K r z y s z to f G I A R O , R o b e r t J A N C Z E W S K I P o lite c h n ik a G d a ń s k a
O PROBLEMIE PRZYDZIAŁU CZĘSTOTLIWOŚCI,
KONTRASTOWYM KOLOROWANIU GRAFÓW I CZĘŚCIOWYCH A-DRZEWACH
S t r e s z c z e n i e . P ro b le m p rz y d z ia łu c z ę s to tliw o ś c i to z a g a d n ie n ie , k tó re f o r m u łu je się z a z w y c z a j n a s tę p u ją c o : n a p e w n y m o b s z a rz e z n a jd u je s ię g ru p a n a d a jn ik ó w ra d io w y c h , k tó r y m tr z e b a p rz y d z ie lić c z ę s to tliw o ś c i w ta k i s p o s ó b , ż e b y n ie z a k łó c a ły s ię p o d c z a s n a d a w a n ia i a b y s z e ro k o ś ć w y k o rz y s ta n e g o p r z e z n ie p a s m a c z ę s to tliw o ś c i b y ła m in im a ln a . Z a g a d n ie n ie to m o d e lu je się z a z w y c z a j n a g ru n c ie te o r ii g r a fó w z a p o m o c ą tr z e c h p o ję ć : g ra fó w in te rfe re n c ji, k o n tr a s to w y c h p o k o lo r o w a ń i T -ro z p ię to ś c i. N in ie js z y a rty k u ł p o ś w ię c o n y j e s t z ło ż o n o ś c i o b lic z e n io w e j te g o m o d e lu ; z a w ie r a j e g o d o k ła d n y o p is, d o w ó d te g o , ż e w y z n a c z a n ie T -ro z p ię to ś c i i o p ty m a ln y c h p o k o lo r o w a ń k o n tra s to w y c h j e s t N P - tr u d n e n a w e t d la g r a fó w d w u d z ie ln y c h o r a z w ie lo m ia n o w y a lg o ry tm w y z n a c z a ją c y o p ty m a ln e p o k o lo r o w a n ia k o n tr a s to w e d la tz w . c z ę ś c io w y c h k -d rz e w .
ON THE FREQUENCY ASSIGNMENT PROBLEM, T-COLORINGS OF GRAPHS AND PARTIAL A-TREES
S u m m a r y . F r e q u e n c y a s s ig n m e n t p r o b le m (F A P ) c a n b e fo r m u la te d a s f o llo w s : th e re is a g ro u p o f tr a n s m itte r s s itu a te d in a c e r ta in re g io n o f a p la n e ; a c h a n n e l is to b e a s s ig n e d to e a c h o f th e m in s u c h a w a y th a t th e re is n o in te rfe re n c e d u r in g tr a n s m ittin g a n d th e s p a n o f u s e d fre q u e n c y b a n d is m in im a l. T h e p a p e r is d e v o te d to th e c o m p u ta tio n a l c o m p le x ity o f th e g r a p h -th e o re tic a l m o d e l o f F A P b a s e d o n th r e e n o tio n s : in te r f e r e n c e g ra p h s , T -c o lo rin g s a n d th e T -sp a n . W e d e s c rib e th e m o d e l, p ro v e th a t th e p r o b le m o f c o m p u tin g th e T -sp a n is N P - h a r d e v e n fo r b ip a r tite g ra p h s a n d p r e s e n t a p o ly n o m ia l tim e a lg o rith m f o r fin d in g o p tim a l T -c o lo rin g fo r th e so - c a lle d p a r tia l ¿ -tre e s .
1. Wprowadzenie
T e m a te m n in ie js z e g o re fe ra tu j e s t w p r o w a d z o n y p r z e z H a le 'a [2] te o r io g r a f o w y m o d e l d la p r o b le m u p r z y d z ia łu c z ę s to tliw o ś c i ( P P C z ). Z a g a d n ie n ie P P C z fo r m u łu je s ię z a z w y c z a j
n a s tę p u ją c o : n a p e w n y m o b s z a rz e z n a jd u je się g ru p a n a d a jn ik ó w r a d io w y c h , k tó ry m trz e b a p r z y d z ie lić c z ę s to tliw o ś c i w ta k i s p o s ó b , ż e b y n ie z a k łó c a ły s ię p o d c z a s n a d a w a n ia i a b y s z e ro k o ś ć w y k o rz y s ta n e g o p r z e z n ie p a s m a c z ę s to tliw o ś c i b y ła j a k n a jm n ie js z a . M o d e l H a le ’a o p ie r a s ię n a tr z e c h p o ję c ia c h : g ra fa c h in te rfe re n c ji, k o n tra s to w y c h p o k o lo r o w a n ia c h i T -ro z p ię to ś c i. P o ję c ia te z o s ta n ą p o n iż e j z d e fin io w a n e i p o k ró tc e o m ó w io n e .
G r a fe m in t e r fe r e n c ji n a z y w a ć b ę d z ie m y g ra f, k tó re g o w ie rz c h o łk a m i s ą ro z w a ż a n e n a d a jn ik i; w g ra fie in te rfe re n c ji k r a w ę d ź łą c z y p a r ę w ie r z c h o łk ó w - n a d a jn ik ó w w te d y i ty lk o w te d y , g d y m o g ą s ię z a k łó c a ć w tra k c ie n a d a w a n ia . W tra k c ie b u d o w y g ra fu in te rfe re n c ji u w z g lę d n ia s ię w s z y s tk ie c z y n n ik i m a ją c e w p ły w n a in te rfe re n c ję : u k s z ta łto w a n ie te re n u , p o ło ż e n ie n a d a jn ik ó w , c z y n n ik i m e te o ro lo g ic z n e i in n e . W y s tę p u ją c e d a le j g ra fy o z n a c z a n e b ę d ą lite r a m i G i H , ic h z b io ry w ie r z c h o łk ó w o d p o w ie d n io V (G ) i V (H ), a z b io ry k ra w ę d z i o d p o w ie d n io £ ( G ) i E (H ).
K o n t r a s to w y m p o k o lo r o w a n ie m lu b T - p o k o lo r o w a n ie m g ra fu G n a z y w a ć b ę d z ie m y k a ż d ą f u n k c ję , k tó r a p r z y p o rz ą d k o w u je w ie r z c h o łk o m g ra fu G lic z b y c a łk o w ite , n a z y w a n e d a le j k o lo r a m i, w ta k i s p o s ó b , ż e d la k a ż d e j p a ry s ą s ia d u ją c y c h w g ra fie G w ie r z c h o łk ó w u , v o d le g ło ś ć p rz y d z ie lo n y c h im k o lo r ó w n ie n a le ż y d o z b io ru T ({u , v }), g d z ie T ({u , v}) j e s t ta k d o b r a n y m p o d z b io r e m z b io r u lic z b c a łk o w ity c h n ie u je m n y c h , ż e k a ż d y p r z y d z ia ł n a d a jn ik o m u , v c z ę s to tliw o ś c i o o d le g ło ś c i n ie n a le ż ą c e j d o T ({u , v}) g w a ra n tu je b r a k in te r f e r e n c ji w tr a k c ie n a d a w a n ia (z a z w y c z a j p rz y jm u je się , ż e T ({u , v}) = {0}, g d y n a d a jn ik i u, v s ą p o ło ż o n e b lis k o s ie b ie i T ({u , v}) = { 0 ,1 } , g d y s ą b a rd z o b lis k o ).
K o n tr a s to w e p o k o lo r o w a n ie g r a fu in te rfe re n c ji j e s t w m o d e lu H a le 'a o d p o w ie d n ik ie m p r z y d z ia łu c z ę s to tliw o ś c i, k tó r y g w a ra n tu je b r a k in te rfe re n c ji w tra k c ie n a d a w a n ia . O d p o w ie d n ik ie m r o z w ią z a n ia p r o b le m u p rz y d z ia łu c z ę s to tliw o ś c i b ę d z ie o c z y w iś c ie k a ż d e o p ty m a ln e p o k o lo r o w a n ie k o n tra s to w e , tj. ta k ie , k tó re g o r o z p ię t o ś ć (r ó ż n ic a p o m ię d z y n a jw ię k s z y m a n a jm n ie js z y m w y k o rz y s ta n y m k o lo re m ) j e s t m in im a ln a . T ę m in im a ln ą m o ż l i w ą r o z p ię to ś ć w ś ró d w s z y s tk ic h m o ż liw y c h T -p o k o lo ro w a ń g ra fu G o z n a c z a się s y m b o le m s p i { G ) i n a z y w a T -r o z p ię to ś c ią g ra fu G .
D a ls z a c z ę ś ć te g o r e fe r a tu p o ś w ię c o n a j e s t z ło ż o n o ś c i o b lic z e n io w e j w y z n a c z a n ia T- r o z p ię to ś c i i o p ty m a ln y c h k o n tr a s to w y c h p o k o lo r o w a ń d la d w ó c h k la s g ra fó w in te rfe re n c ji:
g r a fó w d w u d z ie ln y c h i c z ę ś c io w y c h ¿ -d rz e w . W y k a ż e m y , ż e w y z n a c z a n ie o p ty m a ln y c h p o k o lo r o w a ń k o n tr a s to w y c h i T -ro z p ię to ś c i j e s t N P - tr u d n e w p ie rw s z y m p r z y p a d k u i r o z w ią z y w a ln e w c z a s ie w ie lo m ia n o w y m w d ru g im . P o d s ta w o w e in f o r m a c je n a tem a t z ło ż o n o ś c i ro z w a ż a n y c h z a g a d n ie ń w in n y c h p rz y p a d k a c h m o ż n a z n a le ź ć m .in . w [3 ] i [4].
2. Grafy dwudzielne
P r z y p o m n ijm y , ż e G j e s t g ra fe m d w u d z ie ln y m w te d y i ty lk o w te d y , g d y z b ió r je g o w ie r z c h o łk ó w m o ż n a p o d z ie lić n a d w a ro z łą c z n e p o d z b io r y V\, V2 ta k ie , ż e k a ż d a k r a w ę d ź g ra fu G łą c z y w ie r z c h o łe k z e z b io r u V\ z w ie rz c h o łk ie m z e z b io ru V2 . K la s a g ra fó w d w u d z ie ln y c h j e s t w a ż n a m .in . z e w z g lę d u n a p o s ia d a n e z a s to s o w a n ia w te o rii s z e re g o w a n ia za d a ń i u k ła d a n iu r o z k ła d ó w z a ję ć . D la n a s is to tn e b ę d z ie ty ik o to , ż e g ra fy d w u d z ie ln e m a ją re la ty w n ie p r o s t ą s tr u k tu r ę i w y s tę p u ją r z a d k o ( w ię k s z o ś ć g r a fó w n ie n a le ż y d o tej k la s y ).
T w i e r d z e n i e . W y z n a cza n ie T -r o z p ię to ś c i o ra z o p ty m a ln y c h T - p o k o lo r o w a ń j e s t N P - tru d n e n a w e t d la g r a f ó w d w u d z ie ln y c h .
D o w ó d . W y s ta r c z y w y k a z a ć , ż e w y z n a c z a n ie T -ro z p ię to ś c i g ra fó w d w u d z ie ln y c h j e s t N P -tru d n e , b o z te g o w y n ik a o d r a z u d ru g a c z ę ś ć te z y . A b y w y k a z a ć , ż e w y z n a c z a n ie T - r o z p ię to ś c i g r a fó w d w u d z ie ln y c h j e s t N P - tr u d n e , z re d u k u je m y d o s k o n a le z n a n y N P - z u p e łn y p ro b le m s p r a w d z a n ia 5 - k o lo r o w a ln o ś c i g ra fó w o g ó ln y c h d o s p ra w d z a n ia , c z y 7 - r o z p ię to ś ć g ra fó w d w u d z ie ln y c h n ie p r z e k r a c z a lic z b y 4.
N i e c h G b ę d z ie d o w o ln y m g ra fe m , a H g ra fe m d w u d z ie ln y m , k tó r y p o w s ta ł z G p o p rz e z w s ta w ie n ie n a k a ż d ą k r a w ę d ź je d n e g o n o w e g o w ie rz c h o łk a . W te n s p o s ó b k a ż d a k ra w ę d ź is tn ie ją c a w g ra fie G z o s ta ła p o d z ie lo n a n a d w ie ; je d n e j z n ic h p r z y p o rz ą d k o w u je m y z b ió r {0, 1, 4 } , a d ru g ie j z b ió r {0, 2 , 3} (in n y m i s ło w y , p rz y jm u je m y , ż e je ż e l i z je d n e j k ra w ę d z i e p o w s ta ły d w ie e i, e 2, to T { ei) = {0, 1, 4} i T (e2) = {0, 2 , 3} lu b T (e 2) = ( 0 , 1, 4} i T (ei) = ( 0 , 2 , 3 } ). W y s ta rc z y w y k a z a ć , ż e g r a f G j e s t 5 -k o lo ro w a ln y w te d y i ty lk o w te d y , g d y s p j( H ) < 4.
J e ż e li g r a f G m o ż n a p o k o lo r o w a ć 5 k o lo ra m i, to b e z s tra ty o g ó ln o ś c i m o ż e m y p rz y ją ć , że k o lo ra m i, k tó r e w y k o rz y s ta n o d o p o k o lo r o w a n ia g ra fu G , s ą lic z b y 0 , 1, 2 , 3 i 4 . O k a z u je się, ż e to p o k o lo r o w a n ie m o ż n a w n a tu ra ln y s p o s ó b p rz e d łu ż y ć d o k o n tr a s to w e g o p o k o lo r o w a n ia g ra fu H . W y s ta rc z y w ty m c e lu p rz y ją ć , ż e je ż e li w j e s t w ie r z c h o łk ie m g ra fu H , k tó ry n ie j e s t w ie r z c h o łk ie m g r a fu G , a k tó ry z o s ta ł w s ta w io n y n a k r a w ę d ź łą c z ą c ą w ie rz c h o łe k u z w ie r z c h o łk ie m v, to p r z y d z ie lo n y m u k o lo r c w z a le ż y o d k o lo r ó w w ie r z c h o łk ó w u , v w n a s tę p u ją c y sp o s ó b :
Cu Cv Cw
0 i 4
0 2 4
0 3 1
0 4 1
1 0 2
1 2 0
1 3 0
c u Cy C,y
1 4 2
2 0 3
2 1 3
2 3 1
2 4 1
3 0 2
3 1 4
c u Cy Cw
3 2 4
3 4 2
4 0 3
4 1 3
4 2 0
4 3 0
( z a k ła d a m y , ż e k ra w ę d z i {u , w} p rz y p o rz ą d k o w a n y z o s ta ł z b ió r (0 , 2 , 3 } , a k r a w ę d z i {v, w}
z b ió r { 0 , 1 , 4 } ). P o n ie w a ż u tw o r z o n e w te n s p o s ó b k o n tra s to w e p o k o lo r o w a n ie k o r z y s ta ty lk o z k o lo r ó w 0 , 1 , 2 , 3 i 4 , w ię c s p j( H ) < 4 , c o b y ło d o w y k a z a n ia .
Z d ru g ie j s tro n y , je ż e l i s p i{ H ) < 4 , to b io rą c d o w o ln e o p ty m a ln e p o k o lo r o w a n ie k o n tr a s to w e g r a fu H i o b c in a ją c j e d o z b io ru w ie r z c h o łk ó w g ra fu G , o trz y m a m y , c o ła tw o s p r a w d z ić , p o k o lo r o w a n ie g r a fu G k o rz y s ta ją c e z c o n a jw y ż e j 5 k o lo ró w , c o b y ło do w y k a z a n ia .
3. Częściowe ¿-drzewa
P r z y p o m n ijm y , ż e ¿ - d rz e w a (k j e s t tu ta j d o w o ln ą a le u s ta lo n ą l ic z b ą n a tu r a ln ą ) d e f in iu je się z a z w y c z a j ja k o n a jm n ie js z ą k la s ę g ra fó w , k tó r a z a w ie r a ¿ -w ie r z c h o łk o w y g r a f p e łn y o r a z j e s t z a m k n ię ta z e w z g lę d u n a o p e ra c ję d o d a w a n ia n o w e g o w ie r z c h o łk a s ą s ia d u ją c e g o z ¿ w ie r z c h o łk a m i, k tó r e i n d u k u ją p o d g r a f p e łn y ; ¿ - d rz e w a s ą ś c iś le z w ią z a n e z d r z e w a m i b o g r a f j e s t d r z e w e m w te d y i ty lk o w te d y , g d y j e s t 1- d r z e w e m i k a ż d e ¿ -d rz e w o j e s t g ra fe m s p ó jn y m .
P r z y p o m n ijm y ta k ż e , ż e g r a f j e s t c z ę ś c io w y m k -d rz e w e m w te d y i ty lk o w te d y , g d y j e s t p o d g r a fe m p e w n e g o ¿ -d rz e w a . C z ę ś c io w e ¿ - d rz e w a m a ją s iln ie z o rg a n iz o w a n ą , re k u re n c y jn ą s tr u k tu r ę , k tó r a c z y n i j e b a rd z o d o g o d n y m i d o o b ró b k i a lg o ry tm a m i d y n a m ic z n y m i.
D e f i n ic ja . D la d a n e g o c z ę ś c io w e g o ¿ - d rz e w a G p r z e z d r z e w ia s t ą d e k o m p o z y c ję r o z m ia r u k r o z u m ie m y p a rę (H, y), g d z ie H j e s t d rz e w e m , z a ś y = {X r. X ta / e / } r o d z in ą p o d z b io r ó w z b io r u w ie r z c h o łk ó w g ra fu G in d e k s o w a n ą w ie r z c h o łk a m i te g o d rz e w a , s p e łn ia ją c ą n a s tę p u ją c e w a ru n k i:
1) U
i eiXi=V(G),
2) d la k a ż d e j k ra w ę d z i { u , v} g ra fu G is tn ie je ta k i w ie r z c h o łe k i e I d r z e w a H , ż e {w, v} G
Xb
3 ) d la k a ż d e j tró jk i a , b , c s I ta k ie j, ż e b le ż y w H n a ś c ie ż c e p ro w a d z ą c e j z a d o c z a c h o d z i
Xa
nXc
ęXb,
4 ) d la k a ż d e g o i e I m a m y
\X\
< k +1.J a k p o k a z a n o w [1, 5 ], p r z y u s ta lo n y m k k a ż d e c z ę ś c io w e ¿ -d rz e w o p o s ia d a d r z e w ia s tą d e k o m p o z y c ję r o z m ia r u k i m o ż n a j ą u z y s k a ć w c z a s ie lin io w y m . C o w ię c e j, w d e k o m p o z y c ji tej k r a w ę d z ie d r z e w a H m o ż n a z o r ie n to w a ć tw o r z ą c d rz e w o b in a r n e o k o r z e n iu r , p rz y c z y m k aż d y w ie r z c h o łe k i z i i b ę d z ie je d n e g o z n a s tę p u ją c y c h ro d z a jó w :
1) l iś ć — i j e s t liś c ie m d rz e w a , w ó w c z a s |X,j = 1,
2) w ie r z c h o łe k w p r o w a d z a ją c y — i m a ty lk o je d e n b e z p o ś re d n i n a s tę p n ik j o r a z d la p e w n e g o w ie r z c h o łk a v e
V\Xj
z a c h o d z iX i =Xj(J
{v},3) w ie r z c h o łe k u s u w a ją c y — i m a ty lk o je d e n b e z p o ś re d n i n a s tę p n ik j o r a z d la p e w n e g o w ie r z c h o łk a v e
V\X,
z a c h o d z iXj
=X,
u {v},4 ) w ie r z c h o łe k łą c z ą c y — i m a d w a b e z p o ś re d n ie n a s tę p n ik i
j\
iji
o r a zXt
=Xjt = Xj2.
M a ją c d a n ą d r z e w ia s tą d e k o m p o z y c ję g ra fu G w p o s ta c i p a ry ( f i , y) d la d a n e g o w ie rz c h o łk a i d r z e w a b in a rn e g o i i o k re ś lim y p r z e z H-, j e g o p o d d rz e w o in d u k o w a n e p r z e z w ie rz c h o łk i: i o r a z w s z y s tk ie je g o n a s tę p n ik i (b e z p o ś re d n ie i p o ś re d n ie ). P o d o b n ie n ie c h G , b ę d zie p o d g r a fe m g r a fu G in d u k o w a n y m p r z e z s u m ę z b io r ó w
Xj,
g d z ie j p rz e b ie g a w s z y s tk ie w ie rz c h o łk i z ff,-. Ł a tw o z a u w a ż y ć , ż e H i j e s t d r z e w ia s tą d e k o m p o z y c ją r o z m ia r u k d la c z ę ś c io w e g o ¿ - d rz e w a G „ p o n a d to G r = G .Z d e f in ic ji b e z p o ś re d n io w y n ik a , ż e d la ¿ -d rz e w , a z a te m i d la c z ę ś c io w y c h ¿ - d rz e w p ra w d z iw e j e s t o s z a c o w a n ie lic z b y c h ro m a ty c z n e j y ( G ) < ¿ + 1 , w ię c z n ie r ó w n o ś c i T e s m a n a [6] o tr z y m u je m y s p i { G ) < k | U esE T(e)\.
D la u p r o s z c z e n ia z a p is u n ie c h L = {0, ..., ¿ ] U e6£ T (e)|} . N a m o c y p o w y ż s z e g o , sz u k a ją c o p ty m a ln e g o Z - p o k o lo ro w a n ia g r a fu G w y s ta rc z y r o z w a ż a ć p o k o lo r o w a n ia b a rw a m i ze z b io ru L . W d a ls z e j c z ę ś c i p rz e d s ta w im y je d y n ie c z ę ś ć a lg o ry tm u p o z w a la ją c ą n a o b lic z e n ie s p j ( G ) — je j r o z s z e r z e n ie d o p ro c e d u ry z w ra c a ją c e j r ó w n ie ż o p ty m a ln e T- p o k o lo ro w a n ie j e s t p ro s te .
D la k a ż d e g o i e I o b lic z y m y w a rto ś ć fu n k c ji £>,•: L x <- > N q u {0 0} ta k ą , ż e D,((J>) d la d o w o ln e j fu n k c ji (j>: X —>L j e s t n a jm n ie js z ą m o ż liw ą w a r to ś c ią m a k s y m a ln e g o k o lo r u d la (7 ją ) - p o k o lo r o w a n ia g ra fu G< k o lo ra m i z L b ę d ą c e g o p r z e d łu ż e n ie m <(>. W p r z y p a d k u g d y p o k o lo r o w a n ie ta k ie n ie is tn ie je , p rz y jm u je m y , ż e f u n k c ja m a w a r to ś ć n ie s k o ń c z o n ą . J e s t o c z y w is te , ż e w a rto ś c i k a ż d e j z fu n k c ji D,- m o ż n a z a k o d o w a ć w p o s ta c i ta b lic y lic z b c a łk o w ity c h o c o n a jw y ż e j \L\M k o m ó rk a c h . P o n a d to s p i( G ) j e s t ró w n e m in im u m z D r. A b y o b lic z y ć tę o s ta tn ią f u n k c ję b ę d z ie m y w y z n a c z a ć w s z y s tk ie Z), d la i e I ro z p o c z y n a ją c o d liś c i d r z e w a b in a r n e g o H , s y s te m a ty c z n ie p o s u w a ją c s ię w g ó rę , a ż d o k o rz e n ia . A lg o ry tm j e s t n a s tę p u ją c y :
1. J e ś li / j e s t liś c ie m , to X , j e s t je d n o e le m e n to w y i z d e fin ic ji D,(<j>) = / d la <}> = /.
2 . J e ż e li i j e s t w ie r z c h o łk ie m u s u w a ją c y m o b e z p o ś re d n im n a s tę p n ik u j o r a z X j = A) u {v} a f u n k c ja Djj e s t j u ż z n a n a , w ó w c z a s A(<1>) = m in { D /ą i) : a ą / e l * } . 3. J e ż e li i j e s t w ie r z c h o łk ie m w p ro w a d z a ją c y m o b e z p o ś re d n im n a s tę p n ik u jo r a z A)
= X j u {v}, a f u n k c ja Dy j e s t j u ż z n a n a , w ó w c z a s m a m y D,(<t>) = <x> d la w s z y s tk ic h fu n k c ji 4> s p e łn ia ją c y c h |<KV)-<K“ )I e 2"({v, u } ) p r z y p e w n y m u e X j, s ą s ia d u ją c y m z v w G . W p r z e c iw n y m z a ś ra z ie m a m y D,(<j>) = max(<j>(v), Dj{<j>|y)).
4 . J e ż e li i j e s t w ie r z c h o łk ie m łą c z ą c y m o n a s tę p n ik a c h y j iy'2, a f u n k c je D ^ i Dy2 s ą j u ż z n a n e , w ó w c z a s Dj(ij>) = m ax (D ; i (<|>), D j^fy)) d la k a ż d e g o <{> e Z A
P o p r a w n o ś ć k o n s tr u k c ji w p u n k c ie 3 w y n ik a z fa k tu , ż e z g o d n ie z d e f in ic ją d rz e w ia s te j d e k o m p o z y c ji m a m y v g Vj, a n i te ż n ie s ą s ia d u je o n w G z ż a d n y m w ie r z c h o łk ie m z Pj-\ Aj-. N a to m ia s t w p u n k c ie 4 k o rz y s ta m y z te g o , ż e z b io ry VJ i \ X l o r a z Vą\ X , s ą r o z łą c z n e i n ie z a le ż n e w G/.
J e s t w id o c z n e , ż e w y lic z e n ie D,- n a p o d s ta w ie z n a n y c h w a rto ś c i p rz y p is a n y c h b e z p o ś re d n im n a s tę p n ik o m / w y m a g a OffcjLI**1) o p e ra c ji a ry tm e ty c z n y c h . N a to m ia s t \Ą j e s t p r z y u s ta lo n y m k o g r a n ic z o n e z g ó ry f u n k c ją lin io w ą n, s tą d o s ta te c z n a z ło ż o n o ś ć o b lic z e n io w a c a łe g o a lg o ry tm u j e s t w ie lo m ia n o w a i w y n o s i 0(«|Uee£
T(e)\^[).
L I T E R A T U R A
1. B o d la e n d e r H .L .: T re e w id th : a lg o rith m ic te c h n iq u e s a n d re s u lts . P ro c . 2 2 n d Int.
S im p o s iu m o n M a th e m a tic a l F o u n d a tio n s o f C o m p u te r S c ie n c e , L N C S 12 9 5 (1 9 9 7 ), pp.
2 9 -3 6 .
2. H a le W .K .: F r e q u e n c y a s s ig n m e n t: T h e o ry a n d A p p lic a tio n s . P r o c e e d in g s o f th e IE E E , v o l. 68, n o . 12, 1 9 8 0 , p p . 1 4 9 7 -1 5 1 4 .
3. J a n c z e w s k i R .: O z ło ż o n o ś c i p ro b le m u p rz y d z ia łu c z ę s to tliw o ś c i i k o n tra s to w e g o k o lo r o w a n ia g ra fó w , Z e s z y ty N a u k o w e P o lit. S I., ser. A u to m a ty k a 1 3 1 ,2 0 0 0 , s. 9 5 -1 0 1 . 4 . J a n c z e w s k i R .: K o n tr a s to w e k o lo r o w a n ie g ra fó w i je g o z a s to s o w a n ia , P r a c a d o k to rs k a ,
P o lite c h n ik a G d a ń s k a , w y d z . E T I, 2 0 0 1 .
5. J a n s e n K ., S c h e f fle r P .: G e n e r a liz e d c o lo rin g f o r tre e -lik e g ra p h s , D isc . A p p . M a th . 7 5 ( 1 9 9 7 ) , p p . 1 3 5 - 155.
6. T e s m a n B .A .: A p p lic a tio n s o f f o rb id d e n d iffe re n c e g ra p h s to T -c o lo rin g , C o n g re s s u s N u m e r a n tiu m 7 4 , 1 990, p p . 1 5 -2 4 .
R e c e n z e n t: P ro f. d r h a b . in ż. J e r z y K la m k a
A b s t r a c t
F r e q u e n c y a s s ig n m e n t p r o b le m (F A P ) c a n b e fo rm u la te d a s fo llo w s : th e re is a g ro u p o f tra n s m itte rs s itu a te d in a c e rta in r e g io n o f a p la n e ; a c h a n n e l is to b e a s s ig n e d to e a c h o f th e m in s u c h a w a y th a t th e r e is n o in te rfe re n c e d u rin g tr a n s m ittin g a n d th e s p a n o f u s e d fre q u e n c y b a n d is m in im a l. T h e p a p e r is d e v o te d to th e c o m p u ta tio n a l c o m p le x ity o f th e g ra p h - th e o re tic a l m o d e l o f F A P b a s e d o n th re e n o tio n s : in te rfe re n c e g ra p h s , T -c o lo rin g s a n d th e T - sp an . T h e m o d e l h a s b e e n in tro d u c e d b y H a le . W e d e s c rib e it, d e fin e in te rfe re n c e g ra p h s , T - c o lo rin g s , a n d th e T -sp a n . N e x t, w e p r o v e th a t th e p r o b le m o f c o m p u tin g th e T -sp a n is N P - h a rd e v e n f o r b ip a r tite g r a p h s b y r e d u c in g th e w e ll- k n o w n N P - c o m p le te 5 -c o lo ra b ility p ro b le m to o u r p ro b le m . F in a lly , w e p r e s e n t a p o ly n o m ia l tim e a lg o rith m fo r fin d in g o p tim a l T -c o lo rin g fo r th e s o - c a lle d p a r tia l k -tre e s . T h e a lg o rith m is b a s e d o n a d y n a m ic p ro g ra m m in g a p p ro a c h a n d s o m e p r o p e rtie s o f tre e s .
