Applications exponentielles pour les groupes des courants et la décomposition de Birkhoff pour les groupes des nœuds

(1)

D I S S E R T A T I O N E S

M A T H E M A T I C A E

(ROZPRAWY MATEMATYCZNE)

K O M I T E T R E D A K C Y J N Y

B O G D A N B O J A R S K I redaktor W I E S L A W ˙ZELAZKO zast¸epca redaktora

A N D R Z E J B I A L Y N I C K I - B I R U L A, Z B I G N I E W C I E S I E L S K I, J E R Z Y L O ´S, Z B I G N I E W S E M A D E N I

CCCXXXII

J A C E K M I C A L

Applications exponentielles pour les groupes des courants et la d´ecomposition de Birkhoff

pour les groupes des nœuds

(2)

Institut de Math´ematiques Universit´e de Varsovie Banacha 2

02-097 Warszawa Pologne

Published by the Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences Typeset in TEX at the Institute

Printed and bound by

P R I N T E D I N P O L A N D

c

Copyright by Instytut Matematyczny PAN, Warszawa 1994

(3)

T A B L E D E S M A T I `E R E S

Introduction . . . 5

Chapitre I. Pr´eliminaires . . . 6

1. Le th´eor`eme de Nash et Moser . . . 6

2. Gradations sur C∞(M, C). . . . 7

3. Gradations sur C∞(M,gl(N, C)) . . . . 8

4. In´egalit´es interpolatoires pour les normes sur C∞(M,gl(N, C)) . . . . 9

5. Quelques propriétés algébro-diff´erentielles de C∞(M,gl(N, C)) . . . . 11

6. Applications données par des séries entières . . . 12

7. D´eriv´ees suivant les directions de Exp . . . 14

Chapitre II . . . 16

1. P est lisse apprivois´ee . . . 17

2. Bijectivit´e des d´eriv´ees de P . . . 17

Chapitre III . . . 20

1. S´eries formelles de variables non commutatives . . . 20

2. L’application Q est lisse apprivois´ee . . . 25

3. La d´eriv´ee suivant la direction de Q est bijective, la famille d’inverses V Q est continue apprivois´ee . . . 34

Chapitre IV . . . 40

1. Introduction . . . 40

2. D´ecompositions classiques de GL(N, C) . . . 41

3. Analogies des d´ecompositions classiques pour C∞(S1, GL(N, C)) . . . . 42

Ouvrages cit´es . . . 45

R´esum´e

Nous consid´erons les applications exponentielles pour les groupes C∞(M, GL(N, C)) o`u

M est une vari´et´e lisse compacte. Nous montrons que l’application P : C∞(M,gl(N, C)) →

C∞(M, GL(N, C)) d´efinie par P (f ) = Exp(f1) · . . . · Exp(fk) pour fi∈gi,g=g1⊕ . . . ⊕gk est

(sous certaines conditions sur la décomposition deg) une bijection locale lisse (d’un voisinage de zéro sur un voisinage de l’unit´e). Nous montrons aussi que pour M = S1l’application Q définie par Q(f )(t) =Q∞_j₌_−∞Exp(Aj(f )eijt) est une bijection locale lisse.

1991 Mathematics Subject Classification: 58C15, 22E65, 22E67. Received 6.7.1992; revised version 16.3.1993 and 16.9.1993.

(4)

Nous étudions les applications exponentielles pour les groupes Map∞(M, G) des fonctions lisses définies sur une variété compacte M à valeurs dans un groupe de Lie G. Les groupes Map∞(X, G) où X est une variété (non nécessairement compacte) sont intéressants pour plusieurs raisons. Ils apparaissent dans la théorie quantique du champ électromagnétique comme les groupes de jauge ou les groupes des courants (l’espace X est en ce cas l’espace des configurations; dans des modèles simplifiés il peut être R ou S1). Pour M = S1 ce sont les groupes des nœuds.

Notons G = C∞(M, GL(N, C)) le groupe des fonctions lisses définies sur une variété compacte M à valeurs dans le groupe linéaire géneral GL(N, C). Le groupe Gest muni de la topologie de la convergence uniforme de toute dérivée. L’algèbre de Lie associée est g = C∞(M, gl(N, C)).

Notons deux relations entre le groupe G et l’algèbre g. Premièrement, G est une variété de Fréchet ‘modelé’ sur l’espace de Fréchet g. Deuxièmement, g est en correspondence biunivoque avec la famille de sous-groupes à un paramètre de G. L’algèbre g est liée au groupe G par l’application exponentielle Exp : g → G, définie par Exp(f )(t) = exp(f (t)) où exp est l’application classique exp : gl_{(N, C) → GL(N, C). L’application Exp est lisse et définit une carte dans un} voisinage ouvert de l’unité de G.

Dans ce travail nous consid´erons deux types d’applications : P et Q de g dans G. L’application du type P est d´efinie par

P (f ) = Exp(f1) · . . . · Exp(fk)

où f = f1+. . .+fkest la représentation de f liée à une décomposition g = g1⊕. . . ⊕ g_k en somme directe de sous-espaces linéaires. C’est une analogie des coor-données du deuxième espèce pour les groupes classiques de Lie. Dans le chapitre II nous montrons que P est une bijection locale et que l’application inverse à sa restriction convenable définit une carte dans un voisinage de G.

Pour les groupes des nœuds (c’est-à-dire pour M = S1) la décomposition g= g1⊕g2de l’algèbre g = C∞(S1, gl(N, C)) en fonctions à coefficients de Fourier d’indices négatifs et non négatifs, est en rapport avec un théorème classique de Birkhoff [1].

Le deuxième type d’applications est en rapport avec le fait que nous con-sidérons les fonctions définies sur S1_{. Nous d´}_{eveloppons f ∈ g en s´}_{erie de Fourier}

(5)

f (t) = ∞ X

j=−∞

Aj(f )eijt où Aj(f ) ∈ gl(N, C) pour j = 0, ±1, ±2, . . . , et nous faisons correspondre à f la fonction Q(f ) ∈ G définie par

Q(f )(t) = ∞ Y

j=−∞

Exp(Aj(f )eijt).

Dans le chapitre III nous montrons que cette application est une bijection lisse d’un voisinage de z´ero de g sur un voisinage de l’unit´e de G.

Notre outil principal est le théorème de Nash et Moser sur la fonction inverse. La vérification des hypothèses de ce théorème exige de nombreuses et complexes estimations qui constituent une partie importante de ce travail.

Le chapitre I présente quelques préliminaires et, en forme compacte, les él´ e-ments de la technique de Nash–Moser.

Ce travail contient les résultats de la thèse écrite sous la surveillance de Mon-sieur le Professeur Wojciech Wojtyński. L’auteur lui remercie chaleureusement de sa patience et de son aide.

Chapitre I. Pr´eliminaires

1. Le th´eor`eme de Nash et Moser

Définition 1.1. Nous appelons gradation sur un espace de Fréchet F une famille de normes {k kn}, où n = 0, 1, 2, . . . , vérifiant

kf k0≤ kf k1≤ kf k2≤ . . .

et qui engendre la topologie de F. Nous dirons que deux gradations {k kn} et {k k0

n} sont ´equivalentes du degr´e r avec la base b si

(1.1) kf kn≤ Cnkf k0n+r, kf k

0

n≤ Cnkf kn+r pour tout entier n ≥ b, la constante Cn ne d´ependant que de n.

Définition 1.2. Soient F et H deux espaces de Fréchet à gradation, et soit P : (U ⊂ F) → H une application définie sur un ensemble ouvert U . Nous dirons que P est concordante, du degré r avec la base b, avec les gradations si

(1.2) kP (f )kn≤ Cn(1 + kf kn+r)

pour tout f ∈ U et tout n ≥ b. Une application continue d’un ouvert de F dans H est appelée apprivoisée (ang. tame) si elle est concordante avec les gradations sur un voisinage ouvert de chaque point de son domaine. Le degré r et la constante Cn peuvent varier ne dépendant que du point et de son voisinage.

R e m a r q u e 1.3. Lorsque L : F → H est lin´eaire, la concordance avec les gradations implique

(6)

ce qui entraˆıne la continuit´e de L (cf. [3], 2.1.5).

Définition 1.4. Pour un espace de Banach B muni de la norme k kB, nous désignons par Σ(B) l’espace de Fréchet des suites {fk} ⊂ B telles que

k{fk}kn= n X

k=0

enkkfkkB < ∞ pour n ≥ 0,

muni de la gradation k kn. Nous dirons qu’un espace F à gradation est apprivoisé si, pour un espace de Banach B, il existe une projection apprivoisée Σ(B) → F.

D´efinition 1.5. Nous dirons que l’application P comme ci-dessus est de classe Cn _{si la d´}_eriv´_{ee suivant les directions D}n_{P (f ){h1, . . . , hn}_{} existe et est continue} comme une application

DnP : (U ⊂ F) × F × . . . × F

| {z }

n facteurs

→ H.

P est dite de classe C∞ (ou lisse) apprivoisée si elle est de classe Cn pour tout n et si chaque dérivée Dn_{P est apprivois´}_{ee .}

Théorème 1.6 (Nash–Moser) (cf. [3]). Soient F et H deux espaces apprivoisés. Supposons que l’équation DP (f )h = k ait une seule solution h = V P (f )k pour tout f ∈ U et tout k ∈ H, et que la famille des applications inverses V P : U × H → F soit apprivoisée de classe C∞. Alors P est localement inversible et chaque inversion locale P−1 est de classe C∞ apprivoisée.

2. Gradations sur C∞(M, C). Soit M une variété compacte réelle différen-tiable de classe C∞. L’espace C∞(M, C) est muni de la topologie de la convergence uniforme de suites Dαfn, où α est un multiindice α = (α1, . . . , αi) et Dαf est la dérivée partielle ∂α1+...+αi ∂xα1 1 . . . ∂x αi i f .

On peut engendrer cette topologie par plusieurs gradations. Une d’elles est d´efinie comme suit :

(1.3) |f |k= max

|α|≤ksupM

|Dα_{f |,} _{k = 0, 1, 2, . . .}

La dérivée partielle doit être comprise comme suit : Nous plongeons M dans Ri où i ≥ 2 dim M + 1. Puis nous prolongeons f en une fonction ef de classe C∞ sur un voisinage tubulaire de M et nous considérons les dérivées partielles de

e

f . Deux tels plongements M0 et M00 sont difféomorphes, ainsi que le sont leurs voisinages tubulaires. Le jacobien de ce difféomorphisme est borné sur M0, donc les théorèmes formulés plus loin ne dépendent pas du plongement choisi. D’après 1.3.6 dans la deuxième partie de [3], C∞(M, C) avec la gradation (1.3) est un espace apprivoisé. Quand M est le cercle (S1), toute fonction f ∈ C∞(S1, C) possède un développement en série de Fourier f (t) =P∞_j=−∞ajeijt, oùP∞_j=−∞|j|k_·|aj_{| < ∞}

(7)

pour tout k ∈ N ∪ {0}. Nous pouvons donc introduire les syst`emes de normes suivantes sur C∞(S1, C) : |f |0_k = k X l=0 _X∞ j=−∞ |j|l|aj|, (1.4) |f |00_k = ∞ X j=−∞ (|j|k+ 1)|aj|, (1.5) |f |000_k = ∞ X j=−∞ (|j| + 1)k|aj| (1.6) pour k = 0, 1, 2, . . .

Proposition 1.7. Pour M = S1, les syst`emes de normes (1.3), (1.4), (1.5) et (1.6) sont ´equivalents.

D é m o n s t r a t i o n. L’équivalence, du degré 0 avec la base 0, entre (1.4), (1.5) et (1.6) est évidente. Nous allons montrer que la gradation (1.3) est équivalente `

a (1.4), du degr´e 2 avec la base 0.

SiP∞_j=−∞ajeijt est la s´erie de Fourier de f ∈ C∞(S1, C), nous avons a0= π

R

−π f (t) dt, aj = 1 2π 1 (ij)k+2 π

R

−π f(k+2)(t)eijtdt pour j = ±1, ±2, . . . Il s’ensuit que

|f |0_k = k X l=0 X∞ j=−∞ |j|l_|a j| ≤ sup S1 |f | + 2(k + 1) ∞ X j=1 1 j2 sup S1 |f(k+2)| ≤ Ck|f |k+2 et |f |k = max j=0,...,ksup_S1 |f(j)| = max j=0,...,ksup_S1 ∞ X n=−∞ an(in)jeijt ≤ k X j=0 X∞ n=−∞ |n|j_|a n| = |f |0_k.

3. Gradations sur C∞(M, gl(N, C)). La topologie naturelle de C∞(M, gl_{(N, C)) est la topologie de la convergence uniforme de derivées de tout degré.} Nous pouvons lier à cette topologie des gradations analogues aux (1.3)–(1.6).

Nous avons la d´ecomposition naturelle

C∞(M, gl(N, C)) = C∞(M, C) × . . . × C∞(M, C)

| {z }

(8)

conduisant au syst`eme de normes (1.7) |||f |||k = q PN p,q=1|fpq| 2 k

o`u f = (fpq), p, q = 1, 2, . . . , N . L’espace C∞(M, gl(N, C)) muni de la gradation (1.7) est un espace apprivois´e (cf. [3], 1.3.4 et 1.3.9, partie II).

Aussi naturelle, et plus souvent utilis´ee dans ce travail, est la gradation

(1.8) f _k= max

|α|≤ksupM

kDα_{f k} o`u k k est la norme d’op´erateur sur gl(N, C).

En d´eveloppant f ∈ C∞(S1, gl(N, C)) en s´erie de Fourier f (t) =

∞ X

n=−∞

Aneint

o`u An ∈ gl(N, C) (n = 0, ±1, ±2, . . .) v´erifient, pour tout k = 0, 1, 2, . . . , ∞

X

n=−∞

|n|kkAnk < ∞,

nous pouvons introduire les normes suivantes sur C∞(S1_{, gl(N, C)) :} kf kk= ∞ X n=−∞ (|n|k+ 1)kAnk, (1.9) kf k0_k= ∞ X n=−∞ (|n| + 1)kkAnk. (1.10)

Proposition 1.8. Les gradations (1.7) et (1.8) sont ´equivalentes. Pour M = S1 _{les gradations (1.7)–(1.10) sont toutes ´}_{equivalentes.}

D é m o n s t r a t i o n. L’équivalence de (1.7) et (1.8) résulte de l’équivalence de la norme d’opérateur et de la norme de Hilbert–Schmidt sur gl(N, C). La démonstration de la deuxième conclusion est similaire à la demonstration de la proposition 1.7.

4. Inégalités interpolatoires pour les normes sur C∞(M, gl(N, C)). Nous utiliserons quelques propriétés des normes (1.8)–(1.10).

Proposition 1.9. Pour tous entiers m, n, l tels que 0 ≤ l ≤ m ≤ n, chacune des gradations (1.8)–(1.10) v´erifie

(1.11) kf kn−l

m ≤ Cl,m,nkf km−ln kf k n−m l .

(9)

D é m o n s t r a t i o n. Pour (1.8) nous utiliserons le théorème 2.2.1 de la deu-xième partie de [3]. Nous avons

f n−lm = ( max |α|≤msupM kDα_{f k)}n−l _{≤ (N · max} p,q |fpq|m) n−l ≤ Nn−l_{· C}_l,m,n(max p,q |fpq|n) m−l_{· (max} p,q |fpq|l) n−m ≤ Nn−l_{· C}_{l,m,n( max} |α|≤nsupM kDα_{f k)}m−l_{· (max} |α|≤lsupM kDα_{f k)}n−m = C_l,m,n0 · f m−l_n · f n−m_l .

Pour la gradation (1.10), nous obtenons ∞ X j=−∞ (|j| + 1)mkAjk ≤ ∞ X j=−∞ (|j| + 1)nkAjk (m−l)/(n−l) · ∞ X j=−∞ (|j| + 1)lkAjk (n−m)/(n−l)

pour m 6= l et n 6= m, d’après l’inégalité de Hölder, d’où (1.11) avec Cl,m,n= 1. Quand m = n ou l = m l’inégalité (1.11) est évidente. Les gradations (1.9) et (1.10) sont équivalentes du degré 0 avec la base 0, donc (1.11) a aussi lieu pour la gradation (1.9). Il est facile de voir qu’en ce cas Cl,m,n= 2m(n−l).

Corollaire 1.10. Pour tout point entier (i, j) du segment liant (k, l) et (m, n) chacune des gradations (1.8)–(1.10) v´erifie

kf kikgkj ≤ Ck,l,m,n(kf kkkgkl+ kf kmkgkn). Corollaire 1.11. La gradation (1.8) v´erifie

f g _n ≤ Cn( f _n g ₀+ f ₀ g _n)

D é m o n s t r a t i o n. Identique à celle de 2.2.3 dans la deuxième partie de [3]. Le corollaire analogue concernant la gradation (1.9) exige une démonstration particulière.

Proposition 1.12. La gradation (1.9) v´erifie

kf gkn≤ Cn(kf knkgk0+ kf k0kgkn).

D ´e m o n s t r a t i o n. Soient f, g ∈ C∞(S1, gl(N, C)) et f (t) =P∞j=−∞Aje ijt_, g(t) =P∞_j=−∞Bjeijt_{. Nous avons}

kf gkn = ∞ X k=−∞ (|k|n+ 1) X p+q=k ApBq ≤ ∞ X k=−∞ (|k|n+ 1) X p+q=k kApkkBqk

(10)

≤ 2nh ∞ X k=−∞ |k|n_kA kk _X∞ k=−∞ kBkk + ∞ X k=−∞ |k|n−1_kA kk X∞ k=−∞ |k|kBkk + . . . + ∞ X k=−∞ kAkk ∞ X k=−∞ |k|nkBkki + _X∞ k=−∞ kAkk _X∞ k=−∞ kBkk ≤ 2n_{(kf kn}_kgk 0+ kf kn−1kgk1+ . . . + kf k0kgkn) + kf k0kgk0. En appliquant `a chaque produit kf kn−ikgki le corollaire 1.10 nous obtenons la proposition.

Proposition 1.13. La gradation (1.8) v´erifie fn k≤ Ckn

k

2n−1 f k f n−1 0 . D ´e m o n s t r a t i o n. De la formule (1.8) nous avons fn _k= max |α|≤ksupM kDα_fn_k = max |α|≤ksupM X β1+...+βn=α α! β1! · . . . · βn!· D β1_{f · D}β2_{f · . . . · D}βn_f ≤ max |α|≤ksupM X β1+...+βn=α α! β1! · . . . · βn!· kf k|β1|· kf k|β2|· . . . · kf k|βn|. (∗)

A chaque terme de (∗) le corollaire 1.10 s’applique, donc il est born´e par C|α|2n−1 f _|α| f n−10 . Finalement, (∗) est estim´e par

max |α|≤kn |α|₂n−1_C |α| f |α| f n−1 0 ≤ n k₂n−1_Ck _f k f n−1 0 .

5. Quelques propriétés algébro-différentielles de C∞(M, gl(N, C)). Nous utiliserons les inégalités du paragraphe précédent pour montrer que les applications de C∞(M, gl(N, C)) apparaissant dans la suite sont apprivoisées et lisses.

Proposition 1.14. Soient F et G deux applications apprivoisées et lisses d’un ouvert U ⊂ C∞(M, gl(M, C)) à valeurs dans C∞(M, gl(N, C)). L’application F · G(u) = F (u) · G(u) pour u ∈ U est donc lisse et apprivoisée. Sa k-ième dérivée suivant les directions {h1, . . . , hk} est donné par

(11)

(1.12) Dk(F · G){h1, . . . , hk} = X S⊂{1,...,k} D|S|F (f ){hi1, . . . , hi|S|} · D k−|S|_{G(f ){hj} 1, . . . , hjk−|S|} o`u {i1, . . . , i|S|} = S, {j1, . . . , jk−|S|} = {1, . . . , k} \ S.

D é m o n s t r a t i o n. F · G est lisse et apprivoisée puisque la multiplication dans C∞(M, gl(N, C)) l’est (corollaire 1.11). La démonstration de (1.12) est une simple conséquence de la formule de Leibniz.

6. Applications données par des séries entières. La propriété de l’algèbre C∞(M, gl(N, C)) qui consiste à la possibilité d’exprimer la convergence de la série entière en termes d’une seule norme joue le rôle essentiel dans la vérification si les applications données par des séries de la forme

(1.13) f 7−→F

∞ X

n=0 anfn sont lisses et apprivois´ees.

D´efinition 1.15. Soit A une alg`ebre localement convexe et p, q deux pseudo-normes continues sur A. Nous appelons q estimateur asymptotique de p lorsqu’il existe un entier positif m = m(p, q) tel que p(u1, . . . , un) ≤ q(u1) . . . q(un) pour tous n ≥ m et u1, . . . , un∈ A.

Définition 1.16. L’algèbre localement convexe A avec une pseudonorme di-stinguée p0 est appelée AE-algèbre lorsque pour toute pseudonorme p sur A il y a suffisamment beaucoup d’estimateurs asymptotiques de p au sens suivant :

Il existe un système {qν : ν ∈ I} d’estimateurs asymptotiques qν de p tel que (i) {qν : ν ∈ I} est un ensemble filtré à gauche,

(ii) inf{qν(u) : ν ∈ I} = p0(u) pour tout u ∈ A.

Le système de normes ci-dessus est dit un AE-système pour la pseudonorme p. Proposition 1.17. C∞(M, gl(N, C)) est une AE-algèbre.

D é m o n s t r a t i o n. Il suffit de prendre pour p0la norme ₀de la gradation (1.8) et pour p une autre pseudonorme de cette gradation. Puis la démonstration est similaire à celle de 3.1.2, exemple 20 dans [2]. La démonstration est parti-culièrement simple lorsque M = S1 _{et la gradation qui engendre la topologie est} (1.9). En ce cas nous prenons p0= k k0, p = k kk et

qτ(f ) = ∞ X n=−∞ (|n|kτ + 1)kAnk pour τ ∈ [0, 1]. Soient an comme en (1.13) et R = (lim sup n n p|an| )−1.

(12)

Le nombre R ainsi défini est dit le rayon de convergence de la série (1.13). Il résulte de 3.2.2.4 dans [2] que la série (1.13) est convergente sur {f : f 0< R} et que l’application F donnée par cette série est lisse. Sa k-ième dérivée suivant les directions {h1, . . . , hk} est donnée par

DkF (f ){h1, . . . , hk} = ∞ X n=k akDkwn(f ){h1, . . . , hk} o`u wn(f ) = fn. Remarquons que (1.14) Dkwn(f ){h1, . . . , hk} = 1 (n − k)! X σ∈Sn gσ(1). . . gσ(n) pour n ≥ k o`u g1 = f, . . . , gn−k = f et gn−k+1 = h1, . . . , gn = hk et Sn est le groupe des permutations de {1, . . . , n}. Pour k = 1 la formule (1.14) donne

(1.15) Dwn(f )h = X

i+j=n−1 i,j≥0

fihfj

pour n ≥ 1.

Proposition 1.18. Les applications données par des séries entières

(a) à rayon de convergence infini sont lisses sur C∞(M, gl(N, C)) et appri-voisées sur {f : f ₀< C} où C est une constante positive arbitraire,

(b) `a rayon de convergence R sont lisses et apprivois´ees sur {f : f ₀ < C} pour tout C < 1₂R.

D ´e m o n s t r a t i o n. Comme en 1.13, nous allons estimer la l-i`eme norme du produit gσ(1). . . gσ(n) de (1.14) pour n ≥ k : gσ(1). . . gσ(n) l = max |α|≤lsupM X β1+...+βn=α α! β1! . . . βn!D β1_g σ(1). . . Dβngσ(n) ≤ max |α|≤lsupM X β1+...+βn=α α! β1! . . . βn!kD β1_gσ(1)_{k . . . kD}βn_gσ(n)_k ≤ max |α|≤l X β1+...+βn=α α! β1! . . . βn! gσ(1) |β1|. . . gσ(n) |βn| = max |α|≤l X β1+...+βn=α α! β1! . . . βn! f |β1|. . . f |βn−k| h1 |βn−k+1|. . . hk |βn|. (∗)

(13)

f _|β₁_|. . . f _|β_n−k_| h_{1 |β}_n−k+1_|. . . h_{k |β}_n_| ≤ C|β1|+...+|βn−k|2 n−k−1 f |β1|+...+|βn−k| f n−k−1 0 h1 |βn−k+1|. . . hk |βn| ≤ Cl2n−1( f _l f n−k−1₀ h_{1 0}. . . h_{k 0} + f n−k0 h1 l h2 0. . . hk 0+ . . . + f n−k 0 h1 0. . . hk−1 0 hk l). Alors la s´erie (∗) s’estime par

Clnl2n−1( f l f

n−k−1

0 h1 0. . . hk 0

+ f n−k₀ h_{1 l} h_{2 0}. . . h_{k 0}+ . . . + f n−k₀ h_{1 0}. . . h_{k−1 0} h_{k l}). Pour n = k, gσ(1). . . gσ(n) l s’estime par

Clnl2n−1( h_{1 l} h_{2 0}. . . h_{k 0}+ . . . + h_{k−1 0} h_{k l}). De là et de (1.14) nous avons l’inégalité

DkF (f ){h1, . . . , hk} _l≤ ∞ X n=k |an| n k k! · nl· 2n−1· f n−k₀ × ( h_{1 l}· h_{2 0}· . . . · h_{k 0}+ . . . + h1 0· . . . · hk−1 0· hk l) + ∞ X n=k+1 |an| n k · k! · nl· 2n−1 f n−k−10 · f _l· h_{1 0}· . . . · h_{k 0} . La proposition r´esulte du fait que

lim n→∞ n s n k k!nl₂n−1 _f n−k−1 0 = 2 f 0.

7. Dérivées suivant les directions de Exp. Nous aurons besoin d’une autre expression de la n-ième dérivée suivant les directions de l’application Exp : C∞(M, gl(N, C)) → C∞(M, gl(N, C)). La formule qui décrit ces dérivées sera précédée de préparatifs combinatoires.

Pour une partition donn´ee, du type 1k1₂k2_{. . . n}kn_{, de l’ensemble (d’indices)}

{1, . . . , n} soient A1

1, A21, . . . , A k1

1 tous les sous-ensembles à un élément de cette partition, A1

2, A22, . . . , A k2

2 tous les sous-ensembles à deux éléments etc.

Evidem-mentS

i,jA j

i = {1, . . . , n} et A j

i∩ Alk= ∅ pour (i, j) 6= (k, l). Pour les ensembles de cette partition nous ´etablissons l’ordre suivant :

(1.16) Aj_i ≺ Al_k⇐⇒ min Ad´ef j_i > min Alk.

Maintenant nous pouvons num´eroter ces ensembles d’un indice ν = 1, 2, . . . , k1+ . . . + kn suivant l’ordre (1.16).

Exemple 1.19. Consid´erons la partition {2}, {3}, {1, 5, 6}, {4, 7, 8, 9, 10} de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (c’est une partition du type 12₃1₅1_{). Nous avons A}1

1 = {2}, A2

(14)

nous avons A1

5≺ A21≺ A11≺ A13 et alors A1= A51, A2= A21, A3= A11, A4= A13. Les éléments de l’ensemble Aj_i sont ordonnés de la fa¸con naturelle.

Proposition 1.20. Nous avons (1.17) DnExp(f ){h1, . . . , hn} = Exp(f ) X k1·1+...+kn·n=n k1≥0,...,kn≥0 X partitions du type 1k1...nkn k1+...+kn Y ν=1 ∞ X m=|Aν|−1 (−1)m P σadgσ(1) · . . . · adgσ(m)hlν1 (m + 1)!(m − |Aν| + 1)!

où Σ1 s’étend sur toutes les permutations de m éléments, g1= f, . . . , gm−|Aν|+1= f,

gm−|Aν|+2 = hlν2, . . . , gm= hl ν |Aν |,

et |Aν| est la cardinalit´e Aν.

D ´e m o n s t r a t i o n. Pour n = 1, d’apr`es (1.15) nous avons

(1.18) D Exp(f )h = Exp(f ) ∞ X m=0 (−1)m ad m f (h) (m + 1)! = Exp(f )(Φ(− adf)h) o`u Φ : C → C est donn´ee par Φ(z) = (ez − 1)/z. Il est facile de voir que, pour n = 1, (1.17) et (1.18) co¨ıncident. Supposons que (1.17) a lieu pour 1, . . . , n. Nous avons

Dn+1P (f ){h1, . . . , hn+1} = d dsD

n_{P (f + shn+1){h1, . . . , hn}_} |s=0. Pour P = Exp nous avons

Dn+1Exp(f ){h1, . . . , hn+1} = d dsD n_{Exp(f + shn+1){h1, . . . , hn}_} |s=0 = Exp(f )(Φ(− adf)hn+1) X k1·1+...+kn·n=n k1≥0,...,kn≥0 X partitions du type 1k1 ...nkn k1+...kn Y ν=1 ∞ X m=|Aν|−1 (−1)m P σadgσ(1)· . . . · adgσ(m)hlν1 (m + 1)!(m − |Aν| + 1)! + Exp(f ) _X k1·1+...+kn·n=n k1≥0,...,kn≥0 X partitions du type 1k1 ...nkn k1+...+kn X ν=1 ν−1 Y µ=1 ∞ X m=|Aµ|−1 (−1)m P σadgσ(1)· . . . · adgσ(m)hlµ₁ (m + 1)!(m − |Aµ| + 1)!

(15)

· ∞ X m=|Aν| (−1)m P σadgσ(1)· . . . · adgσ(m)hlν1 (m + 1)!(m − |Aν|)! · k1+...+kn Y µ=ν+1 ∞ X m=|Aµ|−1 (−1)m P σadgσ(1)· . . . · adgσ(m)hlµ₁ (m + 1)!(m − |Aµ| + 1)! . Notons que dans le facteur relatif `a Aν on a g1= hlν

2, . . . , g|Aν|−1= hlν_{|Aν |−1}, g|Aν|

= hn+1, g|Aν|+1 = f, . . . , gm= f.

1. Il est évident que dans chaque terme relatif à la partition de {1, . . . , n + 1}, l’ordre décrit ci-dessus est conservé.

2. Lorsque {n + 1} est un élément de la partition de {1, . . . , n + 1} le produit correspondant apparaˆıt une seule fois dans le premier terme précédé par Exp(f ). 3. Lorsque {l1, l2, . . . , lk, n + 1} appartient à la partition de {1, . . . , n + 1} le produit relatif à cette partition apparaˆıt dans le deuxième terme précédé par Exp(f ) comme le résultat de la différentiation du produit relatif à la partition de l’ensemble {1, 2, . . . , n} contenant {l1, . . . , lk}.

Chapitre II

Soit M une variété réelle compacte de classe C∞. Soit g = C∞(M, gl(N, C)) = X1⊕ . . . ⊕ Xk une décomposition en somme directe de sous-espaces linéaires. Notons Pi : g → Xi, i = 1, . . . , k, les projections correspondantes. Nous allons considérer l’application

(2.1) P (f ) =

k Y

i=1

Exp(Pi(f ))

de g dans G = C∞(M, GL(N, C)). Notre but est de démontrer le théorème sui-vant :

Théorème 2.1. Si chaque projection Pi est apprivoisée et les espaces Xi sont des sous-algèbres de g tels que Xj ⊕ . . . ⊕ Xk, pour j = 2, 3, . . . , k, l’est aussi , il existe un voisinage ouvert V de zéro de g et un voisinage ouvert U de l’élément neutre de G tels que P est un difféomorphisme de V sur U .

Nous ne savons pas si l’hypothèse que les projections Pi sont apprivoisées est essentielle. C’est une exigence de la méthode du théorème de Nash et Moser. D’autre part, il existe plusieurs décompositions importantes de g qui vérifient ces conditions. De telles décompositions et les applications des théorèmes démontrés dans ce chapitre seront discutés dans le chapitre IV.

Conformément à la méthode présentée dans le chapitre I, basée sur le théorème de Nash et Moser, nous allons montrer successivement que P est lisse apprivoisée, que sa dérivée suivant la direction est bijective pour un voisinage ouvert de zéro et que l’application inverse à la dérivée est continue et apprivoisée.

(16)

1. P est lisse apprivois´ee

Proposition 2.2. Soient Pi (i = 1, . . . , k) des projections apprivoisées du degré r avec la base b. Alors l’application P définie par (2.1) est lisse et apprivoisée du degré r avec la base b.

D é m o n s t r a t i o n. L’application Exp : g → G, donnée par une série entière `

a rayon de convergence infini, est lisse sur g et apprivoisée sur {f : f ₀< C} pour tout C > 0 (cf. proposition 1.18). L’application Exp ◦Piest lisse et apprivoisée (cf. 2.1.6 dans [3], deuxième partie). D’autant plus, comme des applications données par des séries entières sont apprivoisées du degré zéro, Exp ◦Piest apprivoisée du même degré que Pi. La proposition 1.14 montre que

Exp ◦P1· . . . · Exp ◦Pk est lisse et apprivois´ee.

2. Bijectivité des dérivées de P Lemme 2.3. Nous avons

(2.2) DP (f )h

= Exp(P1f ) · (Φ(− adP1f)P1h) · Exp(P2f ) · . . . · Exp(Pkf )

+ Exp(P1f ) · Exp(P2f ) · (Φ(− adP2f)P2h) · Exp(P3f ) · . . . · Exp(Pkf )

+ . . . + Exp(P1f ) · . . . · Exp(Pkf ) · (Φ(− adPkf)Pkh)

o`u Φ(z) = (ez− 1)/z (cf. (1.18)).

D ´e m o n s t r a t i o n. Exp ◦Piest de classe C∞, donc P = Exp ◦P1· . . . · Exp ◦Pk

l’est aussi (cf. proposition 1.14), et la formule du lemme r´esulte de (1.18). Soit V = {f ∈ g : f ₀< 1}. Pour f ∈ V, h ∈ g et i = 1, . . . , k, posons

Ai(f )h = Exp ◦P1(f ) · . . . · Exp ◦Pi(f ) (2.3)

· (Φ(− adPif)h) · Exp ◦Pi+1(f ) · . . . · Exp ◦Pk(f ).

Les applications Exp ◦Pi et (f, h) 7→ ∞ X n=1 X k+l=n−1 k,l≥0 (Pif )k_{· h · (P}_{if )}l n!

sont lisses apprivois´ees, donc il en est de mˆeme de (f, h) 7→ Φ(− adPif)h et Ai:

V × g → g.

Fixons f ∈ V et consid´erons l’application lin´eaire

(2.4) g3 h 7→ Ai(f )h ∈ g.

(17)

D ´e m o n s t r a t i o n. Nous allons montrer que l’´equation

(2.5) Ai(f )h = k

a, pour tout k, une seule solution. Multiplions (2.5) `a gauche par Exp(−Pif ) · Exp(−Pi−1f ) · . . . · Exp(−P1f ) et `a droite par Exp(−Pkf ) · Exp(−Pk−1f ) · . . . · Exp(−Pi+1f ). Nous obtenons

Φ(− adPif)h = Exp(−Pif ) · . . . · Exp(−P1f )

· k · Exp(−Pkf ) · Exp(−Pk−1f ) · . . . · Exp(−Pi+1f ), d’o`u

h = Φ−1(− adPif)(Exp(−Pif ) · . . . · Exp(−P1f )

· k · Exp(−Pkf ) · . . . · Exp(−Pi+1f )) o`u Φ−1(z) = z/(ez_{− 1).}

D´esignons par V Ai(f ) l’application inverse `a (2.4). Lemme 2.5. L’application

Vi× g 3 (f, k) 7→ V Ai(f )k ∈ g, o`u Vi= {f : Pif ₀< 1/4}, est continue apprivois´ee.

D é m o n s t r a t i o n. Puisque la multiplication de l’algèbre C∞(M, gl(N, C)) est continue et apprivoisée, l’application

V × g 3 (f, k) 7→

Exp(−Pif ) · . . . · Exp(−P1f ) · k · Exp(−Pkf ) · . . . · Exp(−Pi+1f ) ∈ g est continue et apprivois´ee. Nous allons donc montrer que l’application

Vi× g 3 (f, k) 7→ Φ−1(− adPif)k ∈ g

est continue et apprivois´ee. Soient f, f + ∆f ∈ Vi. Nous avons Φ−1(− adPi(f +∆f ))(k + ∆k) − Φ −1_{(− adP} if)k = Φ−1(− adPi(f +∆f ))k − Φ −1_{(− adP} if)k + Φ −1_{(− adP} i(f +∆f ))∆k. La fonction Φ−1(z) a le d´eveloppement Φ−1(z) = ∞ X n=0 Bn n! z n

o`u Bn est le n-i`eme nombre de Bernoulli, |Bn| ≤ n!. Puisque (adnPi(f +∆f )− ad n Pif)k = X ν+µ=n−1 ν,µ≥0 adνPi(f +∆f )· adPi∆f· ad µ Pifk,

(18)

nous avons

(adn_P_i_{(f +∆f )}− adn_P_i_f)k _l ≤ Cn2n+l(n + 1)l((max( Pi(f + ∆f ) _l, Pif _l)) × (max( Pi(f + ∆f ) 0, Pif 0))

n−1

Pi(∆f ) 0 k 0 + (max( Pi(f + ∆f ) ₀, Pif ₀))n Pi(∆f ) _l k ₀ + (max( Pi(f + ∆f ) 0, Pif 0))

n

Pi(∆f ) 0 k l). Il s’ensuit que la l-i`eme norme de

Φ−1(− adPi(f +∆f ))(k + ∆k) − Φ

−1_{(− adP}

if)k

tend vers zéro lorsque la l-ième norme des Pi(∆f ) et de k tend vers zéro. La démonstration que (f, k) 7→ Φ−1(− adPif)k est apprivoisée est similaire.

Nous avons ∞ X n=0 (−1)nBn n! ad n Pifk l ≤ Cl ∞ X n=0

22n+l(n + 1)l( Pif _l Pif ₀n−1 k ₀+ Pif n₀ k _l). Le membre droit est convergent pour f dans {f : Pif ₀< 1/4}.

Nous allons montrer que l’´equation DP (f )h = l a une seule solution pour toute f telle que Pif 0< 1/4, i = 1, . . . , k. D’apr`es le lemme 2.3 nous pouvons ´

ecrire cette ´equation sous la forme

(2.6) Exp(P1f ) · (Φ(− adP1f)P1h) · Exp(P2f ) · . . . · Exp(Pkf )

+ Exp(P1f ) · Exp(P2f ) · (Φ(− adP2f)P2h) · Exp(P3f ) · . . . · Exp(Pkf )

+ . . . + Exp(P1f ) · Exp(P2f ) · . . . · Exp(Pkf ) · (Φ(− adPkf)Pkh) = l.

Nous multiplions (2.6) à gauche par Exp(−P1f ) et à droite par Exp(−Pkf ) · Exp(−Pk−1f ) · . . . · Exp(−P2f ). Cette opération est un automorphisme continu et apprivoisé de g. Notons ‘l l’effet de cette opération sur le membre droit de (2.6). Alors

Φ(− adP1f)P1h + Exp(adP2f)Φ(− adP2f)P2h

+ Exp(adP2f) Exp(adP3f) . . . Exp(adPkf)Φ(− adPkf)Pkh

= ‘l = P1‘l + . . . + Pk‘l.

Il est ´evident que Φ(− adP1f)P1h ∈ P1g et que la somme des autres termes

ap-partient `a P2g⊕ P3g⊕ . . . ⊕ Pkg. Donc

Φ(− adP1f)P1h = P1‘l

et

Exp(adP2f)Φ(− adP2f)P2h + . . . +

(19)

En appliquant Exp(− adP2f) et en désignant le résultat de cette opération sur le

membre droit par “l nous avons encore

Φ(− adP2f)P2h = P2“l.

Nous continuons ce procédé jusqu’à

Φ(− adPkf)Pkh = Pk

(k) l. Par cons´equent,

(2.7) V P (f )l = Φ−1(− adP1f)P1‘l + . . . + Φ

−1_{(− adP}

kf)Pk

(k)_l.

D’après le lemme 2.5 l’application (f, l) 7→ V P (f )l est continue et apprivoisée sur {f : Pif ₀ < 1/4, i = 1, . . . , k} × g. Il résulte du théorème 3.1.1 dans la deuxième partie de [3] que V P est lisse apprivoisée. Les hypothèses du théorème de Nash et Moser étant ainsi vérifiées, P est donc une bijection lisse (à l’inverse lisse) d’un voisinage de zéro de C∞(M, gl(N, C)) sur un voisinage ouvert de l’unité de C∞(M, GL(N, C)).

Chapitre III

Nous allons considérer l’application Q de l’algèbre de Lie g = C∞(S1_{, gl(N, C))} dans le groupe de Lie G = C∞(S1, GL(N, C)) définie par

(3.1) Q(f )(t) = ∞ Y j=−∞ Exp(Ajeijt) pour f (t) = ∞ X j=−∞ Ajeijt. Notre but consiste à démontrer le théorème suivant :

Théorème 3.1. L’application Q est lisse sur g et apprivoisée sur l’ensemble {f ∈ g : kf k0 < C} pour tout C > 0. L’application Q restreinte à V = {f ∈ g : kf k0 < 1₂ln 2} a la dérivée suivant la direction bijective comme application g 3 h 7→ DP (f )h ∈ g. Par conséquent , Q définit un difféomorphisme d’un voisinage ouvert de zéro de g sur un voisinage ouvert de l’élément neutre de G.

La démonstration suit le procédé du théorème de Nash et Moser. Nous allons montrer que Q est lisse apprivoisée, qu’elle a la dérivée bijective et que la famille d’applications V Q est continue et apprivoisée. Au début nous introduisons un formalisme pour manipuler les séries de Fourier d’éléments de g.

1. S´eries formelles de variables non commutatives. Soit l un entier posi-tif. Soit Υ l’ensemble compos´e du nombre 0 et de toutes les paires de multiindices

(20)

tels que νk est un entier positif, 1 ≤ νk ≤ l, et jk est un entier quelconque, k = 1, . . . , s. Pour une application fix´ee αω : Υ → C not´ee

(3.2) αω((ν1, . . . , νs); (j1, . . . , js)) = α(ν1,...,νs)

(j1,...,js), αω(0) = α0,

nous considérons la série formelle de variables Xj,ν, j = 0, ±1, . . . , ν = 1, . . . , l, donnée par

(3.3) α01 +Xα(ν1,...,νs)

(j1,...,js)Xj1,ν1. . . Xjs,νs.

D´esignons par Pl l’ensemble de toutes les s´eries formelles de cette forme. Soit ω1, ω2∈ Pl, ω1= α01 +Xα(ν1,...,νs) (j1,...,js)Xj1,ν1. . . Xjs,νs, (3.4) ω2= β01 +Xβ(µ1,...,µr) (k1,...,kr)Xk1,µ1. . . Xkr,µr. (3.5)

Nous d´efinissons leur produit ω1· ω2∈ Pl par ω1· ω2= α0β01 + X β0α(ν1,...,νs) (j1,...,js)Xj1,ν1. . . Xjs,νs +Xα0β(µ1,...,µr) (k1,...,kr)Xk1,µ1. . . Xkr,µr + X γ(ξ1,...,ξp) (l1,...,lp)Xl1,ξ1. . . Xlp,ξp o`u γ(ξ1,...,ξp) (l1,...,lp) = P r+s=pα (ξ1,...,ξs) (l1,...,ls)β (ξs+1,...,ξs+r)

(ls+1,...,ls+r) . L’ensemble Pl avec la naturelle

addition de séries, multiplication par les scalaires et multiplication décrite ci-dessus constitue une algèbre (avec unité 1).

Soient f1, . . . , fl ∈ g tels que fν(t) =

∞ X

j=−∞

Aj,νeijt, ν = 1, . . . , l.

L’´evaluation de la s´erie formelle (3.3) sur le vecteur (f1, . . . , fl) est

(3.6) ω(f1, . . . , fl) =

∞ X

j=−∞ βjeijt o`u βj est la s´erie formelle de la forme

(3.7) βj = X j1+...+js=j s=1,2,... α(ν1,...,νs) (j1,...,js)Aj1,ν1. . . Ajs,νs pour j 6= 0, β0= α0I + X j1,...,js=0 s=1,2,... α(ν1,...,νs) (j1,...,js)Aj1,ν1. . . Ajs,νs

(nous d´esignons par I la matrice unit´e).

(21)

la s´erie (3.8) |α0| + ∞ X j=−∞ X j1+...+js=j s=1,2,... |α(ν1,...,νs) (j1,...,js)| · kAj1,ν1k . . . kAjs,νsk

est convergente. En ce cas la somme (3.8) est notée |ω(f1, . . . , fl)|. (Rappelons que k k désigne la norme d’opérateur sur gl(N, C).)

Lemme 3.2. Nous avons

|(ω1+ ω2)(f1, . . . , fl)| ≤ |ω1(f1, . . . , fl)| + |ω2(f1, . . . , fl)|, |(ω1· ω2)(f1, . . . , fl)| ≤ |ω1(f1, . . . , fl)| · |ω2(f1, . . . , fl)|.

La dérivée formelle de la série formelle (3.3) donnée par αω est la série ω0 donnée par αω0 : Υ → C où

αω0((ν1, . . . , νs); (j1, . . . , js)) = i(j1+ . . . + js)α(ν1,...,νs)

(j1,...,js), αω

0(0) = 0

(i signifie l’unité imaginaire). Par récurrence, nous définissons la k-ième dérivée formelle ω(k) comme la dérivée de ω(k−1).

Exemple 3.3. Soit ω∈P1, ω((Xj)∞j=−∞) = Xn pour n fix´e. Alors on a ω(k)((Xj)∞j=−∞) = (n · i)kXn.

Lemme 3.4. La diff´erentiation dans Pl ob´eit la formule de Leibniz :

(ω1ω2)(k) = X k1+k2=k k1,k2≥0 k k1 ω(k1) 1 ω (k2) 2 .

D ´e m o n s t r a t i o n. Il suffit de montrer que (ω1· ω2)0 = ω10· ω2+ ω1· ω20. Avec les d´efinitions (3.4) et (3.5) nous avons

(ω1ω2)0= Xi(j1+ . . . + js)β0α(ν1,...,νs) (j1,...,js)Xj1,ν1. . . Xjs,νs +Xi(k1+ . . . + kr)α0β(µ1,...,µr) (k1,...,kr)Xk1,µ1. . . Xkr,µr +Xi(j1+ . . . + js+ k1+ . . . + kr) × X s+r=p α(ν1,...,νs) (j1,...,js)β (µ1,...,µr) (k1,...,kr)Xj1,ν1. . . Xjs,νsXk1,µ1. . . Xkr,µr . D’autre part, ω₁0ω2+ ω1ω0₂=Xi(j1+ . . . + js)α(ν1,...,νs) (j1,...,js)Xj1,ν1· . . . · Xjs,νs ×β01 +Xβ(µ1,...,µr) (k1,...,kr)Xk1,µ1· . . . · Xkr,µr +α01 +Xα(ν1,...,νs) (j1,...,js)Xj1,ν1· . . . · Xjs,νs ×Xi(k1+ . . . + kr)β(µ1,...,µr) (k1,...,kr)Xk1,µ1· . . . · Xkr,µr

(22)

= Xi(j1+ . . . + js)β0α(ν1,...,νs) (j1,...,js)Xj1,ν1· . . . · Xjs,νs+ +Xi(k1+ . . . + kr)α0β(µ1,...,µr) (k1,...,kr)Xk1,µ1· . . . · Xkr,µr+ +X X s+r=p i(j1+ . . . + js+ k1+ . . . + kr)α(ν1,...,νs) (j1,...,js)β (µ1,...,µr) (k1,...,kr) · · Xj1,ν1· . . . · Xjs,νs· Xk1,µ1· . . . · Xkr,µr = (ω1· ω2) 0_.

D ´e m o n s t r a t i o n. Il suffit d’employer les lemmes 3.2 et 3.4. Exemple 3.6. Soit F : C → C une fonction analytique

F (z) = ∞ X

k=0 akzk. Nous d´efinissons la s´erie ω ∈ P1par

(3.9) ω((Xj)∞j=−∞) = a01 + ∞ X k=1 ak(Xn)k = F (Xn), c’est-`a-dire, α0 = a0 et α(1,...,1)_(j 1,...,js) = δ n j1δ n j2. . . δ n jsas o`u δ i

j est le symbole de Kro-necker. Alors, αω0((1, 1, . . . , 1) | {z } s fois 1 ; (n, n, . . . , n) | {z } s fois n ) = (i · n · s)as. Autrement dit, ω0((Xj)∞_j=−∞) = ∞ X k=1 ak(ink)(Xn)k = (inXn) · ∞ X k=1 kak(Xn)k−1 = (inXn) · F0(Xn) = F0(Xn) · (Xn)0.

Nous avons donc le lemme suivant :

Lemme 3.7. La différentiation des séries formelles de la forme (3.9) obéit la formule de différentiation de fonctions composées (la formule de Faa di Bruno). En particulier , si F (z) = ez_{, nous avons}

ω(k)((Xj)∞j=−∞)

= exp(Xn) X

l1·1+...+lk·k=k

l1,...,lk≥0

κ(l1, . . . , lk)(inXn)l1_((in)2_Xn)l2_{. . . ((in)}k_Xn)lk

pour κ(l1, . . . , lk) = k!/(l1!(1!)l1_{· . . . · l}

k!(k!)lk) et k = 1, 2, . . . Les lemmes 3.5 et 3.7 entraˆınent

(23)

Lemme 3.8. Pour ω((Xj)∞j=−∞) = exp(Xn) et f (t) = P∞ j=−∞Aje ijt _nous avons |ω(k)_{(f )| ≤ exp(kAj}_k) × X l1·1+...+lk·k=k l1,...,lk≥0 κ(l1, . . . , lk)(|n|kAnk)l1_(n2_kA nk)l2· . . . · (|n|kkAnk)lk pour k = 1, 2, . . . Exemple 3.9. Soit ω ∈ P2, ω((Xj,1)∞j=−∞, (Xj,2)∞j=−∞) = ∞ X m=0 (−1)mad m Xn,1Xn,2 (m + 1)! pour n fix´e. Nous avons

ω(k)((Xj,1)∞_j=−∞, (Xj,2)∞_j=−∞) = ∞ X m=0 (−1)m(i(m + 1)n) k_adm Xn,1Xn,2 (m + 1)! . Si f (t) =P∞_j=−∞Ajeijt_{et h(t) =}P∞

j=−∞Hjeijt, nous avons |ω(k)_{(f, h)| ≤ exp(Ck}_kA

nk) · nkkHnk o`u Ck est une constante ne d´ependant que de k.

Exemple 3.10. Soit ω ∈ Pk+1 (k = 1, 2, . . .) d´efinie par ω((Xj,1)∞_j=−∞, . . . , (Xj,k+1)∞_j=−∞) = ∞ X m=k−1 P σ∈Sm( Qm s=1adYσ(s))Xn,k0+1 (m + 1)!(m − k + 1)!

o`u Y1 = Xn,1, . . . , Ym−k+1 = Xn,1, Ym−k+2 = Xn,2, Ym−k+3 = Xn,3, . . . , Ym−k+k0 = Xn,k0, Ym−k+k0+1 = Xn,k0+2, . . . , Ym = Xn,k+1. Si f (t) =

P∞

j=−∞Aje

ijt _{et hν(t) =}P∞

j=−∞Hj,νe

ijt _{pour ν = 1, . . . , k, nous avons}

|ω(l)_{(f, h1, . . . , hk)| ≤ exp(Cl}_kA

nk) · kHn,1k · . . . · kHn,kknl o`u Cl est une constante qui ne d´epend que de l.

Lemme 3.11. Soient ω ∈ Pl et f1, . . . , fl ∈ g. Supposons que |ω(k)_{(f1, . . . , fl)| = Ck}_{< ∞}

(k = 0, 1, 2, . . .). Alors

(a) la s´erie (3.7) est convergente, (b) ω(f1, . . . , fl) ∈ g et

kω(f1, . . . , fl)kk ≤ C0+ Ck (rappelons que k kk est la norme (1.9)).

D é m o n s t r a t i o n. (a) La convergence de la série (3.8) implique la conver-gence absolue de la série (3.7).

(24)

(b)P∞_j=−∞βjeijt_{∈ g lorsque, pour tout k = 0, 1, 2, . . . ,} (∗) ∞ X j=−∞ |j|k_kβ jk < ∞.

Mais ω(k)(f1, . . . , fl) =P∞_j=−∞(ij)kβjeijt. De l’hypoth`ese et de la sous-multipli-cativit´e de la norme k k nous avons

(∗∗)

∞ X

j=−∞

|j|kkβjk ≤ Ck

et le fait que les nombres Cksont finis signifie que la première partie de l’assertion (b) a lieu. L’estimation kω(f1, . . . , fl)kk ≤ C0 + Ck résulte de (∗∗) et de la définition de la norme k kk.

2. L’application Q est lisse apprivoisée. Définissons d’abord quelques applications auxiliaires g → G : Q+(f )(t) = ∞ Y j=1 Exp(Ajeijt), (3.10) Q+n(f )(t) = n Y j=1 Exp(Ajeijt) où n = 1, 2, 3, . . . , (3.11) Q0(f ) = Exp(A0), (3.12) Q−(f )(t) = −1 Y j=−∞ Exp(Ajeijt), (3.13)

les facteurs des produits étant toujours numérotés “de gauche à droite”.

L’application Q est maintenant représentée comme Q(f )=Q−(f )Q0(f )Q+(f ). D’après la proposition 1.14 il suffit de montrer que Q−, Q0 _{et Q}+ _{sont lisses} apprivoisées. Le cas de Q0 est évident. Par symétrie il suffit de considérer Q+. Il résulte de la proposition 1.14 et de la démonstration de la proposition 2.2 que les Q+

n sont lisses. En utilisant le th´eor`eme 0.2.3 de [2], nous allons montrer que l’application (3.14) Q+ = Q+₁ + ∞ X n=2 (Q+n − Q + n−1) est lisse.

Définition 3.12. Pour k = 0, 1, 2, . . . nous disons que les entiers non négatifs c1, . . . , cl vérifient la condition b(k), et nous écrivons (c1, . . . , cl) ∈ b(k), quand

c1· 1 + c2· 2 + . . . + cl· l = k.

(25)

Lemme 3.13. Pour tout entier positif k et tous r´eels a1, b1, . . . , ak, bk, X k1+k2=k k1,k2≥0 k k1 X (c1,...,ck)∈b(k1) k1! c1!(1!)c1_{. . . ck!(k!)}cka c1 1 . . . a ck k (3.15) × X (d1,...,dk)∈b(k2) k2! d1!(1!)d1. . . dk!(k!)dkb d1 1 . . . b dk k = X (l1,...,lk)∈b(k) κ(l1, . . . , lk)(a1+ b1)l1_{. . . (ak}_{+ bk}₎lk_.

D é m o n s t r a t i o n. Nous groupons le membre gauche de (3.15) en sommes de produits tels que, pour une solution fixée de l’équation

l1· 1 + l2· 2 + . . . + lk· k = k, on a les égalités c1+ d1= l1, c2+ d2= l2, . . . , ck+ dk = lk. En ce cas k k1 k1! c1!(1!)c1. . . ck!(k!)cka c1 1 . . . a ck k k2! d1!(1!)d1. . . dk!(k!)dkb d1 1 . . . b dk k = k! l1!(1!)l1. . . lk!(k!)lka c1 1 b d1 1 l1 c1 . . . ack k b dk k lk ck . Donc la somme correspondant à (l1, . . . , lk) ∈ b(k) est

k!

l1!(1!)l1. . . lk!(k!)lk(a1+ b1)

l1_{. . . (ak}_{+ bk)}lk_,

ce qui termine la d´emonstration.

Lemme 3.14. Pour tout entier positif n, toute norme de (1.9) et toute fonction f ∈ g (f (t) =P∞_j=−∞Ajeijt_{) on a} kQ+_n(f )k0≤ exp n X j=1 kAjk , (3.16) kQ+_n(f )kk≤ exp n X j=1 kAjk ×1 + X (l1,...,lk)∈b(k) κ(l1, . . . , lk) · n X j=1 jkAjkl1. . . n X j=1 jkkAjk lk . D ´e m o n s t r a t i o n. Soit γn ∈ P1, γn((Xj)∞_j=−∞) = exp(Xn) et soit ωn ∈ P1 d´efinie par ωn =

Qn

j=1γj. Nous avons γn(f ) = Exp(Ane

int_{) et ωn(f ) =} Q+n(f ) pour n = 1, 2, . . . Nous allons montrer, par r´ecurrence sur n, que pour k = 0, 1, 2, . . . ,

(26)

(3.17) |ω(k) n (f )| ≤ exp _Xn j=1 kAjk × X (l1,...,lk)∈b(k) κ(l1, . . . , lk) · _Xn j=1 jkAjk l1_Xn j=1 j2kAjk l2 . . . _Xn j=1 jkkAjk lk . Pour n = 1, ω1 = γ1 et l’inégalité (3.17) a lieu, pour k = 1, 2, . . . , en vertu du lemme 3.8. Supposons que (3.17) a lieu pour les entiers inférieurs à n et pour tout k = 0, 1, 2, . . . (pour k = 0 le deuxième facteur de (3.17) manque). Du lemme 3.4 nous avons ωn(k) = X k1+k2=k k1,k2≥0 k k1 ω(k1) n−1γ (k2) n . D’où et du lemme 3.5, |ω(k) n (f )| ≤ X k1+k2=k k1,k2≥0 k k1 |ω(k1) n−1(f )| · |γ (k2) n |.

De l’hypothèse de récurrence appliquée à ω(k1)

n−1, k1 = 0, 1, . . . , k, et des lemmes 3.13 et 3.8 appliqu´es `a γ(k2)

n , k2= 0, 1, . . . , k, nous obtenons (3.17). L’inégalité (3.16) résulte du lemme 3.11(b).

Corollaire 3.15. Pour chaque f ∈ C∞(S1, gl(N, C)) et k = 0, 1, 2, . . . la suite (kQ+

n(f )kk)∞n=1 est born´ee par une constante Cf,k.

Proposition 3.16. L’application Q+: g → G est bien d´efinie, lisse et appri-vois´ee sur {f : kf k0< C} pour tout C > 0.

D é m o n s t r a t i o n. Nous allons montrer que la série d’applications (3.14) satisfait aux hypothèses du théorème sur la différentiabilité au sens de Michel– Bastiani (les points (a), (b), (d) de la démonstration) (cf. 0.2.3 dans [2]). Notam-ment, nous allons montrer que :

(a) La s´erie (3.14) converge en chaque point.

(b) La série des dérivées suivant les directions du second membre de (3.14) converge en chaque point.

(c) L’application Q+ ainsi que ses dérivées suivant les directions satisfont aux estimations apprivoisées, du degré 0 avec la base 0, pour la gradation (1.9).

(d) Pour toutes f, h1, . . . , hk ∈ g et pour toute norme (1.9) il existe un voisi-nage ouvert U de f et un voisivoisi-nage ouvert Uj de hj (j = 1, . . . , k) tels que la s´erie DkQ+₁(f ){h1, . . . , hk} + ∞ X n=2 Dk(Q+_n − Q+ n−1)(f ){h1, . . . , hk} converge uniform´ement sur U × U1× . . . × Uk.

(27)

(a) Nous allons montrer davantage, `a savoir que la s´erie (3.14) converge abso-lument en chaque point. Pour tout k nous avons

kQ+ 1(f )kk+ ∞ X j=2 kQ+ j (f ) − Q + j−1(f )kk = kQ+₁(f )kk+ ∞ X j=2

kQ+_j−1(f )(Exp(Ajeijt) − I)kk.

En vertu de la proposition 1.12, le membre droit ne d´epasse pas kQ+₁(f )kk+ Ck·

∞ X

j=2

kQ+_j−1(f )kk· k Exp(Ajeijt) − Ik0

+kQ+_j−1(f )k0· k Exp(Ajeijt) − Ikk ≤ kQ+₁(f )kk+ Ck· (Cf,k+ Cf,0) ·

∞ X

j=2

k Exp(Ajeijt) − Ikk

d’apr`es le corollaire 3.15, ce qui est major´e par |ω₁(k)(f )| + |ω1(f )| + Ck· (Cf,k+ Cf,0) ·

X∞

j=2

(|γ_j(k)(f )| + |γj(f )| − 1)

pour ωj et γj d´efinies comme dans la d´emonstration du lemme 3.14.

Pour prouver la convergence de la s´erie ci-dessus, notons que la s´erie P∞

j=2|γj(f ) − 1| = P∞

j=2(exp(kAjk) − 1) est convergente parce que la s´erie P∞

j=−∞kAjk l’est. En employant la formule du lemme 3.8 on voit ais´ement que ∞ X j=1 |γ_j(k)(f )| ≤ exp ∞ X j=1 kAjk· X (l1,...,lk)∈b(k) κ(l1, . . . , lk) · ∞ X j=1 jk· kAjkl1+...+lk _{< ∞.}

La convergence ponctuelle de Q+n signifie que Q+ est bien d´efinie.

(b) Nous allons montrer que la série des dérivées suivant les directions des applications en (3.14) est, en chaque point et pour toute famille de directions, absolument convergente. Nous commen¸cons par montrer que les dérivées suivant les directions des applications Q+

n sont, en un point fixé et pour les directions fixées, bornées dans leur ensemble en norme arbitraire de la gradation (1.9) fixée. Dans ce but nous allons écrire la formule de la k-ième dérivée suivant les directions de l’application Q+

(28)

Soient h1, . . . , hk ∈ g avec hs(t) = ∞ X j=−∞ Hj,seijt (s = 1, . . . , k). D’apr`es (1.12) nous avons

(3.18) DkQ+n(f ){h1, . . . , hk} = X W1∪...∪Wn={1,...,k} Wi∩Wj =∅ n Y j=1 D|Wj|_Exp(Aj_eijt_){H j,kj₁e ijt , . . . , H_j,kj |Wj |e ijt_} o`u {kj₁, . . . , kj_|W

j|} = Wj. (Remarquons que pour un terme fix´e, tout au plus k

ensembles Wj sont non vides.) D’apr`es (1.17) nous avons (3.19) DkQ+_n(f ){h1, . . . , hk} = X W1∪...∪Wn={1,...,k} Wi∩Wj =∅ X (τ₁j,...,τj |Wj |)∈b(|Wj|) X partitions du type 1τ j 1...|Wj| τj |Wj | n Y j=1 Exp(Ajeijt) · τ₁j+...+τj |Wj | Y ν=1 ∞ X m=|Aj,ν|−1 (−1)m P σ∈Smadgσ(1)· . . . · adgσ(m)Hj,k₁j,νe ijt (m + 1)!(m − |Aj,ν| + 1)!

où Aj,ν est un élément de la partition de Wj, l’indice ν étant conforme à l’ordre décrit en (1.16), Aj,ν = {k j,ν 1 , . . . , k j,ν |Aj,ν|}, k j,ν 1 < k j,ν 2 < . . . < k j,ν |Aj,ν|, et g1= Ajeijt, . . . , gm−|Aj,ν|+1 = Aje ijt_, gm−|Aj,ν|+2 = Hj,kj,ν₂ e ijt_{, . . . , gm}_{= H} j,kj,ν |Aj,ν | eijt.

Nous allons estimer les normes de la fonction (3.19) en employant le sch´ema du premier paragraphe de ce chapitre. En substituant, dans (3.19), Ajeijt _par Xj,1 et Hj,νeijt par Xj,ν+1 nous obtenons la s´erie ωn ∈ Pk+1 telle que

ωn(f, h1, . . . , hk) = DkQ+n(f ){h1, . . . , hk}

pour tout (f, h1, . . . , hk) ∈ gk+1_{. Chaque terme η ∈ Pk+1} _{de ωn} _{est de la forme} η((Xj,1)∞_j=−∞, . . . , (Xj,k+1)∞_j=−∞) = n Y j=1 Exp(Xj,1) τj Y ν=1 ∞ X m=|Aj,ν|−1 (−1)m P σ∈Smadgσ(1). . . adgσ(m)Xj,kj,ν₁ +1 (m + 1)!(m − |Aj,ν| + 1)! o`u g1 = Xj,1, . . . , gm−|Aj,ν|+1 = Xj,1, gm−|Aj,ν|+2 = Xj,kj,ν₂ +1, . . . , gm = X_j,kj,ν |Aj,ν |+1 et τj = τ₁j+ . . . + τ_|Wj j|.

(29)

Nous allons estimer d’abord la norme de |η(l)_{(f, h1, . . . , hk)|. Dans ce but nous} divisons la s´erie η(l) _{en termes η}(l)

0 + η (l)

1 + . . . + η (l)

l = η(l) d´efinis de la mani`ere suivante :

• η(l)₀ se forme de la s´erie η quand les diff´erentiations formelles ne tombent que sur les facteurs Exp(Xj,1),

• η(l)₁ se forme de la série η quand sur les facteurs Exp(Xj,1) tombent (l − 1) différentiations et une différentiation tombe sur un d’autres facteurs, etc. jusqu’à

• η(l)_l où les différentiations ne tombent qu’outre les facteurs Exp(Xj,1). Nous profiterons du fait que les Wj, j = j1, . . . , jr, r ≤ k, sont vides sauf pour un nombre fini d’indices j et que les ensembles de la partition de Wj 6= ∅ sont ordonnés conformément à (1.16).

Soit Aj,ν la partition de Wj et ν = 1, . . . , τj. Soient k1, . . . , kp les plus petits ´

el´ements des Aj,ν(j = j1, . . . , jr; ν = 1, . . . , τji; p = τj1+ . . . + τjr), c’est-`a-dire

k1= kj1,1 1 , k2= k j1,2 1 , . . . , kp= k jr,τjr 1 . Posons aussi Wj1\ {k1, k2, . . . , kτ1} = {q1, . . . , q|W_j1|−τ1}, Wj2\ {kτ1+1, . . . , kτ1+τ2} = {q|W_j1|−τ1+1, . . . , q|W_j1|+|W_j2|−τ1−τ2}

etc. En vertu de (3.17) et de l’exemple 3.10, nous avons, pour s = 0, 1, . . . , l, les estimations (3.20) |η(l) s (f, h1, . . . , hk)| ≤ l s exp _Xn j=1 kAjk _X (p1,...,pl−s)∈b(l−s) κ(p1, . . . , pl−s) · n X j=1 jkAjk p1 . . . _Xn j=1 jl−skAjk pl−s

exp(k · Cs(kAj1k + . . . + kAjrk))

× X s1+...+sp=s si≥0 s s1, . . . , sp · js1 1 kHj1,k1k · . . . · j sp r kHjr,kpk ×kHj1,q1k · . . . · kHjr,q_{k−τ1−...−τr}k

o`u Cs (s = 1, . . . , l) sont les constantes de l’exemple 3.10.

Nous additionnons ceux parmi les termes de la série η qui sont définis par un certain nombre r d’ensembles non vides Wj (où r ≤ k) et les ensembles Wj sont relatifs aux mêmes partitions en ensembles Aj,ν. Autrement dit, il existe des indices j1, . . . , jr correspondants à un terme de η et des indices j₁0, . . . , j_r0 correspondants à un autre terme de η tels que

Wj1= Wj₁0, . . . , Wj1 = Wjr0; τji = τj_i0; Aji,ν = Aj_i0,ν.

(30)

séries η(l)s nous avons l’égalité ξ(l) = ξ₀(l)+ . . . + ξ_l(l) et les estimations résultant de (3.20) : (3.21) |ξ(l)_{(f, h1, . . . , hk)|} ≤ l X s=0 l s exp _Xn j=1 kAjk · X (p1,...,pl−s)∈b(l−s) κ(p1, . . . , pl−s) × n X j=1 jkAjkp1. . . n X j=1 jl−skAjk pl−s expk · Cs· n X j=1 kAjk × X s1+...+sp=s si≥0 s s1, . . . , sp Xn j=1 js1_kH j,k1k . . . n X j=1 jsp_kH j,kpk × n X j=1 kHj,q1k . . . n X j=1 kHj,q_{k−τ1−...−τr}k .

La série ωn est composée des termes ξ. Leur nombre, pour n > k, ne dépend pas de n et ne dépasse pas

bk+ X j1+j2=k ji≥1 bj1· bj2+ . . . + X j1+...+jk−1=k ji≥1 bj1· . . . · bjk−1+ 1 = Bk

o`u bj est le j-i`eme nombre de Bell.

La norme de l’´evaluation ωn(l)(f, h1, . . . , hk) s’estime alors par

(3.22) Bk· l X s=0 l s exp n X j=1 kAjk × X (p1,...,pl−s)∈b(l−s) κ(p1, . . . , pl−s) expk · Cs n X j=1 kAjk × X s1+...+sk=s si≥0 s s1, . . . , sk _Xn j=1 js1_kH j,1k . . . _Xn j=1 jsk_kH j,kk .

Elle est donc born´ee par une constante Cf,h1,...,hk,l qui ne d´epend pas de n.

Comme en point (a), la convergence de la s´erie kDkQ+₁(f ){h1, . . . , hk}kl+ ∞ X j=2 kDk(Q+_j − Q+_j−1)(f ){h1, . . . , hk}kl = kDkQ+1(f ){h1, . . . , hk}kl+ ∞ X j=2 kDk(Q+_j−1· (Exp ◦Pj − id))(f ){h1, . . . , hk}kl,

(31)

o`u Pj(f ) = Ajeijt_{, ne d´}_{epend que de la convergence de la s´}_erie ∞

X

j=2

kDk(Exp −id)(Ajeijt){Hj,1eijt, . . . , Hj,keijt}kl.

En employant (1.17) et en utilisant les méthodes de groupement des termes, décrites en cas de ωn, nous voyons que la série ci-dessus est majorée par

2 exp (kCl+ 1) ∞ X j=1 kAjk _X∞ j=1 X (c1,...,ck)∈b(k) κ(c1, . . . , ck) × X s0+...+s_c1+...+ck=l si≥0 l s0, . . . , sc1+...+ck · X (d1,...,d_s0)∈b(s0) κ(d1, . . . , ds0) × jl_kA jkd1+...+ds0 · kHj,1k . . . kHj,kk (c) De la formule (3.17) et des in´egalit´es

(i) ∞ X j=1 jkkAjk l ≤ ∞ X j=1 jk·lkAjk X∞ j=1 kAjk l−1

(cf. l’in´egalit´e de Jensen) et _X∞ j=1 jkkAjk _X∞ j=1 jlkHjk ≤ ∞ X j=1 jk+1kAjk _X∞ j=1 kHjk (ii) + _X∞ j=1 kAjk ∞ X j=1 jk+1kAjk

(cf. 1.10) il s’ensuit que, pour kf k0≤ C, kQ+_{(f )k0}_{≤ exp} ∞ X j=1 kAjk ≤ C0(1 + kf k0), kQ+_{(f )kk} _{≤ 2}k−1_· ∞ X j=1 kAjk × X (l1,...,lk)∈b(k) κ(l1, . . . , lk) _X∞ j=1 jkkAjk _X∞ j=1 kAjk l1+...+lk−p(l1,...,lk)

où p(l1, . . . , lk) est le nombre des li≥ 1. Pour les fonctions f telles que kf k0< C, chaque terme du membre droit de l’inégalité ci-dessus est ≤ Ck· kf kk. L’applica-tion Q+ satisfait donc aux estimations apprivoisées, du degré 0 avec la base 0, pour la gradation (1.9).

(32)

D’apr`es (i) et (ii) chaque terme de (3.22) s’estime, pour tout n, par exp(kCs+ 1) ∞ X j=1 kAjk hX∞ j=1 jlkAjk X∞ j=1 kHj,1k . . . ∞ X j=1 kHj,kk + _X∞ j=1 kAjk _X∞ j=1 jlkHj,1k _X∞ j=1 kHj,2k . . . _X∞ j=1 kHj,kk + . . . + ∞ X j=1 kAjk ∞ X j=1 kHj,1k. . . ∞ X j=1 jlkHj,kki,

ce qui signifie que les dérivées suivant les directions de Q+_v´_{erifient des estimations} apprivoisées, du degré 0 avec la base 0, pour la gradation (1.9).

(d) D’abord, nous allons montrer la convergence locale uniforme, par rapport `

a chaque norme (1.9), de Q+

n vers Q+.

Soit U(l) = {g ∈ g : kgkl+2 < 1}. Soit f ∈ g et soit P∞_j=−∞Ajeijt son d´eveloppement en s´erie de Fourier. Chaque g ∈ U(l) _{a un d´}_eveloppement P∞

j=−∞Gje

ijt_{. Nous allons montrer que, par rapport `}_{a la l-i`}_{eme norme (1.9),} la suite Q+

n converge uniformément sur U = f + U(l). Remarquons que kQ+(f + g) − Q+n(f + g)kl= Q + n(f + g) _Y∞ j=n+1 Exp((Aj + Gj)eijt) − I l. D’après la proposition 1.12 le membre droit ne dépasse pas

Cl kQ+_n(f + g)kl· ∞ Y j=n+1 Exp((Aj+ Gj)eijt) − I 0 +kQ+n(f + g)k0· ∞ Y j=n+1 Exp((Aj + Gj)eijt) − I l . Puisque Q+ _v´_{erifie les estimations apprivois´}_{ees il existe une constante positive} Cf,l, ne d´ependant que de f , telle que l’expression ci-dessus s’estime par

Cf,l(kf kl+ 1)exp ∞ X j=n+1 kAjk − 1exp ∞ X j=n+1 kGjk +exp ∞ X j=n+1 kGjk − 1+ ∞ X j=n+1 (jl+ 1)kAjk + ∞ X j=n+1 (jl+ 1)kGjk ≤ C_f,l0 exp _X∞ j=n+1 kAjk − 1+ exp _X∞ j=n+1 kGjk − 1 + ∞ X j=n+1 (jl+ 1)kAjk + ∞ X j=n+1 (jl+ 1)kGjk.

(33)

Pour ε > 0 fixé nous pouvons choisir un n0 tel que pour tout n > n0 chaque terme de la somme ci-dessus soit inférieur à ε/(4C_f,l0 ), ce qui donne le résultat voulu.

Posons

Ul = (f + U(l)) × (h1+ U(l)) × . . . × (hk+ U(l)).

Nous allons montrer que la suite des k-ièmes dérivées suivant les directions {h1, . . . , hk} des Q+

n converge, en l-ième norme, vers la k-ième dérivée de Q+. Nous avons (3.23) DkQ+(f + g){h1+ g1, . . . , hk+ gk} − DkQ+n(f + g){h1+ g1, . . . , hk+ gk} = DkQ+_n · ∞ Y j=n+1 (Exp ◦Pj) − I(f + g){h1+ g1, . . . , hk+ gk} où Pj(f ) = Ajeijt. D’après (1.12) et le fait que la l-ième norme de DkQ+n(f + g){h1+ g1, . . . , hk+ gk} est bornée sur Ul (une conséquence de (3.22)) il suffit de démontrer la convergence uniforme de la suite

D k ∞ Y j=n+1 (Exp ◦Pj) − I(f + g){h1+ g1, . . . , hk+ gk} l

où k ≥ 1 est fixé (le cas où k = 0 a été considéré au début de la démonstration du point (d). Il est évident qu’il suffit de démontrer la convergence uniforme, vers 0, de la suite D k ∞ Y j=n+1 Exp ◦Pj(f + g){h1+ g1, . . . , hk+ gk} l

pour k fixé, ce qui résulte immédiatement de l’observation que les dérivées des applicationsQ∞_j=n+1Exp ◦Pj satisfont, pareillement à Q+, à des estimations ap-privoisées par rapport à la gradation (1.9).

3. La d´eriv´ee suivant la direction de Q est bijective, la famille

d’inverses V Q est continue apprivoisée. La proposition 3.16 et les remar-ques au début du paragraphe 2 de ce chapitre montrent que la dérivée suivant la direction de Q+ _{est la limite des d´}_eriv´_{ees correspondantes de Q}+

n. On remarque aisément que la dérivée suivant la direction de Q est la limite des dérivées suivant la direction des applications Q−_n · Q0_{· Q}+

n, où Q−_n(f )(t) = −1 Y j=−n Exp(Ajeijt), n = 1, 2, 3, . . . Par conséquent, la dérivée DQ(f )h est égale à

(3.24) ∞ X n=−∞ n Y j=−∞

Exp(Ajeijt)(Φ(− adAneint)Hne

int ) ∞ Y j=n+1 Exp(Ajeijt).

(34)

Rappelons que la fonction f a les coefficients de Fourier Aj et h a les coefficients Hj. La fonction Φ : C → C est donn´ee par Φ(z) = (ez− 1)/z. Remarquons que

(3.25) (DQ(f )h)(t) = −1 X n=−∞ n−1_Y j=−∞ Exp(Ajeijt)

(Φ(adAneint)Hne

int ) _Y∞ j=n Exp(Ajeijt) + ∞ X n=0 _Yn j=−∞ Exp(Ajeijt)

(Φ(− adAneint)Hne

int ) _Y∞ j=n+1 Exp(Ajeijt) . La bijectivité de la dérivée suivant la direction h de l’application exp : C∞(S1_{, C) → C}∞_(S1_{, C) est évidente : D exp(f )h = exp(f ) · h et l’équation} D exp(f )h = k a une seule solution h = exp(−f ) · k pour toute f ∈ C∞(S1, C). Pour Exp : g → G on a D Exp(f )h = Exp(f )·(Φ(− adf)h) et l’équation D Exp(f )h = k a une seule solution h = Φ−1(− adf)(Exp(−f ) · h) pour f d’un voisinage ouvert de zéro de g. Clairement en ces deux cas la solution de l’équation donnée est en rapport avec la transformation g 7→ Exp(−f ) · g pour g ∈ C∞(S1_{, C) ou} g ∈ C∞(S1_{, gl(N, C)). En cherchant une transformation analogue, convenable} pour l’équation

(3.26) DQ(f )h = k

o`u k(t) = P∞_j=−∞Cjeijt_{, nous avons une difficult´}_{e `}_{a surmonter; notamment,} chaque matrice Cj est une somme infinie de termes d´ependant des matrices (Aj)∞_j=−∞ et (Hj)∞_j=−∞.

Pour tout entier n et pour toute f ∈ g nous d´efinissons l’application Rn : g → g par (3.27) Rn(g)(t) = −∞ Y j=n Exp(−Ajeijt) · g(t) · n+1 Y j=∞ Exp(−Ajeijt).

Lemme 3.17. Rn est un automorphisme linéaire lisse apprivoisé de g. L’appli-cation g × g 3 (f, g) 7→ Rn(g) ∈ g est lisse apprivoisée. L’application inverse R−1n a les mêmes propriétés.

D é m o n s t r a t i o n. La démonstration est une adaptation des raisonnements du paragraphe 2 de ce chapitre. L’application inverse à Rn est donnée par

R−1n (g)(t) = n Y j=−∞ Exp(Ajeijt)g(t) ∞ Y j=n+1 Exp(Ajeijt).

Le pas suivant, qui prépare la démonstration du théorème principal de ce chapitre, consiste à définir et à examiner quelques propriétés d’une application F : g → g. En se servant d’elle nous allons montrer que la famille V Q d’inverses par rapport à la dérivée suivant la direction DQ, étant continue, satisfait aux estimations apprivoisées. Définissons d’abord les applications Fn : g → g, pour

(35)

n = 0, 1, 2, . . . , par (Fn(f ))(t) = ∞ Y j=1 Exp(2Ajeijt) − I n .

Il résulte du début du paragraphe 2 et de la proposition 1.14 que les Fnsont lisses apprivoisées.

Lemme 3.18. L’application F donnée par F =P∞n=0Fn est lisse apprivoisée sur V = {f ∈ g : kf k0< 1₂ln 2}. Posons d(t) = ∞ X j=−∞ Djeijt. Le n-ième coefficient de Fourier de la fonction

F · id(f, d) = ∞ X j=0 Fj(f ) · d est (3.28) n−1 X q=1 n−q X k=1 X (i1₁,...,i1 p1)∈b(p1) ... (ik 1,...,i k pk)∈b(pk) p1+...+pk=n−q p1≥1,...,pk≥1 k Y l=1 pl Y j=1 (2Aj)ilj il j! Dq.

D ´e m o n s t r a t i o n. (Remarquons que F est une analogie de la fonction λ : C → C, λ(z) =P∞n=0(e

z_{− 1)}n_{, bien connue de l’analyse combinatoire; cf. [4].)} Soit ωn∈ P1, ωn((Xj)∞_j=−∞) = (Q∞_j=1exp(2Xj) − 1)n_{. Nous avons ωm(f ) =} Fm(f ) et ω(k)m = X k1+...+km=k ki≥0 k k1, . . . , km m Y ν=1 _Y∞ j=1 exp(2Xj) − 1 (kν) . Donc |ωm(f )| ≤exp2 ∞ X j=1 kAjk − 1n et |ω(k) m (f )| ≤ Ckm k_exp₂ ∞ X j=1 kAjk − 1m−kexp2 ∞ X j=1 kAjk k ×2 ∞ X j=1 kAjk k−1 2 ∞ X j=1 jkkAjk pour k = 1, 2, . . .

(36)

Pour f ∈ V la sérieP∞_n=k+1kFn(f )kkest donc convergente, l’application F est bien définie et satisfait à des estimations apprivoisées. En répétant les arguments du point (d) de la démonstration de la proposition 3.16 nous obtenons la conver-gence uniforme de P∞_n=0Fn sur un voisinage ouvert convenable de chaque point f ∈ V. Rappelons que ces voisinages sont choisis par rapport à une norme (1.9) fixée. L’application F est donc continue. La démonstration de la formule (3.28) consiste à l’observation suivante : Dans la construction du n-ième coefficient de l’expansion en série de Fourier de F · id(f, d) prennent partie les coefficients Dq pour 1 ≤ q ≤ n et certains termes des séries F1(f ), . . . , Fn−q(f ); notamment, les termes de F1(f ) de la forme (2A1)i11 i1 1! · . . . · (2Ap1) i1 p1 i1 p1! où i1

1· 1 + . . . + i1p1· p1= n − q; les termes de F2(f ) de la forme

(2A1)i11 i11! · . . . · (2Ap1) i1 p1 i1 p1! ·(2A1) i21 i21! · . . . · (2Ap2) i2 p2 i2 p2! o`u i11· 1 + . . . + i1p1· p1+ i 2 1· 1 + . . . + i2p2· p2= n − q, p1+ p2= n − q et p1≥ 1,

p2≥ 1, etc. jusqu’au terme avec p1+ . . . + pn−q = n − q (ce qui est possible quand pi= 1), c’est-à-dire, jusqu’au terme de Fn−q qui est égale à

(2A1) · . . . · (2A1)

| {z }

n−q facteurs

Proposition 3.19. Pour toute f ∈ V = {f ∈ g : kf k0 < 12ln 2} l’´equation (3.26) a une seule solution V Q(f )k et l’application V Q : V × g → g est continue et apprivois´ee.

D ´e m o n s t r a t i o n. Nous allons ´etablir que

(a) la solution formelle de (3.26) existe, c’est-`a-dire il est possible de calculer Hj en termes de (Aj)∞_j=−∞ et (Cj)∞_j=−∞,

(b) la solution du point (a) appartient `a g, et la famille V Q est continue et apprivois´ee.

Nous conservons les notations déjà introduites pour les développements de Fourier.

(a) Appliquons R0(cf. (3.27)) aux deux membres de (3.26) et notons d = R0(k) la fonction de g à développement d(t) = ∞ X j=−∞ Djeijt. Puisque dans g on a l’identité

(37)

l’´equation (3.26) prend la forme (3.29) −1 X n=−∞ n Y j=0

exp(− adAjeijt)(Φ(adAneint)Hne

int ) + Φ(− adA0)H0 + ∞ X n=1 n Y j=1

exp(adAjeijt)(Φ(adAneint)Hne

int_{) =} ∞ X

n=−∞

Dneint et donc se décompose en trois équations indépendantes :

−1 X n=−∞ n Y j=0

exp(− adAjeijt)(Φ(adAneint)Hne

int_{) =} −1 X n=−∞ Dneint, (3.30) Φ(− adA0)H0= D0, (3.31) ∞ X n=1 n Y j=1

exp(adAjeijt)(Φ(− adAneint)Hne

int ) = ∞ X n=1 Djeijt. (3.32) Si kA0k < 1

2, la solution de (3.31) est donn´ee par

(3.33) H0= Φ−1(− adA0)D0.

En ordonnant les membres gauches de (3.30) et (3.32) par rapport au syst`eme {eint_}∞

n=−∞ nous obtenons deux syst`emes d’´equations suivants :

(3.34)                                exp(− adA0)H−1= D−1, exp(− adA0) H−2+ [A−1, H−1] 2 − [A−1, H−1] = D−2, . . . . exp(− adA0) X i1·1+...+ik−1·(k−1)+(ik+l+1)·k=n i1≥0,...,ik−1≥0,l≥0 k Y s=1 (− adA−s) is is! ·(adA−k) l (l + 1)! H−k = D−n, (3.35)                                H1= D1, H2+ [A1, H1] −[A1, H1] 2 = D2,

H3+ [A1, H2] +[A1, [A1, H1]]

2! − [A1, [A1, H1]] 2! + [A1, [A1, H1]] 3! =D3, . . . . X i1·1+...+ik−1·(k−1)+(ik+l+1)·k=n i1≥0,...ik≥0,l≥0 k Y s=1 (adAs) is is! · (− adAk) l (l + 1)! Hk= Dn.

(38)

Les identités l X k=0 1 k!· (−1)l−k (l − k + 1)! = 1 (l + 1)!, l X k=0 (−1)k k! · 1 (l − k + 1)! = (−1)l (l + 1)! montrent que les systèmes (3.34) et (3.35) sont équivalents respectivement à

(3.36)                              exp(− adA0)H−1= D−1, exp(− adA0) H−2− [A−1, H−1] 2! = D−2, . . . . exp(− adA0) X i1·1+...+ik−1·(k−1)+(ik+1)·k=n i1≥0,...ik≥0 1 (ik+ 1) · k Y l=1 (− adAl) il il! H−k =D−n, (3.37)                            H1= D1, H2+ [A1, H1] 2! = D2,

H3+ [A1, H1] + [A1, [A1, H1]]

3! , . . . . X i1·1+...+ik−1·(k−1)+(ik+1)·k=n i1≥0,...,ik≥0 1 (ik+ 1) k Y l=1 (adAl) il il! Hk = Dn.

Pour les résoudre nous raisonnons par récurrence. Le système (3.37) se transforme comme suit : H1= D1, H2= D2−[A1, D1] 2! , H3= D3−[A1, [A1, D1]] 3! − [A1, D2] + [A1, [A1, D1]] 2! .

Supposons que pour n ≤ l

(3.38) Hn= Dn+ n−1 X k=1 (−1)k X i1₁·1+...+i1 p1−1·(p1−1)+(i1_p1+1)·p1=n i21·1+...+i 2 p2−1·(p2−1)+(i2_p2+1)·p2=p1 ... ik 1·1+...+i k pk−1·(pk−1)+(ik_pk+1)·pk=pk−1 k Y s=1 1 (is ps + 1) · k Y s=1 ps Y l=1 (adAl) isl is_l! Dpk.