Rysowanie wykresów sił wewnętrznych w ramie przesuwnej - przykład 5

(1)

Zadanie: Narysować wykresy sił N, T, M. Zadanie rozwiązać metodą

przemieszczeń

q=6kN/m

P=16kN

M=64kNm

EJ

2EJ

4

2

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Stan f

₁

=1

4 2EJ

4 =2EJ 2 2EJ

(11)

Stan f

₁

=1

4 2EJ 4 =2EJ 2 2EJ 4 =EJ 4 EJ 4 =EJ 2 EJ 4 = EJ2

(12)

Stan f

₁

=1

M i

+

M j

+

EJ EJ EJ k₁₁  2  3

(13)

Stan f

₁

=1

M i

+

M j

+

EJ EJ EJ k₁₁  2  3 EJ k₂₁ 

(14)

Stan f

₂

=1

M i

+

M j

(15)

Stan f

₂

=1

M i

+

M j

(16)

Stan f

₂

=1

M i

+

M j

(17)

Stan f

₂

=1

M i

+

M j

(18)

Stan f

₂

=1

M i

+

M j

+

4 2EJ 4 =2EJ 2 2EJ 4 =EJ

(19)

Stan f

₂

=1

M i

+

M j

+

4 2EJ 4 =2EJ 2 2EJ 4 =EJ 3 2EJ 4 =3EJ2

(20)

Stan f

₂

=1

M i

+

M j

+

EJ k₁₂  4 2EJ 4 =2EJ 2 2EJ 4 =EJ 3 2EJ 4 =3EJ2

(21)

Stan f

₂

=1

M i

+

M j

+

2 7 2 3 2 22 EJ EJ EJ k    4 2EJ 4 =2EJ 2 2EJ 4 =EJ 3 2EJ 4 =3EJ2 EJ k₁₂ 

(22)

Stan D

₃

=1

M i

+

M j

(23)

Stan D

₃

=1

M i

+

M j

(24)

Stan D

₃

=1

M i

+

M j

(25)

Stan D

₃

=1

M i

+

M j

+

6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8

(26)

Stan D

₃

=1

M i

+

M j

+

6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8 3 EJ 4 =2 3EJ16

(27)

Stan D

₃

=1

M i

+

M j

+

8 3 13 EJ k    6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8 3 EJ 4 =2 3EJ16 8 3 13 EJ k   

(28)

Obciążenie zewnętrzne

q=6kN/m P=16kN M=24kNm 4 4 4 2 2 2 2 kNm k₁₀  328 40 kNm k₂₀ 812  4 32 6 4 =₈2 12 6 4 = 8 2 12 6 4 =₁₂2 8 ₈ 64

_[

( )

2 2

]

(29)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₁

f

₁

=1

(30)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₁ EJ

f

₁

=1

(31)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₁ EJ 2 EJ 3EJ 8 3EJ 8

f

₁

=1

(32)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₁ EJ 3EJ 3EJ 8 3EJ 8

f

₁

=1

(33)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₁ EJ 2 EJ 3EJ 8 3EJ 8 3EJ 8

f

₁

=1

4 2EJ 4 =2EJ 2 2EJ 4 =EJ 4 EJ 4 =EJ 2 EJ 4 = EJ2 8 3 0 8 3 31 31 EJ k k EJ R_x      



(34)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k =0₃₂ 4 2EJ 4 =2EJ 2 2EJ 4 =EJ 3 2EJ 4 =3EJ2

f

₂

=1

(35)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₃ 6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8 3 EJ 4 =2 3EJ16

(36)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₃ 3EJ 8 6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8 3 EJ 4 =2 3EJ16

(37)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₃ 3EJ 16 3EJ 8 3EJ 8 3EJ 16 3EJ 6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8 3 EJ 4 =2 3EJ16

(38)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₃ 3EJ 3EJ 8 3EJ 16 3EJ 64 3EJ 64 6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8 3 EJ 4 =2 3EJ16

(39)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₃ 3EJ 16 3EJ 8 3EJ 8 3EJ 16 3EJ 3EJ 3EJ 64 64 3EJ 64 3EJ 16 6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8 3 EJ 4 =2 3EJ16

(40)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₃ 3EJ 3EJ 8 3EJ 16 3EJ 3EJ 64 64 3EJ 64 3EJ 16 6 EJ 4 =2 3EJ8 6 EJ 4 =2 3EJ8 3 EJ 4 =2 3EJ16 64 15 0 64 3 16 3 33 33 EJ k k EJ EJ R_x       



(41)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

k₃₀ 32 6 4 =₈2 12 6 4 = 8 2 12 6 4 =₁₂2 8 ₈ 64 2

[

1-3

( )

2 4 2

]

= 8

(42)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

M=64kNm P=16kN 32 k₃₀ 32 6 4 =₈2 12 6 4 = 8 2 12 6 4 =₁₂2 8 ₈ 64 2

[

1-3

( )

2 4 2

]

= 8

(43)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

8 M=64kNm P=16kN 32 k₃₀ 16kN 32 6 4 =₈2 12 6 4 = 8 2 12 6 4 =₁₂2 8 ₈ 64 2

[

1-3

( )

2 4 2

]

= 8

(44)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

M=64kNm P=16kN 32 k₃₀ 16kN 18kN 32 6 4 =₈2 12 6 4 = 8 2 12 6 4 =₁₂2 8 ₈ 64 2

[

1-3

( )

2 4 2

]

= 8

(45)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

8 M=64kNm P=16kN 32 k₃₀ 16kN 18kN 18kN 16kN 18kN 32 6 4 =₈2 12 6 4 = 8 2 12 6 4 =₁₂2 8 ₈ 64 2

[

1-3

( )

2 4 2

]

= 8

(46)

Wyznaczenie współczynników od reakcji

M=64kNm P=16kN 32 k₃₀ 16kN 18kN 16kN 18kN kN k k R_x 1618 ₃₀ 0 ₃₀  34



32 6 4 =₈2 12 6 4 = 8 2 12 6 4 =₁₂2 8 ₈ 64 2

[

1-3

( )

2 4 2

]

= 8

(47)

Układ równań metody przemieszczeń:

0

30 3 33 2 32 1 31 20 3 23 2 22 1 21 10 3 13 2 12 1 11

















































k



EJ EJ 46 , 11 11 , 44 2 1   



Podstawiając wyliczone wcześniej wartości otrzymujemy:

Rozwiązanie układu równań: 0 34 64 15 0 8 3 0 4 0 2 7 0 40 8 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1                          EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ      

(48)

Wyznaczenie momentów na końcach elementów: M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm q=6kN/m _68,76kNm _29,19kNm A B C D E F G H I J K L 29,19kNm

(49)

Wyznaczenie momentów na końcach elementów: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm q=6kN/m _68,76kNm _29,19kNm 29,19kNm 58,81kNm 36,76kNm A B C D E F G H I J K L . . 1 1 1 ₂ ₃ 1

M

obc zewn

M



 







 







 







(50)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm q=6kN/m _68,76kNm _29,19kNm _29,19kNm 36,76kNm A B C D E F G H I J K L

(51)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm A B C D E F G H I J K L

(52)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 36,49kN q=6kN/m 36,76kNm A B C D E F G H I J K L 12,49kN

(53)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 36,49kN _19,3kN 4,7kN q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm A B C D E F G H I J K L 12,49kN

(54)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 36,49kN _19,3kN 4,7kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm A B C D E F G H I J K L 12,49kN

(55)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 36,49kN _19,3kN 4,7kN 16kN q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm 23,89kN 23,89kN A B C D E F G H I J K L 12,49kN

(56)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 36,49kN _19,3kN 4,7kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN A B C D E G H I K L 12,49kN

(57)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 16kN q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN A B C D E F G H I J K L

(58)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L

(59)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 16kN q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 3,49kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L

(60)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L

(61)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 16kN q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L

(62)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L

(63)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L

(64)

Wyznaczenie sił tnących i normalnych: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L

(65)

Wykres sił tnących: 15 9 12,49 36,49 19,3 4,7 16 23,89 23,89 7,89 7,89 +

--

-+ + + T [kN] M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN _7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E G H I K L

(66)

Wyznaczenie ekstremów: 32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L x x1

(67)

Wyznaczenie ekstremów: m x x x T 0,783 6 7 , 4 0 6 7 , 4 ) 1 (       32,43kNm M=64kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 58,81kNm 36,76kNm 23,89kN 23,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E F G H I J K L x x1

(68)

Wykres sił normalnych: 55,79

-

N [kN]

-3,49 + 7,89 P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D G H _K L

(69)

Wykres momentów zginających: M=24kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN _7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E G H I K L 32 12 M [kNm]

(70)

Wykres momentów zginających: P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN _7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D G H _K L 32 29,19 68,76 36,76 M [kNm] 12 6,75

(71)

Wykres momentów zginających: M=24kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN _7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E G H I K L 32 12 29,19 68,76 36,76 1,84 M [kNm] 6,75

(72)

Wykres momentów zginających: P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN _7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D G H _K L 32 29,19 68,76 58,81 36,76 1,84 M [kNm] 12 6,75

(73)

Wykres momentów zginających: M=24kNm P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN _7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D E G H I K L 32 29,19 68,76 58,81 36,76 1,84 15,78 M [kNm] 12 6,75

(74)

Wykres momentów zginających: P=16kN 32kNm 12kNm 15kN 9kN 9kN 68,76kNm 29,19kNm 29,19kNm 12,49kN _36,49kN 19,3kN 4,7kN 55,79kN 16kN q=6kN/m 36,76kNm 23,89kN _7,89kN 7,89kN 7,89kN 7,89kN 23,89kN 16kN 3,49kN 3,49kN A B C D G H _K L 32 29,19 68,76 58,81 36,76 1,84 7,57 8,21 15,78 M [kNm] 12 6,75

(75)

Sprawdzenie za pomocą twierdzenia redukcyjnego: 32 29,19 68,76 58,81 36,76 1,84 7,57 8,21 15,78 M [kNm] 12 6,75 Schemat podstawowy statycznie wyznaczalny:

(76)

32 29,19 68,76 58,81 36,76 1,84 7,57 8,21 15,78 M [kNm] 12 6,75 1

Sprawdzenie za pomocą twierdzenia redukcyjnego:

(77)

32 29,19 68,76 58,81 36,76 1,84 7,57 8,21 15,78 M [kNm] 12 6,75 1

Wykres momentów na schemacie podstawowym:

(78)

32 29,19 68,76 58,81 36,76 1,84 7,57 8,21 15,78 M [kNm] 12 6,75 1

(79)

1 1 M₁ 32 29,19 68,76 58,81 36,76 1,84 7,57 8,21 15,78 M [kNm] 12 6,75 Sprawdzenie za pomocą twierdzenia redukcyjnego:



