luidt:

MT (x,t) = M, (x) SIflU)rt (5.13

5.6

-Voor s = O, I en 2 doet zich het volgende verschijnsel voor.

De starre scheepsbewegingen voor s = O, I en 2 laten zich beschrijven door:

Invullen van deze waarden in de orthogonaliteitsvoorwaarde levert:

2.

=-fdx=m20

#0

2. -m12 = -f - )dx - in x 21 o 2. =

I-=)dx-m

in01

_Im(

X 10 o

= 0, omdat de integraal het massamoment orn het zwaartepunt geef t.

Voor de scheepsbewegingen: verzetten, gieren en slingeren is de massamatrix dus niet diagonaal. Dit komt omdat

= = = O en is dus geen afwijking van de orthogonaliteitsvoorwaarde /13/.

5.4 GEDWONGEN ANTISYMMETRISCHE BEWEGINGEN

4(x,t) = p (t)

r=0 r

Substitutie van deze uitdrukkingen in de bewegingsvrgelijkingen en toepassing van de orthogonaliteitsvoorwaarde levert analoog aan het resultaat bij de symmetrische beweging: {m ô j; + w2m ô _p + (ci _{+ ß}

+ y

₎

} =

r=0 rs rs r 2,r rs rs r rs rs rs r

= f{q(v

-

+ qd}dx

(s = 0,1,2, ) (5.18) = 0.

Ontwikkeling van de verplaatsingen en de verdraaiingen naar natuurlijke

co6r-dinaten geeft: v(x,t) =

r0

Pr(t) Vr(X) O(x,t) = p (t) O (x) r r r=0 y(x,t) =

_Pr(t)Yr

r=0 (5.17) s = 0, v0(x) = I 00(x) = 0, y0(x) = 0, 40(x) = O verzetten

s 1,

v1(x)=

i-L

01(x) = 0, y1(x) = 0, 1(x) = O gieren

s=2,

v2(x) =0

02(x) = 0, y2(x) = 0, 2(x) = I slingeren.

In 5.3 is afgeleid d'at. m02 O en rn ' O, zodat voor'r = 'O, I en 2' de

Kronecker-delta eigenlijk weggelaten moet worden. De exacte nöta'tie.zal echter.d'e duidelijk-heid waar'schijnlij'k niet ten goede .komen. Verder is ter vereenvoudiging gesteld:

Voor de starre bewegingen geldende,vergelijkingen:

o o ,,o I I i I I I I I' I o o OE L 2.. a = cLkAGyydX & 30 fßEI'.--.--1 dx 2;

f \) .-

-q. dx 3x 3x '5.7 -s = 0, rn000 + m02j2

_{= f}

qdx

p, + m12.j2 ₌

f q(l

-'Voor debuig- en trsietrilvormen (s > 2) geïdt: 2;

rn ji + (a +

+)+'k p

=f{q

Ss s rs rs rs .s SS 'S

y

r3

.0

in matrixnotatie luiden de ontkoppeide beweg-ingsvergelijkingen:

rn00 O rn02, O -- - O O rn11 rn12 'O - - - - O m20 rn21.rn22

0 ---0

0 '0 0 I I I j I I I 'O O O O O O O + + \)33 - - -' 3 + I i I i 'I I I I I, ' ' I I I' I '

,'

000 a

_n3

+ß

+\)

+ n3 .n3 nn nn

0.0

0,--- 0

O 0

0'- ---0

o o

o---o

-'0 p3 + k 'p n (5.19

.

(5.20: (5.2.1 (5. 2 + 3n

4-\)

nfl t,' p2' a i, = un' r0 r1' r2 r3 'n 2; s = 2, m0.2p0 + rn12ji1 + rn22j2

= f

o verzetten gieren' - 9)T dx' slingeren' PI P2 p3 + Pn 0' p2 rs rs

000

0-

--0

0 0 0 O

-- o

0. 0' 0' O o

s

5.8

-Bet rechter lid wordt gevormd door de gegeneraliseerde belastingen. Wanneer deze bekend zijn, kunnen de natuurlijke co6rdinaten

r (r = 0,1,2, n) berekend worden. Met behuip van deze c&órdinaten zijn dan weet de verplaatsing en de verdraaiingen v(x,t), O(x,t), y(x,t) en 4(x,t) te berekenen.

LITERATUURLIJST

/1/ "Springing. Wave induced ship vibrations", Gunsteren, F.F. van, International Shipbuilding Progress, Vol. 17 No. 195, November 1970.

/2/ "Wave excited main hull vibrations in large tankers and bulkcarriers", Goodman, R.A., Transactions RINA, Vol. 113, 1971.

/3/. "Natural frequencies and modes of vibration in beams of non-uniform mass and section", Inglis, C.E., Transactions of the Institution of

Naval Architects 1929, pp. 145-166.

/4/ "Vibration problems in engineering", Timoshenko, S. a.o., John Wiley & Sons Inc., 1974.

/5/ "Allowance for shear distortion and rotary inertia of ship hulls", Bishop, R.E.D. and Price, W.G., Journal of Sound and Vibration 1976, 47(3), pp. 303-311.

/61 "On the relationship between 'Dry Modes' and 'Wet modes' in the theory of ship response", Bishop, R.E.D. and Price, W.G., Journal of Sound and Vibration 1976, 45(2), pp. 157-164.

/7/ "Damping factors in the higher modes of ship vibration", Kumai, E.T., European Shipbuilding, No. 1, 1958.

/8/ "Vibration theory and applications", Thomson, W.T., George Allen & Unwin,

1971.

/9/ "Dynamics of structures", Hurty, W.C. and Rubinstein, M.F., Prentice Hall,

1964.

/10/ "A survey of internal hull damping", Betts, C.V., RINA 1976.

/11/ "An investigation into the theory of resonance testing", Bishop, R.E.D. a.o., Phil. Trans. A 255, 1963, p. 241.

/ 12/ "A survey of vibration damping factors found from slamming experiments

on four ships", Aertssen, G. and De Lembre, R.,, Trans. NECIES, Vol. 87, 1971, pp. 83-86.

/13/ "On the transverse strength of ships with large deck openings", Bishop, R.E.D. a.o., Proc. R. Soc. London, A 349, 1976.