Caªkuj¡c funkcj¦ f(z

‚wiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2019/20.

6. CAŠKOWANIE NA PŠASZCZY™NIE ZESPOLONEJ (cz¦±¢ 2)

1. Korzystaj¡c z twierdzenia o residuach obliczy¢ R_{C(0,2)cosh z}^z dz. 2. Korzystaj¡c z twierdzenia o residuach obliczy¢ R_C(1/2,3/2) ^tghz_z dz. 3. Korzystaj¡c z twierdzenia o residuach obliczy¢ R_C(0,8)1+e^dzzdz.

4. Obliczy¢ R_{γR 1+z}^dz10,gdzie γR jest dodatnio zorientowanym brzegiem wycinka S = {re^iϕ: r ∈ [0, R], ϕ ∈ [0,^π₅]}, gdzie R > 1. Nast¦pnie obliczy¢ R₀^∞_1+x^dx10. 5. Caªkuj¡c funkcj¦ f(z) = _1+z^eiaz2 po brzegu pólkola DR= {z ∈ C : |z| ≤ R i Imz ≥ 0}

wykaza¢, »e R_−∞^{∞ cos(ax)}_1+x² dx = πe^−a, a > 0.

6. Korzystaj¡c z metod analizy zespolonej wykaza¢, »e R₀^∞_(x2+a^2dx)(x²+b²) = _2ab(a+b)^π , a, b > 0, a 6= b.

7. Korzystaj¡c z metod analizy zespolonej wykaza¢, »e R₀^∞_(x2+x+1)^{dx 2} = ^4π

3√ 3. 8. Korzystaj¡c z metod analizy zespolonej wykaza¢, »e R₀^∞ _x^{cos xdx}2+x+1 = ^√2π

3cos(¹₂)e⁻

√3/2. 9. Obliczy¢ R_γNπ^ctg(πz)_z2 dz, gdzie γN jest brzegiem kwadratu o wierzchoªkach:

(1 + i)(N + ¹₂), (1 − i)(N + ¹₂), (−1 + i)(N + ¹₂), (−1 − i)(N + ¹₂).

Wykorzystuj¡c otrzymany wynik udowodni¢, »e P^∞_{n=1 n}¹2 = ^π₆². Wskazówka: Wykaza¢, »e: ∃C > 0 ∀N ∈ N ∀z ∈ γN |ctg(πz)| ≤ C.

10. Caªkuj¡c funkcj¦ f(w) = _{sin w(w}¹2−z²) po odpowiednio dobranym konturze wykaza¢,

»e _{sin z}¹ = ¹_z − 2zP∞ n=1

1

n²π²−z² dla z 6= kπ i k ∈ N.

11. Korzystaj¡c z metod analizy zespolonej obliczy¢ Z 2π 0

dϕ

1 + a sin ϕ, 0 < |a| < 1.

12. Wykaza¢, »e Z 2π 0

dϕ

1 + 8 cos²ϕ = 2π 3 . 13. Udowodni¢, »e R₀^∞cos(x²)dx =R∞

0 sin(x²)dx =p_π

8. 14. Wykaza¢, »e R₀^∞_1+x^{ln x}4dx = −₈^π√2₂.

1