Wpływ żebra na rozkład temperatury w ściance ożebrowanej

(1)

•O4 Nr 84

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

Energetyka z. 11 1963

EDUARD K05T0Y/SKI Katedra Energetyki Cieplnej

WPŁYW ŻEBRA NA ROZKŁAD TEMPERATURY W ŚCIANCE 0ŻEBROWANEJ

Streszczenie» Równania wymiany ciepła przez prze

grodę o żebrowaną wyprowadza się zwykle przy założeniu, że w ściance przegrody powierzchnie izotermiczne są równoległe do powierzchni ścianki. Tę metodę określono w artykule jako metodę I. Ze względu na to, iż żebro przekazuje znaczą ilość strumienia ciepła wnikającego do przegrody, w ściance przegrody występuje przepływ ciepła w kierunku żebra, a więc pole temperatur w ścian

ce nie jest takie jak podano wyżej. Uwzględniając wpływ żebra założono przepływ ciepła w ściance przegrody w kierunku żebra i wyprowadzono równania wymiany cie

pła. To rozwiązanie nazwano metodą II. Porównano wyni

ki otrzymane obiema metodami. Uwzględniono także wpływ promieniowania pomiędzy ścianką i żebrem na otrzymane wyniki.

Ważniejsze oznaczenia b - długość żebra,

g - grubość ścianki,

2L - odstęp pomiędzy żebrami, - strumień ciepła,

t,v?- temperatura,

« - współczynnik wnikania ciepła, S - grubość żebra,

A - współczynnik przewodzenia ciepła.

(2)

Wskaźniki: 1 - od strony cieplejszej, 2 - od strony chłód-

Zagadnienie rozpatrywane w artykule nasunęło się przy analizowaniu wymiany ciepła w reImperatorach opromieniowa- nych. przeprowadzone pomiary wykazały bowiem dużą różnicę pomiędzy temperaturą ścianki między żeorami, a temperaturą ścianki u nasady żebra. W poniższym artykule przedstawiono teoretyczne ujęcie tego zjawiska. Dla uproszczenia rozwa

żań przyjęto, że żebra znajdują się z tej strony przegrody, która jest omywana czynnikiem o niższej temperaturze. Taka sytuacja zachodzi zwykle w rzeczywistych wymiennikach cie

pła. Wyprowadzone równania są słuszne także wówczas, gdy że

bra znajdują się po stronie przeciwnej.

1. Przenikanie ciepły przez przegrodę ożebrowana - rozwiązanie dla metody I

Jeżeli przyjmie się, że w ściance przegrody powierzchnie izotermiczne są równoległe do powierzchni ścianki [1], [2], to równanie bilansu strumieni ciepła dla segmentu ożebrowa- nego o długości jednostkowej, którego szkic przedstawia rys.1, ma postać:

W równaniu (1), dla uproszczenia, pominięto nieznaczny spadek temperatury w ściance przegrody. Jeżeli do równania (i ) podstawi się

niejszej,

L - dotyczy ścianki pomiędzy żebrami, m - śred- ni,

o - u nasady żebra, r - promienisty, s - ścian

ka, ż - żebro.

V/step

(2)

(3)

Wpływ żebra na rozkład temperatury w ściance».» 159

Rys.1. Szkic segmentu ożebrowanego

to otrzymuje się następującą zależność na ilość ciepła prze

nikającą przez 1 mb segmentu ożebrowanego w ciągu godziny

fi = (3)

(2 1 + S) oc2(2 L + eż 2b)

Temperaturę ścianki przegrody można natomiast obliczyć z równania

(4)

Dla znanej temperatury ścianki, można z równania (2) wyliczyć średnią temperaturę żebra, która wynosi:

m. *2 + ^(2a)

1.Yielkość £., zwaną sprawnością żebra, oblicza się dla danego żebra z zależności

tg h A. b

et - - i r r - (5)

gdzie:

Aż C6 )

Dla żeber krótkich i stosunkowo grubych należy w równaniach (1) * (5) zamiast długości b podstawiać wielkość b + ~ .

2. Przenikanie ciepła przez przegrodę ożebrowana - rozwiązanie dla metody II

Żebro przekazuje znaczną część strumienia ciepła wnika

jącego dc przegrody od strony nieożebrowanej. W związku z tym w ściance przegrody następuje przepływ ciepła w kierun

ku żebra. Ponieważ przepływ ciepła wymaga różnicy tempera

tur, przeto temperatura u nasady żebra jest niższa od tem

peratury ścianki na odcinku między żebrami, najwyższa tem

peratura ścianki występuje w osi symetrii. Tak więc tempera

tura ścianki przegrody nie jest stała. U nasady żebra musi być natomiast spełniony warunek brzegowy: ilość ciepła wni

kającego przez przewodzenie do żebra jest równa ilości cie

pła przez nie oddawanego. V/ celu wyprowadzenia równania na rozkład temperatury w ściance można zastąpić żebro źródłem ciepła [3] o temperaturze ^ i grubości <?, do którego jest doprowadzana przez przerodzenie i konwekcję odpowiednia

(5)

Wpływ żebra na rozkład temperatury w ściance,.. 161

ilość ciepła. Jest ona równa ilości ciepła przekazywanego przez jedno żebro i wynosi:

= K S “ to)tS h A*b ⁽⁷⁾

2.1. Rozkład temperatury w ściance przegrody ożebrowane.i Ra rys.2. przedstawiono szkic przegrody, w której żebra zastąpiono źródłami ciepła o grubości S i temperaturze i^.

Dla elementu dx od

dalanego o x od osi symetrii równanie bi

lansu strumieni cie

pła ma postać:

d V*

- s K —d v |\ + + oć»| (11 — dx =

= -g A, Rys.2. Schemat zastąpienia żeber

źródłami ciepła o grubości ć

d ^

dx x + dx

+ -t2) dx

(

⁸

)

Równanie to sprowadza się do równania różniczkowego 2 rzędu

A g — ^ o dt* - t g ) - - i ^ ) (9) dx

które można przekształcić do postaci

d T dx‘

2 = (v* - D) (9a)

(6)

gdzie•

- a2

~ À

CC -i Ci

4 - r - r ł 0 “ )

oraz

cc t + Ci t

D . ■-!■, .1.. g g (11) c«1 + ci^

Y/ielkość D jest temperaturą, jaką miałaby ścianka nieoże- browana przy tych samych wartościach t^, t^> i <^*

Podstawiając dalej do równania (9a)

^ - D = 0(di> = d<9* d2^ =xd20) (12)

otrzymuje się równanie

^ | - A 20 = O (13)

dx

dla którego rozwiązanie ma postacs

A x -A x

s s

G = M , e + Ne <14 )

Warunki brzegowe są następującej a) warunek symetrii

Mdx = 0 x=0 z którego wynika M « N

b) warunek ciągłości temperatury (u nasady żebra tempera

tury ścianki i żebra są sobie równe) 9 I _ s - D

IX a L O

(7)

Wpływ żebra na rozkład temperatury w ściance,.« 163

c) warunek ciągłości strumienia cieplnego d0

S ta c=i+ 1 “i *<*1 " M r ł2 )tg h V >

Warunki b i c po zwalaj ą wyliczyć stałą M = ii oraz tem

peraturę u nasady żebra. Temperatuę tA oblicza się

r , . o o

z równania

i/ = D + o

t2 - D + (t1 - D)C 1 + B + C

(15)

gdzie:

A g A tg h A L

■o _ ? 's -S (a)

B ~ 2 A. <fA. tg h A.b 'a '

z z z

oraz

0^1 A. A. tg h A.b

z z z

(b-)

Stała M ma wartość;

x>o - d t2 - D + (t^ D)C

M = 2 ch AL = (1 + B + C)2 ch AL *•'6 ^ Równanie rozkładu temperatury w ściance ma w związku z tym postać

ch A x

9 (x) ta i*(x) - D » (lA -D) ---- ~ ( 17 ) 0 ch A 1

(8)

Maksymalna (jeżeli t >■ t ) temperatura ścianki, wystąpi w osi symetrii dla x = O. Ma o m wartość:

*o “ D

^Sjinaoc E + ch A L O ? 3-)

’ s

Dla rozkładu temperatury opisanego równaniem (1 7) średnia temperatura ścianki, na odcinku między żebrami, wynosi

L

« r th a L

3n,l * L 6(x) ^ = H “ O) 7 f <18)

v S

Średnia temperatura całej ścianki jest nieco niższa (ponie

waż fi _ ) i ma wartość . o m,I/

# 2 L + fiS

4 . „ ■ --- ° (u)

2 L + cf

Ha podstawie znajomości temperatur 1/ i ^ oblicza się ilość ciepła przekazywaną przez segment ożfbrowany. Moż

na ją obliczać dla strony gładkiej lub ożebrowanej. W pier

wszym przypadku.

q - ^ >L) 2 L + (t, - (20)

lub korzystając z (1 9)

q = Cv1(t1 - fi L + J) (20a)

Dla strony ożebrowanej otrzymuje się równanie

Strumienie ciepła (20) i (21) są oczywiście sobie równe.

(9)

Y/pływ żebra na rozkład temperatury w ściance... 165

3. Porównanie wyników otrzymanych dwiema metodami Y/yniki otrzymane w rozwiązaniu róvmania wymiany ciepła metodą I różnią się od wyników otrzymanych dla metody II.

Ua wielkość tej różnicy wpływa szereg czynników. W tablicy 1 umieszczono rezultaty otrzymane przy założeniu różnych wielkości wyjściowych: , oc^, t^, t2, g, ó , 2 L,b. '.Ve wszystkich rozwiązaniach przyjęto przegrodę stalową, a więc A = A- = 167»6 kJ/m h grd (40 kcal/m h grd).

s z

iY tablicy 1 w kolumnach 1*4 znajdują się dane wyjściowe, w kolumnach 5 i 6 wyniki otrzymane w metodzie I, a w kolumnach 7 ? 9 wyniki otrzymane w metodzie II. Kolumna 10 zawiera względną różnicę strumienia ciepła, natomiast 11 maksymalną różnicę temperatury ścianki.

Porównania wyników wykazuje pewne ogólne prawidłowości:

1. Wartość strumienia ciepła w rozwiązaniu II jest nie

znacznie mniejsza od wartości otrzymanej w rozwiązaniu I.

T/ynika to stąd, że średnia temperatura ściany przegrody ^ jest wyższa od średniej temperatury ścianki przegrody otrzy

manej w rozwiązaniu I, Różnica pomiędzy strumieniami ciepła rośnie przede wszystkim ze wzrostem odległości pomiędzy że

brami, przy jednakowej odległości jest większa dla żeber dłuższych, zależy w małym stopniu od całkowitej różnicy tem

peratur. Różnica wartości strumienia cieplnego jest jednak stosunkowo mała, mieści 3ię w granicach błędów spowodowanych niedokładnym przyjęciem danych wyjściowych. 71 rozpatrywanych przykładach błąd nie przekracza 2,5/S.

2. Uierównomierność rozkładu temperatury rośnie, jeżeli grubość ścianki maleje a inne wielkości pozostają bez zmian,

3. Rozwiązanie I daje za wysoką temperaturę żebra. Tempe

ratura u nasady żebra jest w rozwiązaniu I równa temperatu

rze ścianki i wyższa od rzeczywistej, ponieważ nie uwzględ

nia się tu przepływu ciepła do żebra. Różnica pomiędzy war

tościami średniej temperatury żebra fi rośnie ze T/zrostem odstępu pomiędzy żebrami i długości żenta, a także ze wzro

stem różnicy temperatur. Różnica ta może być dość duża.

4. Rozwiązanie I zaniża temperaturę ścianki. Z powodu przepływu ciepła do żebra temperatura ścianki jest zmienna.

Najwyższa temperatura ścianki jest znacznie większa od śred

niej, a różnica może dochodzić do kilkudziesięciu grd.

Uwzględnienie zmiany temperatury jest istotne szczególne wtedy, gdy temperatura ścianki jest bliska temperaturze do

puszczalnej do materiału ścianki.

(10)

Wyniki obliczeńuzyskaneobiemametodami

■cr

i ^o

i>

o l

O

o

C- vo c m r-\ ovo

cam>

k o >- 0_{1 A VO}

VÛ vo

CO OJ c n o a

CM I A

« - CM

■M- f A

O IA O'»

i ac a I A o C M r-

vO LA SR:_{I A I A}

VO t- CM f -

0 A

* O

/ -

CM T f T - fA O- O

ir\ V O C O O f - Ï - V O M O C A i n o c a ■*■ r A c a C M vo I A I A sO -M- IM Cn CO

■M- CA I A ■+ O IA I A «*■

t- O IA f-

l A LA I A ^ VO «

I A r n CA ( A CA CA CA CA CA CA CACA

o o o o o o o o o o o o o o o o

O CM o CM o CM O CM O CM O CM O CM CO -M- ! o o § 88

) - tf O CM O CM

JA

k o k o o- t>-

vO VD

KO KO C" t - KO KO

KO 00

•iîi

KO CO .* 00

* - JA I A CO

^ CO KO 0 0 KO CO KO CO KO 00

(11)

Wpływ żebra na rozk ład temperatury v» śoianoe«»« 167

Na rys®3 pokazano przebieg temperatur w przegrodzie otrzy

many w przykładzie 5® Różnica pomiędzy rozwiązaniem I

— m e to d a TL - — m etoda I

Rys<>3® Przebieg temperatur w przegrodzie ożebrowanej® Rozwią

zania dla obu metod

i II jest bardzo wyraźna® Warto tutaj zwrócić uwagę na to*

że w równaniach wymiany ciepła przyjęto wymianę ciepła tylko przez konwekcję®

4® Uwzględnienie wpływu promieniowania.

Jeżeli czynnikiem ogrzewanym jest gaz, wówczas zachodzi oprócz konwekcji wymiana ciepła przez promieniowanie pomię°

dzy ścianką i żebrem*)® Promieniowanie znacznie komplikuje równanie różniczkowe (8), ponieważ wystąpią w nim dodatkowe człony z czwartymi potęgami temperatur i nieznaną tempera=

turą żebra® Aby uniknąć tych trudności obliczeniowych można postępować następującos

A® Założyć, że przy wymianie ciepła przez promieniowanie ścianka i żebro zachowują się jak powierzchnie o stałych tem=

peraturach równych odpowiednio v m?!L * ^m^ż® Równocześ- Patrz rysunek 1 na strd40. -

(12)

nie przyjąć, że do równania różniczkowego można wprowadzić średni stosunek konfiguracji pomiędzy ścianką i żebrem

B. Obliczenia przeprowadzać metodą kolejnych przybliżeń.

V/ pierwszym przybliżeniu należy obliczyć średnie temperatury ścianki i żebra z pominięciem wpływu promieniowania.

C. 17 drugim przybliżeniu uwzględnia się już promieniowanie.

Znając temperatury ścianki i żebra oraz stosunek wymiany ener

gii promienistej & . [<? . = f( fi , <?ż» oblicza się ilość ciepła w y m i e n i a n ą przez prominiowanie pomiędzy ścian

ką i żebrem

^ “ 2 L £s-ż Cc[^“lOO'' " 100' ]2 ^22' Tę ilość ciepła zamienia się na zastępczy strumień ciepła

4 - 2 1 “r,s W m,lT V (23) co oznacza zastąpienie wymiany ciepła przez promieniowanie konwekcją. Z porównania równań (22) i (23) wynika

2 £ . 0 (i4 I4 .) 10"8

( 24) r>s _• *m,L ’ *2₉

Podobnie można zamienić strumień ciepła (22) dla powierz

chni ^żebrana

4 - 2» < 1Ż(‘2 - *»mił) (25) Porównując (22) i (2 5) otrzymuje się

2 1 ' A - O 0"8 f„n

Wielkości cc' i cc’ . sprowadzają w sposób formalny pro

mieniowanie p£&fędzy ś£iSnką i żebrem do konwekcji pomiędzy ścianką lub żebrem a gazem o temperaturze t^. Należy zwrócić

(13)

Rozwiązanierównaniawymianyciepładla przykładu z uwzględnieniemwpływupromieniowania

Y/pływ żebra na rozkład temperatury w ściance,.. 169

coo

•HH

,Qd CH

in

f i 6 0CD

m <— '3 - O CA

•-3 «k «k

f i LA AJ o t -

f i c r\ CO CA '4 *

c a '* • CA

A ■>4- ■sł-

•O*

oo LA LA O

m •> *k •k

•N '& t - - t t AJ

•> _KO f - LA l -

-=*•

oo

X o CA O ON

(0 •> «k

B CA k— LA

NO LA CO ND

co LA LA LA CA

oo

O CA 'i " 00

m • «i •t «k

•» CA •<4- o n r -

. S ND LA v o LA

LA LA LA LA

oo O fA O CA

m •k «k

o c a -cł- ON CA

v o LA -=ł- •* *

LA LA lA LA

CO

CO • rl f i

* • r l B ^©

d CD © • r l

• r ł d d ©

d CD *o •H

•O \*rl CD* d

o* d r t *d

#—1 '3 60 CD*

bp o* N

3 i—i £ hO

£ bO d _ N

• ri £ *H N *H d -H

N d d d CD d d

,Q -S N ?! > £

o O H O M O

H *H H -H H -H H i - r l

d d d d

U - r l *t) tI -O -H * d -rl

O B o B o B O f i

+» o ^{-P o} ^+> ^o ^{P O}

S Pu S A , SB Pu ^{S CU}

- AJ CA "Cł-

(14)

uwagę na to, że współczynnik oc' jest ujemny, ponieważ żebro, przejmuje przez promieniowanie pewną ilość ciepła pd ścianki.

W związku z tym współczynniki wnikania ciepła wynoszą obecnie:

dla ścianki od strony gładkiej - cCj (bez zmian) dla ścianki pomiędzy żebrami - oc^ + g = g

dla żebra ż = **2 ż

Dalszy tok obliczeń polega na tym, że do równań wymiany ciepła [(8) i dalszychj podstawia się zamiast oc^ wartości

cc 2 i cc dla których oblicza się nowe wartości odpo

wiednich temperatur itd. Obliczenia przerw/a się z chwilą otrzymania wystarczającej zgodności pomiędzy wynikami kolej

nych przybliżeń. W ten sposób przeanalizowano wpływ promie

niowania dla przykładu 5 z tablicy 1. 7/yniki otrzymane po uwzględnieniu promieniowania zestawiono w tablicy 2.

Różnice pomiędzy wynikami obu metod, jak widać z tablicy 2, maleją po uwzględnieniu wpływu promieniowania. Ilależy podkreślić, że promieniowanie powoduje w tym przypadku zwięk

szenie wymiany ciepła.

5. V/nioski końcowe

Przeprowadzone rozważania wykazały, że można obliczyć nierównomiernośc rozkładu temperatury w ściance ożebrowanęj.

Wartości temperatur ścianki i żeber różnią się wtedy dość znacznie od wartości otrzymywanych w metodzie I. Przy obli

czaniu s trumienia ciepła wpływ tych różnic częściowo anulu

je się i dlatego przy podziąłco żeber mniejszej od ok.100 mm wystarczająco dokładne wyniki daje metoda I. Sprawdzenie

temperatury ścianki dobrze jest przeprowadzić według metody II, która uwzględnia nierównomiernośó temperatury w ściance.

Ka zakończenie autor pragnie wyrazić podziękowanie prof.

dr inż. J.Szargutowi za wskazanie tematu i cenne uwagi pod

czas jego opracowywania.

Rękopis złożono w Redakcji w dniu 6.11.1963 r

(15)

Wpływ żebra na rozkład temperatury w ściance,,. 171

%

LITERATURA

[1] T. H o b 1 e r ~ Ruch ciepła i wymienniki, FiTT, 1955«

[2] M. K i c h i e g e w - Zasady wymiany ciepła, PWN, 1953 [3]M. W i e r z - Erraittlung der Temperaturverteilung in

geheizten Decken, und Pussboden, Heizung - Lüftung - Haus

technik t.4, 1953 nr 6, str. 181.

ßJM O T E PEBPA HA PA3 J 0KEIME TEMHEPATyPH 3 OPEBPEHHOil CTEHKE

P e 3 10 m e

y p aB H em ie TemiooÖM eHa H ep e3 opeöpeH H yio cT em cy BHBOÄHTCH OÖNHHO, npHHHMaH, HTO T eM IiepaT ypa CTeH- k h Meawy peöpaM K nocTOHHHaa« 3 t o H asBaH o b C T a - Tte weTOÄOM X. PoTOMy K e , h t o p e ö p o n e p e ^ a e T ö o jib - myio n a c T t KOJnrnecTBa T e m ía , b cT ein ce B H C fynaeT n e p e ^ a n a Tem ra. b HanpaBJieHHH p e ö p a , a e e T e M n ep a- T y p a HBJiHeTCH $yHKixneii p a c n o JioaceHHa p eóep. ymTHBaH 3T0T 3$(í>eKT BHBeseHo p a c n e T H tie $opMyjiH Ha p a s j i o - KeHHe T eM nepaT ypn b CTemce u Ko-nnnecTBO n e p e a a - B aeM oro T e m ía ; 3TO p e m e m ie onpe,nejieH o KaK MeTOß

II.

CpaBHeHo noJiyHeHHtie p e3y jn > T a ra . U puBe^eH

ana-

JM3 b jb íh h h h T eim ooóM eH a HCJiyneHHeM M esjty CTemcoił u peöpeM Ha noJiyneHHHe pe3yjn>TaT K .

(16)

THE INFLUENCE OF THE FIN ON THE TEMPERATURE DISTRIBUTION IN THE FINNED WALL

4

S u m m a r y

The heat transfer equations for the finned wall consider usually the case with isothermal area parallel to the sur

face of the wall. The above is called as method I in this paper. Since the great part of the heat is transfered through the fin, in the wall the heat must be conducted and there

fore the temperature distribution in the wall is different this given in the method I. Taking into consideration the fact, that in the wall the heat is conducted to the fin, the equations of heat transfer are derived. The method of this paper is called as method II. The results obtained from both methods are compared. The influence of the heat radia

tion between the wall and the fin, on obtained results, was taken into account.