ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1985
Sarla i MECHANIKA z. 62 Nr kol. 845
Ewald Macha
Wyższa Szkoła Inżynierska,Opole Instytut Budowy Maszyn
OBLICZANIE TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ ELEMENTÓW MASZYN METOD* SYMULACJI CYFROWEJ
Streszczenie.Sformułowano algorytm oceny trwałości zmęczeniowej i stopnia uszkodzenia zmęczeniowego elementów maszyn pozostających pod wpływem wieloosiowych obciążeń losowych. Rozpatrywano punkt, w którym znany jest stan naprężenia oraz charakterystyki zmęczeniowej materiału. Sformułowany algorytm został użyty w warunkach symulowane
go, losowego, trójoslowego stanu naprężenia. Przeanalizowano cztery kryteria wytężenia zmęczeniowego. Zliczanie cykli przeprowadzono me
todą Rain Flow. Amplitudy cykli transformowano ze względu na różne towarzyszące im wartości średnie 1 częstotliwości. Uszkodzenia znę - czeniowe kumulowane według hipotez Palmgrena-łlinera i Haibacha.Potwier
dzono: | przydatność metody symulacji cyfrowej do obliczenia trwałości zmęczeniowej w wybranych punktach elementów maszyn.
1. Wprowadzenie
Brak zadowalających rozwiązań teoretycznych,a, także . niedostateczny stan badań eksperymentalnych sprawia, że oceny trwałości zmęczeniowej lub stppnia uszkodzenia zmęczeniowego elementów maszyn i konstrukcji pozosta
jących pod wpływem losowych obciążeń eksploatacyjnych można obecnie doko
nywać jedynie w sposób przybliżony. Wystarczy wspomnieć, że dotychczas brak jakichkolwiek testowych badań zmęczeniowych materiałów w warunkach wieloosiowych obciążeń losowych{j8,9j. Dostępne wyniki takich badań dotyczą obciążeń o charakterze sinusoidalnym, a znane badania przy obciążeniach losowych dotyczą tylko obciążeń jednoosiowych.
W tych warunkach formułowanie nawet z konieczności uproszczonych pro
cedur postępowania może czasem zaspokoić potrzeby praktyki inżynierskiej , na przykład wtedy, gdy z kilku proponowanych rozwiązań konstrukcji należy wybrać to, które będzie się eharakteryzov;ać największą trwałością zmęczę - nlową.
Nie ulega też wątpliwości, że aby sensownie zaplanować bardzo koszto - wne badania zmęczeniowe materiałów w warunkach wieloosiowych obciążeń lo
sowych, trzeba formułować różne koncepcje algorytmów i weryfikować je wstę
pnie możliwie najdokładniej poprzez ustalenia teoretyczne i obliczenia.
Celem niniejszej pracy jest wykorzystanie metody symulacji cyfrowej do przewidywania trwałości zmęczeniowej elementów maszyn na podstawie zapro
ponowanych algorytmów. Algorytmy te wymagają znajomości stanu n a p r ę ż e n i a
52 E. Mach«
i charakterystyk zmęczeniowych materiałów. Czyniąc zatem stosowne założe
nia dotyczące .wyżej wymienionych wymagań, dąży się do praktycznego zilus
trowania przebiegu symulacji cyfrowej na wybranym przykładzie i do porów
nania ze sobą proponowanych algorytmów oceny trwałości zmęczeniowej.
2. Algorytm wyznaczania trwałości zmęczeniowej
zakłada się, że w analizowanym punkcie konstrukcji lub maszyny wystę
puje losowy złożony stan naprężenia jako rezultat działania różnych sił zewnętrznych o charakterze losowym; Procedura wyznaczania trwałości zmę - czeniowej rozpoczyna się oq generowania losowego tensora stanu naprężenia o żądanych charakterystykach statystycznych. Losowy tensor naprężenia jest generowany w postaci sześciowymiarowego procesu wektorowego o żądanych roz
kładach prawdopodobieństwa i macierzy kowariancji lub macierzy gęstości widmowej.
Losowy tensor naprężenia jest opisywany w kategoriach teorii korelacyj
nej i przyjmuje się, że jest to proces stacjonarny i ergodycznyl
^ ( U W J t C U
gdzie przez /k»1,...,6/ oznaczono jednowymiarowe procesy stochastyczne, będące składowymi tensora naprężenia (J^CtJ, /l,j « x,y,z/.
Szczegółowy opis metody generacji losowego tensora naprężenia oraz spo
sobu kształtowania jego charakterystyk statystycznych został zawarty w pra
cy [10J.
Przejście ze złożonego do jednoosiowego losowego stanu naprężenia od
bywa się na podstawie jednego z kryteriów wytężenia zmęczeniowego,zapropo
nowanych w pracach[7,8,
9
]. Przewodnia idea leżąca u podstaw tych kryteriów polega na przyjęciu, że o złomie zmęczeniowym materiałów decydują jedynie te składowe stanu naprężenia lub odkształcenia, które działały w płaszczyźnie zaistniałego złomu zmęczeniowego /lub działają w oczekiwanej płaszczy
źnie złomu zmęczeniowego/.
Naprężenie zredukowane, wyznaczone na podstawie wspomnianych kryteriów, przybiera następujące wartości, zależne od zastosowanego kryterium:
I. Kryterium maksymalnego naprężenia normalnego w płaszczyźnie złomu
Obliczanie trwałości zmęczeniowej,. 53
II. Kryterium maksymalnego odkształcenia w kierunku prostopadłym do pła - szczyzny złomu
GredII(t1“ ^ 1 ^1+ j ~ ® x x ( t ) + i“ 2 1 (U ) - J ' 0 y y W +
* [ n y i u ) 2 (1+J [i1« ll.Cj|y_(t)+■ l 1i1 0x z (tj +
+ ¿1^1 Gyz W ] (3j
III. Kryterium maksymalnego naprężenia stycznego
wpłaszczyźnie złomu
/i 2 *2
^ r e d l l l ^ K 1? - 1 ! ) ^ ^ - >
«’yyW
+ (“ l " “3 ^ z z (t,+Z^ l “l. “ ^ * y lt) + 2 (11 V 13n3^
5x*(t) + 2 (“A “ Y3,'ry«(tl W;
IY»Kryterium maksymalnych naprężeń stycznych i normalnych
wpłaszozyźnie złomu
^ r e d l Y W ' m i K “ *3 + X ( fi + l / J G T « ^ + f “5 * “ 3 +
+ K:(Sl, + ®
3
)2
J Gryy W + [ “i -$3
♦ * (>»t + n3 ) 2]z r,(i1«1 - v 3)+ m h + V .♦
♦ 2 [ [ 1 ^ - i3n3) + x (i, + i1 + ¿3)Jcrxs! ft; ♦
+ ąif.(B
1
a1
- ®3
“ 5)+ E i®! ♦ “3
) (», ♦ a3
)J<> U ) . ( 5).gdziet
V.K
- stałe materiałowe
A A / ^ \
1 ■
cos
06 ■cos
(J , x )11
n 1 n '“n
" °0S^ n *
0 0 8(^n,y) * (n - 1,2,3)
“n “ C0B^ n “ coo(G’-n,,i)
Analizując wzory (2) - (5J należy zauważyć, że naprężenie zredukowane ff A t ) zależy liniowo od składowych stanu naprężenia f f ■, (i,j «• x,y,zi
red ij
a w związku z tym funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa procesu lo
sowego (T będzie typu normalnego N (o, J*<rT0^ » 0 ile łączny rozkład losowego tensora naprężenia (1J jest typu normalnego /o zerowych wartoś - ciach średnich/,
Położenie oczekiwanej płaszczyzny złomu zmęczeniowego jest opisywane za pomocą wartości średnich kosinusów kierunkowych ln*mn*nn os^ głównych naprężeń ji a proces uśredniania odbywa się na wartościach ką
tów z użyciem wag
w Ct) J
54 E. Hacha
*
* * “ ■
i f*n(t)
w ( t ) d t ' OT
k m i / A i (tl w (t) dt> (n " 1»2*3;
o
L m i j f n (t)
W ( t ) d t ' Ogdzie:
r
W - j * ( \ ) dt, o
T - czae uśredniania.
Poszukiwania właściwej spośród kilkunastu zaproponowanych rodzajów wag przeprowadzono metodą symulacji komputerowej, uwzględniając dostępne wy - niki badań testowych materiałów przy wieloosiowych obciążeniach sinusoidal
nych, zgodnych w fazie i z różnymi kątami przesunięcia fazowego£
1
3,17
j.Między innymi bardzo dobrą zgodnośó przewidywania oczekiwanego płaszczyz - ny złomu zmęczeniowego z rezultatami testowych, badań zmęczeniowych uzyska
no dla materiałów w stanie elastokruchym /żeliwo/ przy użyciu następującej wagi P t O «
0 gdy CT, (tka(T
i az
w (t) - ) , CT, U ) V m ( 7 )
I(j-L— ) m t ( ? , ( « > « „ aZ
Waga ta uwzględnia jedynie te położenia osi głównych, w których wartości maksymalnego naprężenia głównego 0^ (t) są większe od pewnego ułamka! ®/8“
O, 5/naprężenią granicznego (^ » p r z y c z y n ich udział w procesie-uśredniania zależy- o granicy zmęczenia g ■ i nachylenia m wykresu WBhlera.
aZ
Krzywa zmęczenia Wbhlera jest opisana następującym równaniem;
C t ) Bdy
>« V
i 00 Ca ¿ G¡
(
8)
az
w którym: N(Ga l ~ liczba cykli naprężeń harmonicznych do zniszczenia za
leżna od amplitudy g
&
NQ - graniczna liczba cykli odpoY/iadająca granicy G"&zt m - stała.
Aby skorzystać z określonych za pomocą krzywej zmęczenia WBhlera wła
sności materiałów, przebieg losowy naprężenia (t) dzielimy na cykle 1
Obliczani* trwałości zmęczeniowej. 53 półcykle 1 zliczamy je. Stosuje się tu takie metodyjjakjRaln Flowy. Rangę Pair, Fuli Cycles i innepS,H,18l Wymienione metody dają bliskie sobie re
zultaty liczbowe przy zliczaniu cykli. W niniejszej pracy posłużymy się me
todą Rain Flow,
Przed rozpoczęciem zliczania cykli i półcykli przebieg czasowy napręże
nia podlega kompresji czasowej. celem tej operacji jeat przede wszystkim wy
eliminowanie stałych w czasie fragmentów realizacji naprężenia, które w is
tocie nie powodują zmęczenia materiału, a także uniknięcie zliczania w kom
puterze cyfrowym cykli o znikomo małych amplitudach. Operacja kompresji cza
sowej polega na pominięciu powtarzających się po sobie wartości nie różnią
cych się od wartości poprzedzających je o wartość większą niż .Przyjęto?
*<r - 5 X 10-3 ( s max - ęrBin) . . (9)
gdzie! —
(j , . odpowiednio maksymalna i minimalna wartość naprężenia nieOC min
t j, występująca w analizowanej realizacji cza3ovej.
Sposób zliczania półcykli i cykli metodą płynącego deszczu /Rain Flow/przed- stawiono na rys.1.
Przebieg naprężenia najlepiej rozpatrywać, z osią czasu zwróconą ku dołowi, a linie łączące ekstrema traktOY/ać jako dachy .p&góA* Wtedy sposób postępo - wania daje się obrazowo.kojarzyć ze spływem strumieni wody deszczowej po tych dachach. Spływ strumienia wody /zliczanie półcykli i cykli/ rozpoczyna się od początku przebiegu, a następnie kolejno od wewnątrz każdego ekstre - mum i trwa do momentu, gdy!
- osiągnie maksimum równe lub większe od lokalnego maksimum początkowego /jeśli rpzpoczął się od maksimum/,
- osiągnie minimum równe lub mniejsze od lokalnego minimum. początkov,-ego
■ /jeżeli rozpoczął się od minimum/, - napotyka strumień z \ryższego poziomu.
Odcinki, nafirtórych końcach spływ.' został zatrzymany przez strumienie z wy
ższych poziomÓY/, są łączone z odcinkami sąsiednimi o takich samych rozpię - tośclach 1 tworzą pełne cykle. Pozostałe, których nie można sparować,tworzą półcykle. Każdy odcinek przebiegu naprężenia jest brany do zliczania tylko raz.
W odniesieniu do każdego półcyklu 1 cyklu oblicza się wartość amplitudy
<3 , wartość średnia er i częstotliwość f według następujących wzorów!
a ‘ m
56
%B.1 .
gdzie!
n - B -
O(n-At)
10
pótcykl
pótcykl
pbtcykl
Przykład, zliczania półcykli i cykli metodą płynącego /Rain Flow/
dla półcykli
dla cykli,
numery eksternów w przebiegu naprężenia
liczba okresów próbkowania At pomiędzy ekstremami.
E . Macha
deszczu
Obliczani* trwałości zmęczeniowej.. 57 Transformowanie wartości amplitud półeykli i cykli CT (f) o różnych czę
stotliwościach na ekwiwalentne wartości amplitud (Ta T f (fh), odpowiadają
ce jednej częstotliwości f^, przy której wyznaczono wykres zmęczenia WBhle- ra danego materiału, odbywa się według zależności C O
Funkcja F(f)opisuje wpływ częstotliwości f na granicę zmęczenia <r (f)zgo- ElZ &
dnie z relacją:
-|M } % - - * ( * ) • ' (12)
?az (f^)
i spełnia warunek F(f) + r m0.
/ " ha.
Transformowanie wartości amplitud półcykli i cykli o różnych warto
ściach średnich (S * 0 na ekwiwalentne wartości amplitud <T _ o er ■ 0
m aTm m
odbywa się według wzoru [_ 7_J:
^aTm “ ^a + ^az r*(lr” l)+ O - P H l * ) ] i (1D
m m
gdzie:
R^ - granica wytrzymałości przy rozciąganiu,
p - stała materiałowa występująca w zależności Troosta i El-Magda [1 9 J.
Dla p “ 0 zależność Troosta i El-Magda przechodzi w zależność Gerbera,a dla p » 1 w zależność Goodmana.
Obliczenie trwałości zmęczeniowej TR i stopnia uszkodzenia zmęczeniowe
go S(tJ według wybranej hipotezy kumulacjl uszkodzeń zmęczeniowych odbywa się na podstawie histogram amplitud naprężenia uzyskanego w procesie zlicza
nia cykli oraz wykresu WBhlera danego materiału /Tq - czas obserwacji rea - lizacjl naprężenia/.
Spośród wielu znanych hipotez kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych materia
łów najczęściej stosuje się hipotezy Palgrena-Minera Ql5»12j, Serensena - Kogajewa[l8j, Cortena-Dolana[2J, a ostatnio HaibachaCsl. W niniejszej pracy do obliczenia trwałości zmęczeniowej TR i stopnia uszkodzenia zmęczeniowego S(TJ posłużymy się hipotezami Palmgrena-Minera i Haibacha.
Według hipotezy Palmgrena-Minera:
* ” - * ' W . 1 ( 1 S I
Według hipotezy Haibacha:
58_____________ E. He che
S (S ) - Ł n l .. + E ni (16)
t-1 ę- » i-
3+1 P
— 25TT“ ' 1 '5ai gIgJai-4 / przy czymś
r 1...3 i m l
3+1,...,dla
k dla ^ai < - * u
’■»
’ V ? V ~'
3. Przykład syntulac3i cyfrowe3
Proces symulacji przebiega w dwóch etapach. W pierwszym etapie wyzna - cza się średnie kosinusy kierunkowe osi głównych odkształceń, a-przez_ to' i oczekiwane położenie płaszozyzny złomu zmęczeniowego /rys.2/, w drugim zaś etapie oblicza się trwałośó zmęczeniową materiału /rys.3/.
Symulac3a rozpoczyna się od generowania losowego tensora stanu napręże
nia /blok 1/. Każda ze składowych stanu naprężenia posiada rozkład normal
ny N(.0,1) i szerokopasmowe widmo częstotliwości pokajane na rys.4.
W celu operowania realnymi wartościami naprężeń każdy z sześciu loso - wych ciągów liczb pomnożono przez wspólny współczynnik skali wynoszący 30
£KPa3* W badaniach wygenerowano N sora stanu naprężenia
odpowiada to czasowi obserwacji realizacji naprężenia zredukowanego _0
= 0 ’-1) At = 6,14 [s] . Obliczona macierz kowariancji wygenerowanego tensora 16384 realizacji losowego ten - Przy przyjętym okresie próbkowania A t = 375 x 1o D3)
stanu naprężenia pirzyjSła następujące wartości:
902,8 455,4 274,5 -274,6 -455-5 61,9 455,4 864,9 133,2 -133,2 -864,9 36,0 274,5 133,2 853,2 -853,3 -133,3 171., 3 -274,6 -133,2 -853,3 853,3 133,3 -171,3 -455,5 -864,9 -133,3 133,3 864,9 -36,0 51,9 36,0 171,3 -171,3 -36,0 892,8
Obliczanie trwałości zmęczeniowa;).. 59
1
Generowanie składowych losowego tensora stanu naprężenia
^ x x ®”yy I ^zz i xz G yz
ł ł ł ł * *
2 .Obliczanie składowych stanu odkształcenia £ ..
■ ł • '
3
Obliczanie odkształceń głównych i ich kosinusów kierun
kowych
£ n* V V nn (n " 1* 2*
3
*ł 4
Porządkowanie odkształceń głównych J. odpowiadających im kosinusów kierunkowych według relaejii
i 5
Obliczanie średnich wartości kątów v wg -wzorów (
6
)* ■ ■
6
OrtogonalizacJa wartości średnich kosinusów kierunkowych A - A AV V nn ł 7 Drukowanie wartości i , m , n
n F n F n
Rys.2 Schemat ideowy programu symulacji cyfrowej /etap 1/ do wyznaczenia średnich kierunków osi głównych w loaowo zmieniającym się złożonym stanie naprężenia
Przejście ze ekładowyoh stanu naprężenia ^ do składowych stanu od - kształcenia Ł^. /blok 2/ odbywa się zgodnie z uogólnionym prawem Hooke’a.
Następnie /blok
3
/ składowe są traktowane jako elementy pewnej symetrycznej maoierzy kwadratowej i metodą Jacobiego [16],są obliczane jej wartoś
ci i Wektory własne. Wartości własne odpowiadają odkształceniom głównym, a wektory własne - ich kosinusom kierunkowym. Odkształcenia główne i odpowia
dające im kosinusy kierunkowe są porządkowane /blok 4/ według relacji
£
1
> £g > £3
' a następnie są obliczane /blok5
/ kąty i ich wartości średnie“‘n ’ Pn* T wedłuS wzorów (
6
) z użyciem zapisanej w relacji odkształceń wagi (7). Na podstawie wartości średnich kątów są obliczane średnie kosinusy kierunkowe osi głównych 3^» m^, n^, (n - 1,2,3) .Ponieważ na ogół nie speł
niają one warunków ortogonalności, przeprowadza się ich ortogonalizację.
Procedura ortogonalizacji wartości średnich 1^, mn , /blok
6
/ polega na rozwiązaniu nieliniowego układu6
równań przy zadanych wartościach1
^» “j»które pozostają niezmienne na wejściu i wyjściu tej procedury.Pierwszy etap symulacji kończy się /blok
7
/ wydrukiem dziewięciu wartości macierzy kosinusów kierunkowych.Wartości tej macierzy są wykorzystywane w drugim etapie symulacji, w którym oblicza się trwałość zmęczeniową
1
stopień uszkodzenia zmęczeniowego S(T ) materiału /rys,
3
/.Etap ten rozpoczyna się również od generowania losowego tensora stanu naprężenia - identycznego jok w etapie pierwszym - przy czym tutaj składowe tensora są użyte do obliczania /blok8
/naprężenia zredukowanego według cytowanych kryteriów wytężenia zmęczeniowego.60 E. Macha Generowanie składowych losowego tensora stanu naprężenia
X X G s G er
yy zz xz yz
Obliczenie przebiegu naprężenia zredukowanego <T ,
według (2) - (5) red
9 Kompresja czekowa przebiegu
10
Zastosowanie losowego przebiegu 6" . półcyklami i cyklamimetodą Rain Rlow r
11 Transformacja amplitud cykli ze względu na różne wartości średnie według (13)
Ga
12 Transformacja amplitud cykli ze względu na rożne często
tliwości. według (11)
°aTm Caj-f GoJmf
13 Obliczenie trwałości i stopnia uszkodzenia zmęczenio
wego Tr oraz S(Tq) według (14) - (17)
Drukowanie wartości
14
tr p-m
’’RH
Sp-M ^To> SH '
Rys. 3. Schemat ideowy programu symulacji cyfrowej /etap II/ do obliczania trwałości i stopnia uszkodzenia zmęczeniowego materiałów, losowo zmieniającym się złożonym stanie naprężenia
Rys.4 Wykres funkcji gęstości widmowej G(oj) generowanych ciągów losowych składowych stanu naprężenia ^ = 1, cu = 418,9 [s-^]
Z kolei przebieg losowy naprężenia zredukowanego podlega kompresji czasowej /blok 9/i zastępowalny jest przez pojedyncze półcykle i cykle /blok 10/.Nas
tępnie amplitudy pó>cykli i cykli są transformowane ze względu na różne towarzyszące im wartości średnie/blok 11 /według/1 3/1 częstotliwości/blok12/
Obliczani» trwałości zaęczonlowaj.. 61 według (.11} i liletransformoraie 1 Jednokrotnie lub dwukrotnie transformowa
ne amplitudy cykli są używane do obliczania /blok 13/ wartości TR i S (J J według hipotez Palmgrena-Kinera i Haibacha. Drugi etap Byoulacji kończy się drukowaniem /blok
14
/ wartości I„ i S (i ),K o
4. Wyniki obliczeń i ich analiza
Symulację przeprowadzono w odniesieniu do danych materiałowych odpowia
dających żeliwu. Stałe: Rm - 160,99 [KPa], 0 ^ - 96,14fttPa], m » 19,4, lig - 1,9 x 10 zaczerpnięto lub określono- na podstawie danych przytoczonych w pracy[l3j. Przyjęto następującą postać funkcji F ( f ) we wzorze(111t
r (*)«
Aff
dla f < r h
dla t > i, (18)
Stałe ij * 2 x 10 ^[s], f^ ■ 160 [Hz] określono na podsthwie d;mych zaaie - szczonych w pracy £4j. Ponadto przyjęto: E - 11 x lO^jj-IPa], . - 0,25 ,p » 1 i K « 0,8979 wg Katake L 1O w zależności (5).
W wyniku zrealizowania pierwszego etapu symulacji według schematu z rys, 2 uzyskano następujące wartości średnich kosinusów ki rurkowych osi głćvmych:
1., - -0,17727 -0,31134 0,93362
m ■» 0,92392 m.A *
*2 ~ ■•’t u*, --0,37945
1, = 0,93362 m~ = 0,048894 n!,’
0,3390}
0,87125 0,35^92
^
— ?
-f JT
Łatwo sprawdzić, że spełniają one warunki crtogonalności.
Uzyskane w drugim etapie symulacji /według schematu z rys.3/ wartości trwałości zmęczeniowej materiału TR i stopnia uszkodzenia zmęczeniowego S U H w czasie = 6,14[sj zestawiono odpowiednio w tab. 1 i 2 ,
T ab. 1, Wartości trv/ałości zmęczeniowej materiału TR w warunkach symulowane
go locov.-ego trójosiowego star.u naprężenia
?R f«J
^"redl ^ redli s redIII ®rcdIV
,G-a
TR? .. = 34218,4
?;;K " -
35935,7
112223.6 107902.7
1077,2 1077,0
501808,7 281098,1
**aTf
34195,7
33913,5
1076,6 1076,4
301796,0' 281079,2
^alTra 25080,4 24855,9
71878,0 70449,9
668,9 668,7
148703,5 145269,7
^aTmf
25089,6 24866,0
72178,9 70613,5
660,3 660,1
149452.3 146158.4
62 g . Much«
Sab.2 Wartości stopnia uszkodzenia zmęczeniowego S(l) w warunkach symulo
wanego losowego tr<5¡¡osiowego stanu naprężenia
S(To), » 6,14 [sj
'’redl '’redli ^redlił '■’redlV 1
Sa
sp_K (T0) -0,17354x10”3 S„ (T ) -0,18104x10"5
h o
0,54745x10”4 0,56937x10”4
0,57031x10-2 0,57043x1O“2
0,20356x10“*
o ^ i s s e x i o ” 4
'’alf
0,17966x10~3 0,18116x10-3
0,57063x1O-2 0,57076x10-2
0,20357x10~4 0,21357x10~4
'■’aTm
0,24496x1c“' 0,24717x10-3
0,85473x10-4 0,87206x10-4
0,91844x10-2 0,91873x10~2
0,41315x10~4 0,42291x10“4 '’almf
0,24487x10 - 3
0,24707x1O-3
0,85117x10~4 0,87004x1O-4
0 , 9 3 0 4 1x1 0 - 2
0,93069x1O-2
0,41108x1O-4 Ó,42034x10~4
Oznaczenia: gt_ -inietransformowane amplitudy cykli
- amplitudy cykli po transformacji ze względu na różne częstotliwości wg wzorów (11) i (18j
- amplitudy cykli po transformacji ze względu na różne wartości średnie wg (13/
- amplitudy cykli po transformacji ze względu na różne wartości średnie 1 częstotliwości wg (13), (.11), (.18/.
W tabeli 3 zestawiono wartości parametrów rozkładów prawdopodobieństwa na - prężenia zredukowanego ^ re(J według różnych kryteriów wytężenia zmęczenio
wego
CaTf
?aZa
^almf
* '’red min '’red max '’red śr ^^red ' < V a
1
fMPa] fMPa] [MPa] iMPa)2J [MPa]
'’redl -125,7 125,9 0,15 1629,87 40,37 '’redli -118,1 122,9 0,48 1451,38 38,10 '’redlił -158,1 151,9 0,19 2241,08 47,54 5redIV -109,1 122,0 0,84 1256,60 35,45
Operacja kompresji czasowej przebiegów naprężenia zredukowanego wg kry
teriów (2) - (.5) eliminowała zgodnie z (9) odpowiednio następujące liczby wartości dyskretnych: 2651, 2721, 2794, 2861 z ogólnej liczby 16384 warto - ści, W procesie! zliczania ! półcykli i cykli wzięły udział odpowiednio nastę
pujące liczby ekstremów: 2406, 2401, 2423, 2375. Według metody : płynącego jdeszczu wyróżnionO|dla! kolejnych kryteriów następujące liczbę amplitudy.półcy
kli: 15,14,10,16 i pełnych cykli: 1195,1193,1206,1179, które następnie łącz
nie sklasyfikowano w 100 przedziałach o szerokościach odpowiednio: 1,258,
Obliczani» trwałośoi z»ęcx»nlow»j.. 63 [1,199, 1,549, 1 1,55 [MPaj. Z -takimi samymi krokami obliczano też według hipotez Pal mgrena-Minera i Haibacha uszkodzenia odpowiadające nie tran sfor
mowanym amplitudom. Kroki stosowane w dyskretyzacji amplitud transformowa
nych różniły się od wyżej wymienionych.
W analizowanym przypadku największą wariancję ( 7 ^ ma przebieg W ślad za tym uzyskano też największą wartość uszkodzenia zmęczeniowego S 1 najmniejszą trwałość zmęczeniową materiału. Najmniejszą warlan-
’ eję 103 natomiast przebieg 6* czemu odpowiada najmniejsza war - tość Sti^ i największa wartość 1!^, Znaczne różnice w uzyskanych wartościach
^red* S Są wynlkaml odmiennych postaci wyrażeń analitycznych , służących do obliczania <Jred (t)według poszczególnych kryteriów, przy czym istotne znaczenie mają też obliczone wartości średnich kosinusów kierunko
wych osi głównej, determinujące oczekiwane położenie płaszczyzny złomu zmę»
czeniowego.
Wpływ częstotliwości f cyfcli na stopień u s z k o d z e n i a z m ę c z e n i o w e g o S(T^
i trwałości Tjj materiału w analizowanym przypadku okazał 3 i ę - z g o d n i e z oczekiwaniami - nieistotny;
Uwzględnienie różnych od zera wartości średnich poszczególnych cykli wpływa na zwiększenie stopnia uszkodzenia S(.TJ , a to zmniejsza trwałość zmęczeniową materiału
Kumulacja uszkodzeń zmęczeniowych przeprowadzona według hipotez Palra- grena-Minera i Haibacha dała - w analizowanym przypadku - bardzo bliskie sobie wartości S (Io) 1 Generalnie jednak, stosując hipotezę Haibacha, uzyskuje się mniejszą trwałość zmęczeniową niż wg hiabtezy Palmgrena-Minera
5. Uwagi końcowe
1. Obliczenia nie ujawniły istotnych przeszkód i trudności w stosowa - niu sformułowanego algorytmu do oceny trwałości zmęczeniowej elementów ma
szyn, w których występuje losowy złożony stan naprężenia. Uzyskane warto
ści trwałości zmęczeniowej dla żeliwa są prawdopodobne, choć różnice uzys
kane w wyniku zastosowania poszczególnych kryterów wytężenia zmęczeniowego i transformacji amplitud cykli - jak się okazało w analizowanym przypsdku- - są znaczne.
2. Metoda symulacji cyfrowej okazała się bardzo użyteczna i wygodna do oceny trwałości zmęczeniowej według różnych modeli matematycznych, prakty
cznie w dowolnie generowanych stanach naprężeń, w tym szczególnie w takich stanach, które bardzo trudno w sposób kontrolowany zrealizować w rzeczywi
stości w próbkach podczas laboratoryjnych testów zmęczeniowych.
3. Opracowany' pakiet programów dla badań symulacyjnych może być wyko - rzyotany do przewidywania trwałości zmęczeniowej materiałów podczas badań zmęczeniowych próbek lub elementów maszyn, jeżeli zastąpimy generowane przebiegi składowych stanu naprężenia rzeczywistymi wynikami pomiarów rea
lizacji składowych etanu odkształcenia, Tym samym może on ułatwić praJęty -
64 E. Much«
cżną weryfikację sformułowanego w j;nlhie jszej pracy algorytmu obliczeń.
LITERATURA
/ V Achtelik H.,Macha 2.»Jakubowska I.: Actual and estimated directions of fatigue fracture plane in ŻL 250 grey cast iron under combined alterna
ting bending and torsion. Studia Geotechnica et Mechanica,Vol.V,No2, 1983,pp 9-30
n j Corten H.T.,Dolan J.T.:Cumulative fatigue damage,Proc.Int.Conf. on Fatigue of Metals, London, 1956, pp-235-246
/3/ Dowling K.E.: Fatigue failure predictions for complicated stresstrain histories, Journal of Materials, JKLSA, Vol.7, Ho 1, March 1972,pp.71- e7
/4/ Frost H.2.,Marsh E.J.,Pook L.P.: Metal fatigue,Clarendon Press,Oxford, 1974,p.499
/$/ Haibach 2.} Modifizierte Lineare Sehadensakkumulations-HypotSese zur Berücksichtigung das Dauerfestigkeitsabfalls mit fortschreitender Schädigung, Laboratorium für Betriebsfeetigkeit,Darmstadt,TK Nr 50/70, Juli 1970, s. 15 1
{(¡J Jakubowska I.,Kaeha E.: Prediction of the orientation of the fatigue' fracture plane under complex state of stress by a digital simulation method, in: 8th Congress on Material Testing, Budapest, 28 Seot.-1 Oct.1982, Lectures II Vol. OMIKK-TECEKOINFORM,Budapest 1982,pp.1153 -
1157
f l j Machał E.; Modele matematyczne trwałości zmęczeniowej materiałów w warun
kach losowego złożonego stanu naprężenia. Prace Nauk.Inst.Mater.i Mech.
^ech.Pol.Wrocł.Nr 41, SeriasMonografie Nr 13, Wrocław 1579, s.99
/Ó7 Macha E.: Fatigue failure criteria for materials under random triaxial state of stress,Advances in Fracture Research Proc.of the 6th Inter.
Conf.on Fracture,New Delhi,India, 4-10 Dec.1984, Ed3. S.R.Valluri , D.K.R.Taplin,..., Vol.3 Pergamon Press,pp. 1895-
4902
.f ° J Macha E.s Simulation of a material life-time under random triaxial stress state,in: Simulation Systems 79,L.Dekker,G.Savastano,
C.C.Vansteenkiste,Ed.Horth-Holland Publishing Company,1980,pp.425-435 / 1 0 / Macha E.: Statistical characteristics of strains,principal stresses
and direction cosines in random stress state,Studia Geotechnica et Mechanics, Vol.VI No.2, 1984,pp.21-54
/117Matake T.: An explanation on fatigue limit under combined stress, Bulletin of the JSME, Vol.20, No 141, March 1977,pp.257-263
/127 Miner M.A.: Cumulative damage in fatigue, Journal of Applied Mechanics, Vol.12, 1945, pp,159-164
/13J Ni3hlhara T.,Kawamoto M.: The strength of metals under combined alter
nating bending and torsion with phase difference, Memoirs of the Colie ge of Engineering,Kyoto Imperial University,Vol.XI No 4,1945,pp.85-112 /
14.7
Okamura H.,Sakai S.,Susuki I.: Cumulative fatigue damage under random loads,Fatigue of engineering materials and Structures,Vol.1
,1
979,pp.409-419
/) 5^7 Palmgren A.: Die Lebensdauer von Kugellagern, VDI-Z,Bd.68, 1924 ss.339- 341
/16_/ Ralston A.,Wilf H.S.sMathematical methods for digital computers,Wylie, London,1962
/l7_7Rotvel F.jBinxial fatigue tests wiht zero mean stresses using tabular specimens, Int.J.Mech.Sei., V01.12,7,1970,pp.697-613
f\& 7 Serensen S.V., Kogaev V.P.,Schnejderovitz R.M.M.i NesuSdaja aposob - nost i rascet detalej masintna ¿ro chtst-,I$d.3, Ma sino s tr o enle 1975
s. 488
f \97 Troost A.,E1-Magd E.s .^Allgemeine Formulierung der Schwingfestig - keltsamplitude in Haigsoher Darstallung, Materialprüfung 17,Ho 2 Obliczania trwałośol zmęczeniowi. . . _______________ 6c
EVALUATING THE FATIGUE LIFE OF MACHINE ELEMENTS BT THE DIGITAL SIMULATION METHOD
S u m m a r y
The algorithm of evaluation of the fatigue life and fatigue failure has been formulated for machine elements under multiaxial random loadings.
The point, at which the stress state and the fatigue characteristics of material are known, has been considered. The formulated algorithm is used in case of the simulated random triaxial stress state. Four strength
1
criteria have been analysed. The cycles are counted by the Rain Flow method. The amplitudes of.cycles are transformed in consideration of various mean values and frequencies. Fatigue failures have beefl"cumulated according to the hypotheses by Palmagren-Miner and Haibach. It has been noticed that digital simulation method is useful for estimating the fatigue life at the selected points of machine elements.
PACHET yCIAHOCTHOa UPOUHOCTH UACTBtł MAHMH ItETOAOM UJK&POBOä CHMyjHimH
P e 8 » x e
C i f o p u y r a p o B a H O a a r o p a s a o n e H x a y o x a a o c T a o ä n p o a a o c i H h c i e n e a H y c i a - a o c x a o r o . n o B p e w e H H S <łaCTefl m h e i h h, H a x o A J U n a x c a n o A B a a n a H e u « a o r o o c e B u x c j y v a hHH X ~ H a r p y 3 0 K . P a c c u o i p e a o s o v x y , b K o i o p o f i H 3 B e c xH M a a n p a x e a a o e c o - c i o H H H e , a la xa ce y c i a u t o o i H H e x a p a x x e p a c t h k h u a i e p a a a a . C $ o p u y a H p o B a a H H ö a a r o p a m y n o i p e ö a e a o b y c a o B H a x O H M y A K p o B a H H O r o , c a y v a l i H o r o , i p e x o c e B o r o H a n p a j t e a a o r o c o c t o h h h ä,. n p o a a a a H 3 H p o B a B O v e i u p e K p a T e p a a y o i a j i o o T H o r o a a - x a x e H H H u a i e p a a a a . G a e l u h k a o b n p o B e A e a o w e i o a o u R e i n F l o w . A u n a a T y A u U h k a o b t p a H C $ o p M H p o B a H o , y v a i h i B a a p a 3Hu e c o n p o B o z A a x m a e c p e A H H e 3 a a a e H a a a a a c T O T H . y o T a a o o T H a e n p o B e a w e a a a K y M y a a p o B a a o no r a n o i e a a a P a l n g r e n a - M f n e r a i H a i b e c h a . I I o A i B e p s A e a o n p a r o A H O O T t u e i o A a n a O p o ß o ä c u u y a H u u a A a a p a c a e i a y o i a a o o i a o ä n p o B H O c i a b H 3 0 p a a a u x l o a a a x v a c i e ä s ia n a H .