Języki, automaty i obliczenia Wykład 4: Minimalizacja automatów skończonych Sławomir Lasota

(1)

Języki, automaty i obliczenia

Wykład 4: Minimalizacja automatów skończonych

Sławomir Lasota

Uniwersytet Warszawski

23 marca 2016

(2)

Plan

1 Języki regularne mają skończenie wiele ilorazów lewostronnych

2 Minimalizacja automatów deterministycznych

3 ∗Minimalizacja automatów niedeterministycznych?

(3)

Równoważność Myhilla-Nerode’a

Notacja

w⁻¹L zamiast {w }⁻¹L = { u ∈ A^∗ : w u ∈ L }

Język L ⊆ A^∗określa relację równoważności w A^∗: w ∼Lv ⇐⇒ w⁻¹L = v⁻¹L

Równoważnie:

w ∼Lv ⇐⇒ ∀u ∈ A^∗. (w u ∈ L ⇐⇒ v u ∈ L)

Fakt (∼Ljest L-niezmiennicza)

w ∼Lv =⇒ (w ∈ L ⇐⇒ v ∈ L) rysunek

Dowód:

w ∈ L ⇐⇒ ε ∈ w⁻¹L

(4)

Języki regularne mają skończenie wiele ilorazów lewostronnych

w ∼Lv ⇐⇒ w⁻¹L = v⁻¹L ⇐⇒ ∀u ∈ A^∗. (w u ∈ L ⇐⇒ v u ∈ L)

Przykład

A = {a, b} ε⁻¹L = L ε ∼Lab ∼Labab ∼L. . . L = (ab)^∗ a⁻¹L = bL a ∼_Laba ∼_Lababa ∼_L. . .

b⁻¹L = ∅ b ∼_Laa ∼_Labb ∼_L. . .

A = {a, b} (a^k)⁻¹L = { aⁿb^n+k : n ∈ N } L = { aⁿbⁿ : n ∈ N }

Twierdzenie (Myhill-Nerode 1958)

Niech L ⊆ A^∗. Następujące warunki są równoważne:

L jest regularny

∼_Lma skończony indeks

(5)

Dowód (L regularny =⇒ ∼

_L

ma skończony indeks)

Niech A = (A, Q, {q0}, F , δ) automat deterministyczny rozpoznający L.

Dla q ∈ Q, niechLq(A) = . . .

Fakt L

δ(qb 0,w )(A) = w⁻¹L, dla każdego w ∈ A^∗.

Zdefiniujmy relację równoważności ∼Ana A^∗:

w ∼Av ⇐⇒ bδ(q0, w ) = bδ(q0, v ).

Relacja ta ma skończony indeks. Używamy faktu powyżej, by dowieść w ∼Av =⇒ w ∼Lv .

Czyli indeks relacji ∼Ljest niewiększy niż indeks relacji ∼A.

Wniosek

Każdy automat deterministyczny rozpoznający język L ma przynajmniej indeks(∼L) stanów.

(6)

Dowód (∼

_L

ma skończony indeks =⇒ L regularny)

Fakt (∼Ljest prawą kongruencją) w ∼Lv =⇒ w a ∼Lv a

Dowód:

(w a)⁻¹L = a⁻¹(w⁻¹L) = a⁻¹(v⁻¹L) = (v a)⁻¹L

Konstruujemy automat deterministyczny A_L: Q⁰ = A^∗/∼L = { [w ]∼_L : w ∈ A^∗} q₀⁰ = [ε]∼_L

F⁰ = { [w ]∼_L : w ∈ L } δ⁰([w ]∼_L, a) = [w a]∼_L

Fakt L(AL) = L

Dowód:

δb⁰([ε]∼_L, w ) = [w ]∼_L∈ F ⇐⇒ w ∈ L

(7)

Automat A

_L

(przykład)

Q⁰ = A^∗/∼L = { [w ]∼_L : w ∈ A^∗} q₀⁰ = [ε]∼_L

F⁰ = { [w ]∼_L : w ∈ L } δ⁰([w ]∼_L, a) = [w a]∼_L

Przykład L = (a b)^∗

[ε]_L start

[b]_L

[a]_L a

b

b a

a, b

(8)

Dowód (∼

_L

ma skończony indeks =⇒ L regularny)

Konstruujemy automat deterministyczny A_L: Q⁰ = { w⁻¹L : w ∈ A^∗}

q₀⁰ = L = ε⁻¹L F⁰ = { M ∈ Q⁰ : ε ∈ M } δ⁰(M, a) = a⁻¹M

Fakt

bδ⁰(q₀⁰, w ) = w⁻¹L

Dowód:

a⁻¹(w⁻¹L) = (w a)⁻¹L

Fakt L(AL) = L

Dowód:

w ∈ L(AL) ⇐⇒ bδ⁰(q⁰₀, w ) ∈ F⁰ ⇐⇒ ε ∈ w⁻¹L ⇐⇒ w ∈ L

(9)

Automat A

_L

(przykład)

Q⁰ = { w⁻¹L : w ∈ A^∗} q₀⁰ = L = ε⁻¹L F⁰ = { M ∈ Q⁰ : ε ∈ M } δ⁰(M, a) = a⁻¹M

Przykład L = (a b)^∗

(a b)^∗ start

∅

b (a b)^∗ a

b

b a

a, b

(10)

Automat minimalny

Wniosek

Każdy automat deterministyczny rozpoznający L ma przynajmniej indeks(∼L) stanów.

Automat A_Lma indeks(∼_L) stanów.

Czyli ALtominimalnyautomat deterministyczny rozpoznający język L.

Pytanie

Czy automat minimalny jest wyznaczony jednoznacznie?

(11)

Dowodzenie minimalności (przykład)

Czy ten automat jest minimalny?

start

a

b

b a

a, b

Tak!

Każdy automat deterministyczny rozpoznający L = (a b)^∗ma przynajmniej 3 stany.

Dowód:

ε a b

ε × b a b

a × × b

b × × ×

εb 6∈ L ab ∈ L εa b ∈ L ba b 6∈ L

ab ∈ L bb 6∈ L

(12)

Plan

(13)

Kongruencja i automat ilorazowy

Niech A = (A, Q, {q0}, F , δ) automat deterministyczny.

Kongruencjaw A to relacja równoważności R ⊆ Q × Q taka, że R(q, p) =⇒ (q ∈ F ⇐⇒ p ∈ F )

R(q, p) =⇒ R(δ(q, a), δ(p, a)), dla każdego a ∈ A.

start

a

b

b a

a, b a b

b a

(14)

Kongruencja i automat ilorazowy

Niech A = (A, Q, {q0}, F , δ) automat deterministyczny.

Kongruencjaw A to relacja równoważności R ⊆ Q × Q taka, że R(q, p) =⇒ (q ∈ F ⇐⇒ p ∈ F )

R(q, p) =⇒ R(δ(q, a), δ(p, a)), dla każdego a ∈ A.

Automat ilorazowyA/R:

A⁰ = A

Q⁰ = Q/R = { [q]R : q ∈ Q } q₀⁰ = [q0]R

F⁰ = F /R = { [q]R : q ∈ F } δ⁰([q]R, a) = [δ(q, a)]R

Fakt

L(A/R) = L(A)

Dowód:

bδ⁰([q0]R, w ) = [bδ(q0, w )]R

(15)

Automat minimalny jako automat ilorazowy

Niech A = (A, Q, {q0}, F , δ) automat deterministyczny. Niech L = L(A).

Załóżmy, że wszystkie stany automatu A są osiągalne.

Definiujemy kongruencję w A następująco:

q ≡Ap wtw. gdy Lq(A) = Lp(A)

Czy to jest kongruencja? Należy sprawdzić:

Lq(A) = Lp(A) =⇒ (q ∈ F ⇐⇒ p ∈ F )

Lq(A) = Lp(A) =⇒ L_δ(q,a)(A) = L_δ(p,a)(A), dla każdego a ∈ A.

start

a

b

b a

a, b a b

b a

(16)

Automat minimalny jako automat ilorazowy

Niech A = (A, Q, {q0}, F , δ) automat deterministyczny. Niech L = L(A).

Załóżmy, że wszystkie stany automatu A są osiągalne.

Definiujemy kongruencję w A następująco:

Fakt

Automaty A/≡Ai ALsą izomorficzne.

Dowód:

Q⁰ = { Lq(A) : q ∈ Q } q⁰₀ = Lq0(A)

F⁰ = { Lq(A) : q ∈ F } δ⁰(Lq(A), a) = Lδ(q,a)(A)

Q⁰ = { w⁻¹L : w ∈ A^∗} q⁰₀ = L = ε⁻¹L F⁰ = { M ∈ Q⁰ : ε ∈ M } δ⁰(M, a) = a⁻¹M Użyjmy faktu:

Lbδ(q0,w )(A) = w⁻¹L, dla każdego w ∈ A^∗.

(17)

Problem minimalizacji

Wniosek

AutomatminimalnyALjest wyznaczony jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu).

L = (a b)^∗

start

a

b

b a

a, b a b

b a

start

a b

b a

a, b

(18)

Problem minimalizacji

Problem obliczeniowy

Dane: automat deterministyczny A

Wynik: automat (izomorficzny do automatu) AL

Algorytm minimalizacji

usuń stany nieosiągalne z automatu A

oblicz relację ≡A q ≡Ap wtw. gdy Lq(A) = Lp(A) oblicz automat ilorazowy A/≡A

(19)

Jak obliczyć relację ≡

A

?

q₀ start

q4

q2

q₁ q3

a

b

b a

a, b

a b

b a

q0 q1 q2 q3 q4

q0 × × ×

q1 × × ×

q2 × ×

q3 × ×

q4 × × ×

q0 q1 q2 q3 q4

q0 × × ×

q1 × × ×

q2 × × ×

q3 × × ×

q4 × × × ×

Początkowa równoważność:

q ≡0 p ⇐⇒ (q ∈ F ⇐⇒ p ∈ F ) Uszczegółowienie:

q ≡n+1 p ⇐⇒ q ≡np ∧ ∀a ∈ A δ(q, a) ≡n δ(p, a)

q ≡Ap ⇐⇒ ∀n q ≡np

(20)

Plan

(21)

Brak jednoznaczności

start a

b

c b, c

a, c

a, b

start b, c

a, c

a, b a

b c

(22)

Relacja ≡

A

dla automatów niedeterministycznych

q ≡Ap ⇐⇒ ∀n q ≡np

Dla automatów deterministycznych:

q ≡0 p ⇐⇒ (q ∈ F ⇐⇒ p ∈ F )

q ≡n+1 p ⇐⇒ q ≡np ∧ ∀a ∈ A δ(q, a) ≡n δ(p, a)

Dla automatów niedeterministycznych:

q ≡0 p ⇐⇒ (q ∈ F ⇐⇒ p ∈ F ) q ≡n+1 p ⇐⇒ q ≡np ∧ ∀a ∈ A

∀q⁰ δ(q, a, q⁰) =⇒ ∃p⁰δ(p, a, p⁰) ∧ δ(p, a) ≡n δ(q, a)

∀p⁰ δ(p, a, p⁰) =⇒ ∃q⁰δ(q, a, q⁰) ∧ δ(p, a) ≡n δ(q, a)

q ≡Ap ⇐⇒ Duplikator ma strategię wygrywającą z pozycji (q, p)

(23)

Gra bisymulacyjna

Dwaj graczeSpoileriDuplikator, gra rozgrywana w rundach. Runda rozpoczyna się w pozycji (q, p) ∈ Q²i przebiega następująco:

Spoilerwybiera jeden ze stanów (powiedzmy q), literę a ∈ A, i stan q⁰taki, że δ(q, a, q⁰);

w odpowiedziDuplikatorwybiera stan p⁰taki, że δ(p, a, p⁰) i kolejna runda zaczyna się w pozycji (q⁰, p⁰).

Kto nie może wykonać ruchu, natychmiast przegrywa. Rozgrywkę nieskończoną wygrywa zawszeDuplikator.

start start

a

b c

a a

b c