• Nie Znaleziono Wyników

O kolorowaniach drzewa Cantora

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "O kolorowaniach drzewa Cantora"

Copied!
14
0
0

Pełen tekst

(1)

O kolorowaniach drzewa Cantora

Michał Skrzypczak

Uniwersytet Warszawski

22 kwietnia 2010

(2)

Automaty parzystości

Definicja

Deterministyczny automat parzystości to krotka

A = hQ, q0∈ Q, δ : Q × A → Q, Ω : Q → Ni . Język akceptowany przez automat

L(A) = n

α ∈ Aω: lim inf

n→∞ Ω(qαn) ≡ 1 mod 2 o

. Automat jest słaby jeśli Ω(q) ≤ Ω(δ(q, a)), czyli δ jest monotoniczna ze względu na Ω.

Fakt

Języki rozpoznawane przez automaty parzystości to dokładnie języki ω-regularne.

(3)

Drzewo Cantora

Definicja

Drzewo Cantora to zbiór A uporządkowany przez inkluzję. Jego element najmniejszy (korzeń) to słowo puste .

Fakt

Nieskończone gałęzie to słowa nieskończone nad A. Gdy zadamy na Aω topologię generowaną przez zbiory postaci [s] = sAω,

otrzymujemy homeomorficzną kopię zbioru Cantora.

(4)

Hierarchia borelowska

Definicja

Indukcyjnie, dla η < ω1:

Σ01 – zbiory otwarte w Aω,

Σ0η – przeliczalne sumy zbiorów zS

β<ηΠ0β, Π0η – dopełnienia zbiorów z Σ0η,

0η = Σ0η∩ Π0η,

BC Σ0η – kombinacje boolowskie zbiorów Σ0η.

Σ01 LL

L Σ02

LL

L Σ03

BC Σ01

02BB

||

BC Σ02

03BB

|| . . .

Π01 rr

r Π02

rr

r Π03

(5)

Własności hierarchii borelowskiej

Fakt

Hierarchia jest ścisła. Dla klas Σ0η, Π0η istnieją zbiory zupełne w sensie ciągłych redukcji. Każda z klas zawiera kontinuum zbiorów.

Fakt

Języki ω-regularne leżą w klasie BC Σ02. Nie wyczerpują jej, bo jest ich przeliczalnie wiele.

Σ01 LL

L Σ02

LL

L Σ03

BC Σ01

02BB

||

BC Σ02

03BB

|| . . .

Π01 rr

r Π02

rr

r Π03

(6)

Kolorowania

Definicja

Kolorowanie, to dowolna funkcja K : A→ N z warunkiem, by dla każdego α ∈ Aω, spełnione było

lim inf

n→∞ K(α|n) < ∞.

L(K) =n

α ∈ Aω: lim inf

n→∞ K(α|n) ≡ 1 mod 2o .

Fakt

Kolorowania, to to samo co „przeliczalne deterministyczne automaty parzystości”:

(A → K) K(s) := Ω(qs),

(K → A) Q := A, q0:= , δ(s, a) := sa, Ω := K.

(7)

Definicja

Kolorowanie jest:

skończone jeśli przyjmuje skończenie wiele wartości, monotoniczne jeśli nie maleje na gałęziach.

Twierdzenie (Główne wyniki)

kolorowania skończone ogólne monotoniczne BC Σ01

02 ogólne BC Σ02

03

Σ01 LL

L Σ02

LL

L Σ03

BC Σ01

02BB

||

BC Σ02

03BB

|| . . .

Π01 rr

r Π02

rr

r Π03

(8)

Metody dowodowe

L(K + 1) = Aω\ L(K).

Każdy z typów kolorowań jest zamknięty na przecięcie – konstrukcja zbliżona do tej dla automatów.

Więc każdy typ kolorowań zamknięty na operacje boolowskie.

Każdy zbiór Σ01 jest opisywany przez kolorowanie monotoniczne o wartościach {0, 1}.

Każdy zbiór Σ02 jest opisywany przez kolorowanie ogólne o wartościach {0, 1}.

Jeśli K ≤ N , to L(K) =S

0≤i≤N/2(F2i+1\ F2i+2).

(9)

f : Aω → Aω jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje f : A¯ → A „przybliżająca” f .

Jeśli f : Aω → Aω ciągła i K kolorowanie, to

f−1(L(K)) ⊆ Aω jest opisywany przez kolorowanie tego samego typu co K.

Jeśli X ⊆ Aω leży w klasie ∆0η to Xn% X i Yn% Aω\ X dla pewnych Xn, Yn∈ Π0η−1.

(10)

Wnioski

Naturalna reprezentacja nieskończonego automatu parzystości.

Kombinatoryczna charakteryzacja odpowiednich klas.

Konkretne przykłady dla ścisłych inkluzji BC Σ0n

( ∆0n+1

przy n = 1, 2.

Możliwość wyczerpania klas topologicznych modelem

„automatowym”.

Kolorowania skończone ≡ automaty z poradą ≡ zbiory gałęzi definiowanych w M SO z dodatkowymi predykatami.

Warunki lim inf i lim sup są nierównoważne (o tym zaraz).

(11)

lim inf vs. lim sup

Definicja

Kolorowania typu max – tak samo jak do tej pory, tylko lim sup zamiast lim inf.

Fakt (Intuicja)

Dla każdego ciągu (an)n∈N ⊆ N lim sup

n→∞

an< ∞ =⇒ lim inf

n→∞ an< ∞.

Twierdzenie

kolorowania max skończone ogólne monotoniczne BC Σ01

02 ogólne BC Σ02

( ∆03

(12)

Idea dowodu

Jeśli K – kolorowanie typu max, to istnieje takie s, że K|[s]

jest skończone. Bo można schodzić w dół drzewa, stale zwiększając K(si), dopóki się da.

Czyli L(K) ∩ [s] ∈ BC Σ02 – „własność upraszczania”.

Wystarczy wskazać T ⊆ Aω, taki że T ∈ ∆03\ BC Σ02 i T niezależny od prefiksu:

s∈AT ∼= T ∩ [s].

Wtedy T nie ma własności upraszczania, więc nie może być opisywany przez kolorowanie typu max.

(13)

Pomysł na T :

Rozważamy ciągi α ∈ Aω z nieskończenie wieloma literami b.

α = an0ban1b . . . traktujemy jako kod n0, n1, . . ..

Tworzymy kolorowanie K, tak by lim inf K(α|i) = 0 wtw ni → ∞. Wpp. by lim inf K(α|i) = lim inf ni.

Wtedy T = L(K) ∈ ∆03, T niezależne od prefiksu.

Można pokazać T /∈ BC Σ02, bo nie ma kolorowania skończonego K0 by L(K0) = T .

(14)

Dziękuję za uwagę, czy są jakieś pytania?

Cytaty

Powiązane dokumenty

Badanie funkcji - przygotowa¢ prezentacj¦ ilustruj¡c¡ wszystkie ele- menty badania funkcji..

Poj¦cia: metryka, przestrze« metryczna, kula otwarta, zbiór otwarty, zbiór domkniety, zbiór zwarty, zbiór spójny, odwzorowanie ciagªe, topologia, zbie»nosc w przestrzeni

Założenie: najefektywniejsze rozwiązanie stosu za pomocą tablicy – szczyt stosu to ostatni element wstawiony tablicy począwszy od miejsca o indeksie 0 (jeśli liczba elementów

Jeśli drzewo T nie jest puste oraz jego korzeń zawiera element x, to x znajduje się już w drzewie i nie wykonujemy żadnych dodatkowych kroków. Indukcja: Jeśli T nie jest puste i

dimming pełne podświetlenie LED ze strefowym wygaszaniem gdzie za ekranem umieszczona jest cała ściana diod, które mogą być strefowo wygaszane w pewnych miejscach ekranu

Jeśli jednak szukamy tylko wartości funkcji w określonym punkcie z , to prostsza jest metoda Lagrange’a:..

(patrz rysunek). Musimy jeszcze wykazać, że liczb z przedziału [0, 1] jest tyle samo, co nieskończonych ciągów zero-jedynkowych. Rozbijmy ten ostatni zbiór na dwie części: niech

[r]