Adam CZORNIK, P io tr JURGAŚ Politechnika Śląska
O S T A B I L N O Ś C I D Y S K R E T N Y C H U K Ł A D Ó W L I N I O W Y C H
S tre s z c z e n ie . Rozważamy tu ta j skończone zbiory m acierzy E — { A \ , A2 , ■ ■ ■ A n} takie, że promień spektralny każdej macierzy takiego zbioru jest m niejszy niż 1. N astępnie form ułujemy twierdzenie pokazujące, że dla takiego zbioru możemy zawsze skonstruować zbiór E ' = {A l± , A 1^ , . . . , A ^1}
( h , h , ■ ■ ■, ln € N) taki, że prom ień spektralny tego zbioru jest mniejszy niż 1 (p{E ') < 1).
S T A B I L I T Y O F D I S C R E T E L I N E A R S Y S T E M S
S u m m a r y . We consider finite sets of m atrices E = { A \ , A2 , ■ ■ ■ A n} such th a t spectral rad iu s of each m atrix th a t belongs to such set is less th a n 1. Then we form ulate the theorem th a t shows th a t for such set we can always con stru ct th e set S ' = {Aq1, A2 , . . . , A lf i } {I1 J 2 , ■ ■ ■ An € N) such th a t spectral radius o th is set is less th a n 1 (p(E') < 1).
1. W s tę p
Mimo że podstaw y teorii opisującej zachowanie zmiennych w czasie ukła
dów liniowych zostały sformułowane już pod koniec XIX i n a początku XX wieku, między innymi przez F lo ą u eta [1], Lapunowa [3] i Bohla [2], to jednak w teorii tej jest jeszcze ciągle wiele problemów pozostających bez rozwiązania. Jednym z takich problemów jest zagadnienie asym ptotycznej stabilności układów liniowych, które w ostatnich latach zn a jd u ją zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techni
ki od m odelowania ewolucji populacji prostych organizmów o zadanym genotypie po opis natłoku, pojaw iającego się w sieciach opartych n a protokole T C P /I P (por.
[7]). W szystkie te zjawiska mogą zostać opisane za pom ocą stanu początkowego reprezentowanego przez pewien wektor przestrzeni o skończonej ilości wymiarów oraz przez zbiór macierzy, odpow iadających bodźcom, mogącym mieć wpływ na zmianę stanu tego układu.
Rozważmy skończony zbiór m acierzy E, w którym wszystkie macierze są wym iaru l x l. Zdefiniujmy związany z tjma zbiorem niestacjonarny dyskretny układ liniowy o postaci
x ( t + 1) = f { t ) x ( t )
/ : N —> £ (1)
x(0) = X Q .
Rozwiązanie tego u k ład u będziem y oznaczali symbolem x ( t , f , x o). Będziemy też mówili, że u k ład ( 1) jest absolutnie stabilny, jeżeli dla każdej funkcji / i każdego w ektora xo zachodzi równość
lim x (t, f , x 0) = 0.
t—* 00
A bsolutna stabilność je s t najsilniejszym typem stabilności dyskretnych układów liniowych. Jeżeli u k ład jest absolutnie stabilny, to jest również stabilny w każdy inny sposób (np.: okresowo lub markowsko, por. [4]). W związku z tym w arto jest znać kryterium , pozw alające n a orzekanie o tym , czy dany układ jest absolutnie stabilny, oraz n a budowę takich układów. W iadom o, że niestacjonarny dyskretny uk ład liniowy zw iązany ze zbiorem E je st absolutnie stabilny w tedy i tylko wtedy, gdy p (E) < 1 (por. [4]), gdzie p(E ) jest prom ieniem spektralnym zbioru £ i dla zbiorów ograniczonych (w tym również skończonych) m ożna go opisać m iędzy innymi za pom ocą wzorów
p (s ) 7 7 - + 0 0 A e ^ nSUP P(A ) n (2)
p(E ) = sup sup p {A )n, 1 (3)
n€N i4€S”
gdzie
£ n =
p(A) = {max | A,;| : A,- jest w artością w łasną m acierzy A }.
W yznaczenie dokładnej w artości prom ienia spektralnego zbioru m acierzy w oparciu o znane algorytm y jest procesem o dużej złożoności obliczeniowej (por.
[5]) i może się nie zakończyć w skończonej ilości kroków (por. [6]). Intuicyjnie m ożna postaw ić hipotezę o tym , że stabilność wszystkich m acierzy A g E jest warunkiem w ystarczającym w ystępow ania absolutnej stabilności całego układu.
Poniższy p rzykład pokazuje jednak, że ta k nie jest.
P r z y k ł a d 1: Niech E = { A , B } , gdzie
Dla powyższych m acierzy zachodzą związki p( A) = p{B) = \ < 1. N atom iast
Z powyższego na podstaw ie wzoru (3) m ożna wyciągnąć wniosek o tym , że
z czego wynika, że dyskretny układ liniowy związany ze zbiorem E nie jest absolutnie stabilny.
P r z y k ł a d 2 : Równie dobry i z powodu kom pletnego pom inięcia a p a ra tu m atem a
tycznego bardziej przem aw iający do wyobraźni przykład przedstaw iono w szkicu pracy [7], P rzyk ład ten pokazuje, że przełączając się między dwom a stanam i pro
wadzącymi do rozw iązania zadanego problem u, m ożna nie osiągnąć zamierzonego celu.
Rozważmy sam ochód, k tóry z powodu usterki może jedynie skręcać skrajnie w lewo lub skrajnie w prawo. Sam ochód ten jest ustaw iony tyłem do celu, do którego m a trafić, i stoi w takiej odległości, że urucham iając silnik i wykonując tylko skręt w lewo albo tylko skręt w prawo docieram y do celu. Z drugiej jednak strony, szybkie naprzem ienne stosowanie dostępnych środków, czyli sk rętu w lewo i prawo, jest niem al tożsam e z p ro stą jazd ą przed siebie, co w tym przypadku oznacza ustaw iczne oddalanie się od zadanego celu.
2. G łó w n y w y n ik
Niestabilność u k ładu (1), dla którego wszystkie m acierze A € E są stab il
ne, powodowana jest dynam iką przełączeń. M ożna zatem przypuszczać, że jeżeli dynam ika ta jest dostatecznie wolna, tzn. kiedy układ pozostaje w każdym stanie dostatecznie długo, to zjawisko niestabilności nie może mieć miejsca. N astępujące twierdzenie uzasadnia słuszność tej hipotezy.
T w ie r d z e n ie 1 . Niech E = { A \ , A2 , ■ ■ ■ ,-dfc} i p (A ) < 1 dla każdego 1 < i < k.
Wtedy istnieją takie liczby naturalne l\, h , ■ ■ ■, lk, ¿e dla
zachodzi nierówność
p ( s ;) < 1.
D o w ó d : D la każdego i
p(Ai) = inf || A ||
(por. [8]) i
p(Ai) < 1.
Zatem , dla każdego i istnieje norm a || • tak a że ||A ,j|, < 1. W ybierzm y teraz liczbę 7i G (||j4,||,-, 1). Taki wybór wym usza prawdziwość nierówności
\ \ M \ i < 7,
gdzie 7 = m ax{7,}. Przechodząc do granicy, otrzym ujem y 0 < lim HA-llf < lim 7 " = 0.71—>00 11 111 n —>oo 1
K orzystając z własności norm y macierzowej, m ożna napisać, że O < 11^ 11?,
więc również
0 < lim ||A f ||; < lim ||A ,j|" = 0,
77— > 0 0 11 1 11 77— > 0 0 11 1 ,1
czyli dla każdego i praw dą jest, że
„lim ||A?||* = O,
a stą d n a m ocy równoważności norm w skończenie wymiarowej przestrzeni wynika, że dla każdego i i każdej ustalonej norm y || • ||* zachodzi równość
lim ||A ?||* = 0
Zatem , dla każdego e > O istnieje no(i) takie, że dla każdego n > no ('O I K | | * < e .
W ybierzm y teraz liczbę eo G ( 0 ,1) i związane z nią liczby li = no (i) + 1 dla 1 < i < k, ta k by
p '/ l l * < eo < 1 i stwórzm y zbiór
y,' =
W artość prom ienia spektralnego zbioru E ' m ożna oszacować w następujący spo
sób:
Zatem p(T,') < 1, co kończy dowód.
■
3. P o d s u m o w a n ie
Z przedstaw ionego powyżej tw ierdzenia wynika, że jeżeli dostatecznie wolno będziemy przełączać się między stanam i reprezentowanym i przez m acierze nale
żące do zbioru E, w którym wszystkie m acierze są stabilne, to związany z tym zbiorem dyskretny układ liniowy będzie zachowywał się w stabilny sposób. Wolne tem po zm ian stanów jest tu ta j utożsam iane z odpowiednio dużym i wartościam i wykładników potęg m acierzy opisanych w tw ierdzeniu 1. Osobnym problem em jest pytanie o możliwość istnienia górnego ograniczenia na w artości tych wykładników.
Problem ten p ozostaje jednak otwarty.
LITERATU RA
1. F loquet G.: Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques. Ann. Ecole Norm. Supérieure, 12 (1883), p. 47-89.
2. Bohl P.: Ü ber Differentialgleichungen. J. Reine Angew. M ath., 144 (1913), p. 284-313.
3. Lyapunov A.M.: Problèm e général de la stab ilité du mouvem ent. Ann. Fac.
Sci. Toulouse, 9 (1907), p. 203-474.
4. G urvits L.: S tability of discrete linear inclusions. Linear A lgebra Appl., 231 (1995), p. 47-85.
5. Tsitsiklis J.N ., Blondel V.D.: T h e spectral radius of a pair of m atrices is h ard to com pute. 35th Conference on Decision and Control, Kobe Japan, December 1996.
6. Blondel V .D ., Theys J., V ladim irov A.A.: An elem entary counterexam ple to th e finitness conjecture. SIAM J. M atrix Anal. Appl. Vol. 24, No. 4, p.
963-970.
7. Shorten R., W irth F., M ason O., Wulff K., King Ch.: S tability criteria for switched and hybrid system s - D raft.
8. Horn R.A ., Johnson C.R.: M a trix Analysis. Cam bridge Uni. Press, Cam brid
ge 1985.
Recenzent: Prof. d r hab. inz. Wojciech Mitkowski
A b s t r a c t
We consider finite sets of m atrices E = { A \ , A2 , ■ ■ ■ A , J such th a t spectral radius of each m atrix th a t belongs to such set is less th a n 1. T hen we form ulate th e theorem th a t shows th a t for such set we can always construct th e set E ' = {Aj1, A2 , - ■ ■, A 1"} ( h , h , ■ ■ ■ ,ln € N) such th a t spectral radius o this set is less th a n 1 (p(E ') < 1).