Warunki zbieżności algorytmów dyskretnego sterowania samolotem lekkim

ZESZYTY N A UKO WE P O LI T EC H N IK I Ś L Ą S K I E J 1992

Seria:AUTOMATYKA X. 109 Nr kol. 1178

Jan GRUSZECKI

Politechnika R z e s z o w s k a

NARUNKI Z BIEŻNOŚCI A L G O R Y T M Ó W D Y S K R E T N E G O S T E R O W A N I A S AM OL O TE M L E K KI M THE C O N V E R G E N C E C O N D I T I O N S F OR A I R C R A F T C O N TR OL D I S C R E T E ALGORITHMS

LES C O N D I T I O N S DE C O N V E R G E N C E DES A L G O R I T H M S DE C O M M A N D E D I G I T AL E POUR AVION D ' A F F A I R E S

S t r e s z c z e n i e: W p r a c y p r z e d s t a w i a n o wyniki o sz ac o w a n i a w arunków z bieżności dwóch a l g o r y t m ó w s t e r o w a n i a s a m o l o t e m z a u t o p i l o t e m cyFrowym w k anale pochyl an i a. O s z a c o w a n i e tych w a r u n k ó w w y k o n a n a stosując pojecie m odu ł u ci ą głości Funk c ji w p r z e s t r z e n i a c h Banacha. U z y s k a n e warunki s pr aw d z o n a metoda symulacji d l a s a m o l o t u d y s p o z y c y j n e g o "M-20 MEWA".

S u m m a r y : T he p ap er present! the r e s u l t s oF e va l ua ti on conve rg en ce c on dition For se le c t e d a i r c r a F t control a l g o r i t h m s applied to the a u t o p i l o t ’s pitch ch annel. To e v a l u a t e t h e s e co nd it i o n s t he notion aF the m o d u l e s F u n c t i o n c o n t i n u i t y in the B a na c h space is u s e d .Computer s i m u l a t i o n s c a r r ie d out For the light air cr aF t "M-20 MEWA" and the th e oretical r e s u lt s hav e shown good agreement.

R é s u m é : Dans cot a r t i c l e on a c o n s id er é les résultats d ’é v a l u a t i o n des c o n d i s i o n s de c o n v e r g e n c e de d e u x a l g o r i t h m s de comm a nd e po ur un avion avec le p i l o t e a u t o m a t i q u e digi t al au c h anel d ’a ssiette longitudiale. L ' é v a l u a t i o n de c e t t e s c o n d i t i o n s a été réealisée en a p p l i q u a n t l ’idée du m o d u l e de c o n t i n u i t é des f u n c t i o n s dan s l ’espace de Banach. Les c o n d i t i o n s sont e x a m i n é e s p e n d a n t la s i m u l a t i o n pour l ’avion d ’a f f a ir es “M - 2 9 0 MEWA".

W P R O W A D Z E N I E

R óż no rodność m e to d p r o j e k t o w a n i a u k ł a d ó w s t e r o w a n i a obiektami latającymi wynikła z różnych w ia sn a sc i d y n a m i c z n y c h ty c h o b i e k t ó w i zadań, jakie spełniają w c z a s i e ek sp lo a t a c j i . Je st to p rz yczyną br ak u j ed nolitych kryteriów dla p r o j e k t o w a n i a a u to pi l o t ó w . W p r z y p a d k u s te ro w a n i a ci ąg łe g o zadania te r o z w i ą z a n o z p o w o d z e n i e m za pomocą m etod linii p i e r w ia st ko w yc h bądź też c h a r a k t e r y s t y k logar yt mi c zn yc h, u m o ż l i w i a j ą c y c h sp r aw d z e n i e obszarów st a bi l n o ś c i układu. W p r o w a d z e n i e a u t o p i l a t ó w cyfrowych, przy jednoczesnej a g r e g a c j i d an yc h o s ta n ie obiektu, w y m a g a innego sposobu p r o j ek to wa n ia u kładów. U ż y w a n e p o w s z e c h n i e m e t o d y s y m u l a c y j n e prowadzą do poprawnych wyników, lecz c z a s p o t r z e b n y na re al iz a c j e proc ed u r w y boru parametrów a u t o p i l o t a z a l e t y ad s t op ni a znajo m oś ci o b s za r ów zbieżności algorytmu s y m u l a c y j n e g o oraz d o kł ad n o ś c i o s zacowań z mi e nnych stanu obiektu dla w y b r a n e g o c z a s u p r ó bk ow an i a. P r o b l e m zbieżności w y b r an e go algorytmu s ym ulującego ruch p o d ł u ż n y s a m o l o t u dla małyc h pochyleń zastał p r z e ds ta w ia ny w ni n ie j s z e j p r a c y w u j ę c i u pół c i ąg ły m i dyskretnym.

Załóżmy,Ze u kł ad s t e r o w a n i a s a m o l o t e m w r uc hu p o d ł u ż n y m m a prostą struktura podaną na rys.l.

78 Jan Gruszecki

Rys.l. S t r u k t u r a u k ł a d u s t e r o w a n i a ką te m p o c h y l e n i a s a m o l o t u Fig.l. P it c h a n g l e control s y s t e m s t r u c t u r e

Niech stan s a m o l o t u o p i s a n y b e d z i e u k ł a d e m równali liniowych:

x (t )= A x ( t ) + B 5 H (t) (1)

gdzie: x (t ) = [u ,a ,q ,© A i B - m a c i e r z e s t a ły ch w s p ó ł c z y n n i k ó w o w ym ia r a c h o d p o w i e d n i o (4x4) i (4x1),

u - p r zy r o s t p r ę d k oś ci podłuż ne j, a - pr z yr o s t kąt a natarcia,

q - p r z y r o s t p r ę d ko śc i p o c h y l e n i a kątowego, f* - p r z y ro s t ką t a p o c h y l e n i a samolotu, t wa ru nkami p o c z ą t k o w y m i

x ( 0 ) = x Q (2)

Kąt p o c h y l e n i a s a m o l o t u m i e r z o n y m i e r n i k i e m g i r o s k a p o w y m d a n y jest ("Ownaniem o postaci:

d© (t) m dt

T --- + O (t) * K $<t)

P r z y j m i j m y , ± e p r a w a s t e r o w a n i a b i d z i e m i a ł a w ł a ś c i w o ś c i r e g u l a t o r a P I D 7 o g r a n i c z a n y m p r z e d z i a ł e m c a ł k o w a n i a C23, tj,;

d A © (t — T ) 4

A (t) «= K A © ( t - T ) + K — + K |A© (t— T )dr (4)

H p 1 R U L kT *J .

tt

dla 0<tt <t i T b ę d ą c e g o c z a s e m o p ó ź n i e n i a p o t r z e b n y m na o b l i c z e n i e wartcsci s y g n a ł u s t e r u j ą c e g o 6^. Tak p o s t a w i a n y p r o b l e m sy mu la c ji o d po w i a d a U kładowi z rys.l, g d y ruch o b i e k t u wr az z m i e r n i k i e m s y m u l o w a n y jest przez U kład analogowy, zaś .komputer stanowi p r z e l i c z n i k r e a l i z u j ą c y zależność (4). O d p o w i a d a wiec r z e c z y w i s t e m u u k ł a do wi s t e r o w a n i a s a m o l o t e m p rzez

•u t ap il ot a s t r u k t u r z e cyfr ow e j z prz y ję tą c z ę s t o t l i w o ś c i ą ko m utacji d a ny ch o s t a ni e samolotu, « t = 1/T, ora z tą samą c z e s ta t 1 iwaś cią u s t a w i a n i a m e c h a n i z m u wyk on aw c ze go .

Warunki zbieżno śc i algorytmów.

79

2. P R Z Y P A D E K M O D E L U P Ó L C I A G L E G O

R o z p a t r z m y w p i e r w p r z y pa de k o s z a c o w a n i a zbieżności a l g o r y tm u C 13 .C35.C45 Z r ó w n a n i e m w ę zł a

A0Ct3 = & -6 Ct3 , 9 = const. r«-,

i m z

gdy r o z w i ą z a n i e r ó w n a n i a C13 p r z y j m i e m y w postaci:

JeA«k*i<r'llB 6 _HC

r CklO

w p r z e d z i a l e c z a s u CO.T^] p o d z i e l o n y m na K r O w n y c h o d c i n k ó w czasu o długości T, p r z y c z a s i e o p O Z n i e n i a b o d ą c y m r - k r o t n o ś c i ą p r ze dz i a ł u T.

R ó w n a n i a C3),C 4 ) i C5) p r z y j m ą p o s t a ć !

T T

T T

AdCkT3 = 9 - 0 m 9 C C k - 1 3 T 3 - K e t C k - 1 3 T 3 C l - e _{Z m m} m 3 C73

K K

R R

6 CkT) = CK - — — +K TDAfrCCk-rJTU- - = — Afr[C k- r +D Tl +

h p T i T

k-i

K xT ^ AetCl -r 3T 3 C83

i. = k - »

dl a o g r a n i c z o n e g o d o 3 T c z a s u całkowania-'członu c a ł k u j ą c e g o regulatora.

W a r t oS C w e k t o r a x CC k+13T3 =CFx3 CCk+13T) b e d z i e r ó w n a :

f *t<

xt Ck +13T3 = e * T x C k T 3 + |eAI(k'

r

k T

T T

T T

» t e -e m & t C k -r-13T3 -K e t C k - r - 1 5 T K l - e m 5 3 +

t e -e 9 t C k - r 3 T 3 - K e t Ck-r3T3 Cl-e 33 +

r — < T ^

K T ) [ & -e m e C Ci -r -15T3 -K &i Ci -r-l)T3 Cl -e ) 3>dt CO)

X / x m m

i^k—*

e o Jan Gruszecki

Warunki zbieżności a l g o r y t m u (9) o k r e ś l i m y korzys ta j ąc z p o j ę c i a mo dułu Ciągłości -funkcji w p r z e s t r z e n i a c h B a n a c h a [lj.

R o z w a ż m y przes tr ze ń C funkcji ci ąg ł y c h na o d c i n ka ch [kT,{k+l)T]

k = 0 , 1 , . . . , K z normą m a k s i m u m oraz przestr z eń C T OjT^.] funkcji n - k r o t n i e r oż ni c z k o w a l n y c h w s p asnb c i ą g ł y na o d c i n k u C0»T ] ze st a ndardową normą;

¡¡x| * max [|x || : i= 0,1,... ,n ] .

c n t o . T i n o . T i

Ponieważ w d a l s z y m c i ą g u interesować n as b e d z i e t r a n s f o r m a c j a (Fx) d a n a jzaleincscią (9) w p u n k t a c h d y s k r e t n y c h kT (k = 0 , 1 , . . . , K), m a ż e m y założyć, t e jest o n a o k r e ś l o n a na p r z e s t r z e n i C i p r z y j m u j e wartości p tej prz e st rz en i . Jej moduł ci ąg ło śc i r o z u m i a n y ja ko

<o (Fx ,T) = sup [| (Fx) t (k+1 ) T 3 - ( F k ) (kT) | : k= .0,1,... ,K .]

s p e ł n i a n ierOwnaSC ;

< k .2 > T

u (Fx , T ) < |eA T f | x[Ck +1 )T }- x < k T ) |j tjj

J

K K k + i < k - * i v r

* < ( K --- —K — +K T)e + — +K T)6 + — 0 +K T > — & +K T ) O > - I O > - e*Kk*i>T-ti t

p T I r T r I x

k T

K _ k - i Ckt-2>T

A C <k«-2>T -tJ

* i <K - — — +K T)© •*- — — © + K t V © >dt|! + II -j

p T I x T x I / x " 11

< k * » T

- K K

T R K

* Be " f ( K — +K T) f> C( k- r) T j+ — — 6 [(k-r + l)Tj +

p T I m I m

k - 1 < k * l > T _ T

- K,T ^ ^ [ ( i - r J T J J d t +J eA1<lt*1)T-u Be ^ <(KP T +KIT )*

i®k-9

* © c ( k-r-1JT3+ — Z— © C (k - r) T3 H< T V © i ( i-r-1 )T3>dt|j +

m T m Z / m "

Warunki Zbi eż noś ci algorytmów. B I

Ck**lT ^ ____ T y.

T *

e* t * u ) i- u B ( l - e — --- E— : ) { K ( K - -= '= = "-+ « T ) & [ ( k - r ) T

3

m p I Z

>-I

k —1 < k « - l> T

9 [ ( k - r + l | T ] + K K T ) £> [ (i-r )T3>+ ^ K m T ^ 9 [ ( i - r ) T ] > + I e * « k « i i T - l i B $ l * k - l

T R K. K«

* (1-B m K K (K - — +K T ) e [ ( k - r - l ) T 3 + -— © C ( k -r )T 3 +

m p I I I

KjK^T ^ ©[ ( i-r-1 )T]>dt J (10)

Wartaić d r u g i e g o m o d u ł u prawe j s t r o n y (10) jest r ó wn a zero , zań p o z o s t a ł e o s z a c o w a n i a p a p r o s t y c h p r z e k s z t a ł c e n i a c h pr owadza do h i e r O w n o i c i :

T T

eAT— 1 T~ K* " T

w (Fx )£ | B|( ----5--- ||« m || ( K p + 2 — + 4 K T ) | « ( e m > T ) + | B | | l - e * J*

eA T -l

*8 — - --- J|Km (K^+2 — +4KT)|u(f> T ) + | eAI |co (x ,T) (11)

gdzie: w ( 0 , T ) ” sup C|jS C (k+1 )T]-© (kT) | : k = 0 , l , . . . , K 3.

w ( x , T ) = w ( £ , T ) d la & c x.

A wi e c r o z p a t r y w a n y a l g o r y t m b e d z i e zbieiny, d o p e w n e g o oto cz en i a r o z w i ą z a n i a p r o b l e m u (1), (3), (4), (5), jeS.l i:

T

— - eA T -l K«

|eA T |+ 2 j B S | l - e " || ||Km (Kp + 2 — + 4 K T ) | < 1 (12)

p r z y « t e r o w a n i u s p e ł n i a j ą c y m warunek:

l i m |<5H C ( k + l ) T 3 - ć H ( k T ) | - 0 k -#00

82 Ja n Gruszecki

3 . frtypadek MODELU DYSK R E T N E G O

W d r u a i m p r z y p a d k u r o z p a t r z m y algorytm, w k t ó r y m obiekt o p i sa ny r ó w n a n i e m C U z warunkami C23 r e p r e z e n t u j e r ó w n a n i e r O i n l e o w e w postaci:

x[(k+l)TJ=ft1x ( k T ) + B t6H(kT); k = 0 , f K (13)

g dzie m a c i e r z e i B | t worzone s ą o d p o w i e d n i o z m a c i e r z y A i B:

x( t ) = A x ( t ) + B i K,

atlMlli i * Lilii

xC OJ =x 1 1 4J

o

Z a ł ó ż m y jak w y ż e j . ż e o b i e k t jest s t e r o w a n y c i ą g i e m i m p u l s ó w o w y p e ł n i e n i u r ó w n y m r=l z o p ó ź n i e n i e m T = r T w z g l e d e m chwili k T oraz G ® const:

_ R R

6 C JTJ -K T ) $ +K & -CK + - = “ J G t C J - r J T 3 + 0( C J - r +1 J T 3 +

1 ¿ L * P = P T

v s j - 3

k-1

+ KjT ©CCj-rJT) C15J

p rz yj mu j ąc d l a u p r o s z c z e n i a o b l i c z e ń r ó w n a n i e m i e r n i k a w postaci:

& CkTJ = BCkTJ.

m

W c e lu o s z a c o w a n i a w a r u n k ó w z b ie ż no śc i a l g o r y t m u C13J i C15J, p r z y j m u j e m y p r z e s t r z e ń l “ C R nJ z ł o ż o n a ze w s z y s t k i c h o g r a n i c z o n y c h ciągow.-

ixCkTJJ w R n . xC kTJ =t uC kT J ,a Ck TJ , qCkTJ , BCkTJ )T N iech w R n b e d z i e z a d a n a n o r m a m a k s i m u m , t o z n a c z y :

{ x J - m a x C ( u | . | a | , |q|. j»|>.

n at om i a s t n or m a w l'^’CR'Im a k l a s y c z n a p os ta ć :

|x|=sup< m a x | xCkT>|: k < K >.

»<i<< L

R o z w a ż m y w l e c t r a n s f o r m a c j e F o k r e ś l o n ą n a p rz e st r z e n i l ^ C R ^ :

k - 1

C F x J C k T J = A >tx +

V

1 O » 1 H

j=o

g d z i e ó^CJTJ d a n e Jest z a l e ż n o ś c i ą C1SJ, b ę d ą c ą r o z w i ą z a n i e m rów na ni * r ó ż n i c o w e g o C13J w d y s k r e t n y c h c h w i l a c h c z a s u kT. Warunki g w a r a n t u j ą c e . że t r a n s f o r m a c j ą F Jest k o n t r a k c j ą w z g l e d e m m i a r y n i e zw ar t os ci fj, czyli i s t n i e j e s t a ł a h m (0.1) t a k a , ż e :

m C F X 5 S k pCXJ ; x « X.

Warunki zbieínoSci algorytmów.

03

O k r e ś l i m y p r z y j m u j ą c m i a r * nlezw ar to s ei w przestrzeni l°°CRn3 w postaci:

p < X 3 « l l m < s u p <sup< ¡xCiT3-xC JTJ |: i.J>k >>>, n-CO X«X

g dzie X Jest d o w o l n y m n i e p u s t y m 1 o g r a n i c z o n y m p o d z b i o r e m przestrzeni i °°C r” ) .

W y b i e r z m y wiec d o w o l n e x e X i k < K oraz q b e d a c e d o w o l n a liczba naturalna. Mamy:

k » q - l j - ‘

| CF x3 t Ck +q J T 3 - C F x 3 C k T J J « |A |k*q,x o + ^ a[Ic*,*j‘1>BiIK fT ^ \ +KpeI+

j = o i. = j - a

K a K * J‘ł

-C K p- — — 30t C J -r3TJ ♦ — — »C CJ -r + l J T l - K j T Ot Ci-r3>T3-Akxo +

i * j - »

v - i j - i Kb Kr

+ V A<k* J' ł>B 1 K T

V

i i X X p x p T T

J * o i * j - »

j-*

* K^T £ 8 t C i - r ) T 3 3 | C173

1« J - »

O s z a c o w a n i e C175. p o u w z g l ę d n i e n i u n i e r ó w n o ś c i ;

k 1

C1 + | A | * - | A | V . . + | A | 3 S

1+IA 1 1 ^ 1 -

Oraz o c z y w i s t e g o w a r u n k u |A | < 1 d a j e »dla k-*oo i |xCkT3 | £ M »

i 4

n a s t ę p u j ą c * nierówność;

* + l \ l K . i

|<Fx31 C k + q 3 T 3 - C F x J j S | A j k lxo M 2 ~ T ~ +Kp+3V l “

« J B J s u p C JeCpTł - 8CsT>|: p,s 2: k-r3 ♦

I M “

+ M |K + 2 - J 5- +3 K T| JB | C183

1 P T x i - | A t I 1

P r z e c h o d z ą c t e r a z z k-wo i b i o r ą c k r e s g ó r n y o b u st ro n ni erówności C1834 dostajemy:

«4

I M

^ F x l 5 «19)

ca p o z w a l a n n i a s k a w s c , ± e ciąg {«(kT)} b o d ą c y r o z w i ą z a n i e m zada ni a (là) ma Skciiczaną granice, gdy:

4. UWAGI K O Ń C O W E

Zauw a im y , Z e o t r z y m a n e w y s t a r c z a j ą c e warun k i z b ie żn oś c i a l g o r y t m u p ó ł c i ą g ł e g o i d y s k r e t n e g o zaletą ad p a r a m e t r ó w p r a w a s t e r o w a n i a r e a l i z o w a n e g o p rzez a u t o p i l a t a i c z a s u T repetycji układu. Cz as o p ó ź n i e n i a s y g n a ł u s t e r u j ą c e g o p o d a w a n e g o na w y j ś c i e m e c h a n i z m u w y k o n a w c z e g o nie w p ł y w a b e z p o ś r e d n i o n a z bi e żność pr oc ed u ry , lecz m a ist ot ny w p ł y w na wartość b ł ę d u kąta & o s i ą g a n e g o p rz e z s a mo lo t w k o l e j n y c h ch w il a c h kT.

O m a w i a n e p r z y p a d k i a l g o r y t m u b y ł y s y m u l o w a n e d la w y b r a n y c h d a n yc h s a m o l o t u

” M“ 20 MEWA" d l a różn yc h c z a s ó w a p ó ż n is i rT p o t w i e r d z a j ą c poprawność z a p r e z e n t o w a n y c h w p r a c y wyników. 2 u wagi na o g r a n i c z e n i a o b j ę t o ś c i o w e p r a c y zastana o n e z a p r e z e n t o w a n e szer z ej w c z a si e t r w a n i a Ko n fe r e n c j i ADPP.

L I T E R A T U R A

L 1D Gru sz ec k i J.: O c e n a zbież no śc i k o m p u t e r o w y c h a l g o r y t m ó w sterowania.

Z e s zy t y N aukowe, S e r i a M ec ha n ik a, z . 25, R z e s z ó w 1991.

t2] T o m cz yk A.: P r a k t y c z n e d y s k r e t n e a l g o r y t m y s t e r o w a n i a samolotem.

M a t e r i a ł y VIII K K AD PP ( w d r u k u ).

R ec en ze n t: P r o f . dr h.inż. J e r z y K lamka W p ł y n ę ł o do Re dakcji do 3 0 . 0 4 . 1 9 9 2 r.

A b s t r a c t :

The paper p r e s e n t s t h e r e s u l t s of e v a l u a t i o n o f c o n v e r g e n c e c on dition e s t i m a t i o n for s e l e c t e d a i r c r a f t control a l g o r i t h m s a p pl i ed to t he a u t o p i l o t ’s pith c h a n n e l . T h e control a l g o r i t h m s t r u c t u r e a l l o w s fo r t he t ra ns m i s s i o n of signal d e l a y b e t we e n t h e a u t o p i l o t and its ac tuator. The P ID reg ul a to r control law w a s i m pl em e nt ed in t h e a u t o p i l o t ’s co ntroller.

T he e s t i m a t o n o f a l g o r i t h m c o n v e r g e n c e c o n d i t i o n s was c a r ri e d out for the s e m i - c o n t i n u o u s and d i s c r e t e a i r c r a f t m at he m a t i c a l models. To e v a lu at e t h e s e condi t io ns , t h e n o t i o n of t h e m o d u l e s f u n c t i o n c o n t i n u i t y in the B anach s p a c e w a s used.

C o m p ut er s i m u l a t i o n s carr ie d o ut for t h e light a i r c r a f t "M-20 MEWA" and t h e th eo r e t i c a l r e s ul ts h a v e s h o w n go od agreement.

*

(K +■? ---- T) < 1 _{(2 0)}

d l a s t e r o w a n i a 6 s p e ł n i a j ą c e g o w a r u n e k •'

lim ¡¿h C (k+i )T]-ć h (kT) I =0 p r z y ||Aj < 1.