1. Wyznacz ogólne rozwi¡zania nast¦puj¡cych równa« lub ukªadów równa« modularnych:
a) 35x + 67 = 0 (mod 78);
b) 24x = 16 (mod 40);
c)
x = 3 (mod 5) x = 5 (mod 8) x = 6 (mod 9) 2. Oblicz 3443− 5121(mod 55).
3. Stosuj¡c Chi«skie Twierdzenie o Resztach znajd¹ wszystkie rozwi¡zania x2+ x + 2 = 0 (mod 14).
Rozwi¡zania
1a. 35x = 11 (mod 78), 35−1= 29 (mod 78), x = 29 · 11 = 7 (mod 78).
1b. 24x = 16 (mod 40), NWP(24, 40) = 8 ⇒ 3x = 2 (mod 5), 3−1= 2 (mod 5), x = 4 (mod 5) x = 4 + 5k = 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39 (mod 40).
1c. M = 360, M1= 72, M2= 45, M3= 40.
Mi Mi(mod ni) Mi−1(mod ni)
x = 3 (mod 5) 72 2 3
x = 5 (mod 8) 45 5 5
x = 6 (mod 9) 40 4 7
z = 3· 72 · 3 + 5 · 45 · 5 + 6 · 40 · 7 = 3453 = 213 (mod 360).
2. 55 = 5 · 11, ϕ(5) = 4, ϕ(11) = 10.
x = 3443− 5121 (mod 5)
x = 3443− 5121 (mod 11) ⇒ x = 33− 0 (mod 5) x = 33− 5 (mod 11) St¡d
Mi Mi(mod ni) Mi−1(mod ni)
x = 2 (mod 5) 11 1 1
x = 0 (mod 11) 5 5 9
x = 2· 11 · 1 + 0 · 5 · 9 = 22 (mod 55).
3. Kongruencja jest równowa»na ukªadowi (sprawdzamy poszczególne równania na piechot¦):
x2+ x + 2 = 0 (mod 2)
x2+ x + 2 = 0 (mod 7) ⇒
Mi Mi(mod ni) Mi−1(mod ni)
x = a (mod 2) 7 1 1
x = 3 (mod 7) 2 2 4
gdzie a = 0, 1. x = a · 7 · 1 + 3 · 2 · 4 = 7a + 10 (mod 14). St¡d dla a = 0 x = 10 + 14k, natomiast dla a = 1 x = 3 + 14k.
