Przypuśćmy, że funkcja różniczkowalna f : R → R nie ma minimum lokalnego

Ćwiczenia AM II, 7.11/2016 Lokalne i globalne ekstrema funkcji Zadanie 1. Wyznaczyć zbiór wektórów stycznych do zbioru A w punkcie a

(a) A = {(x, y) : y²= x⁴− 2xy − x²}, a = (0, 0), (b) A = {(x, y) : y²¬ x³}, a = (0, 0),

(c) A = {(x, y) : x⁴− xy²− y³= 0}, a = (0, 0).

w punkcie (0, 0).

Zadanie 2. Wykazać, że funkcja (1 + e^y) cos x − ye^yma nieskończenie wiele maksimów lokalnych, chociaż nie ma żad- nego minimum lokalnego. Przypuśćmy, że funkcja różniczkowalna f : R → R nie ma minimum lokalnego.

Ile może mieć maksymalnie maksimów lokalnych?

Zadanie 3. Wykazać, że gradient funkcji 2(1 − e^2y+ x²)³− 3(1 − e^2y+ x²)²− 24 x²e^2y zeruje się w dokładnie jednym punkcie; w tym punkcie funkcja ma lokalne maksimum właściwe, chociaż funkcja jest nieograniczona z góry i z dołu. Czy istnieje funkcja różniczkowalna f : R → R o tych własnościach?

Zadanie 4. Niech f(x, y) = 6y⁵+ 15y⁴− 50y³+ 90y²+₄¹(−e^2x+ (y + 1)²(y + 3)²)². Znaleźć kresy funkcji f oraz punkty, w których funkcja ta ma lokalne ekstrema. (Sprawdzić, że fx(x, y) = −e^2x(−e^2x+(y +1)²(y +3)²), fy(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) + 2(y + 1)(y + 2)(y + 3)(−e^2x+ (y + 1)²(y + 3)²).)

Zadanie 5. Znaleźć punkty zerowanie się gradientu funkcji f i wyjaśnić, w których z nich ma ona lokalne minima, maksima, a w których nie ma lokalnego ekstremum.

(a) (D:13.11) f(x, y, z) = x²+ y²+ z²+ 2x + 4y − 6z, (b) f(x, y) = x³+ 3xy²− 15x − 12y,

(c) (D:13.11) f(x, y, z) = x³+ y²+ z²+ 12xy + 2z, (d) f(x, y, z) = x +^4y_x² +^z_y² +²_z,

(e) (D:13.11) f(x, y, z) = xy²z³(6 − x − 2y − 3z), (f) f(x, y) = 3x⁸+ 3y⁸+ 8x³y³,

(g) (D:16.11) f(x, y) = x⁵y⁷(13 − x − y), (h) f(x, y) = −x⁴+ y⁴+ 4x²y− 2y².

Zadanie 6. Która z podanych funkcji jest jednostajnie ciągła:

(a) f(x, y) = sin x + cos y na R², (b) f(x, y) = ^sin(x_x2+y^2+y₂²⁾ na R²\ {(0, 0)}, (c) f(x, y) = ^ln(x_1−x²₂^+y2)

−y² na {(x, y) : x²+ y²<1}.

Zadanie 7. Obliczyć normę (operatorową) przekształcenia liniowego (x, y) 7→ (x + y, y).

Zadanie 8. Przypuśćmy, że f : R² → R jest funkcją ciągłą taką, że dla każdego c ∈ R funkcje x 7→ f (x, c) oraz y7→ f (c, y) są jednostajnie ciągłe. Czy f musi być jednostajnie ciągła na R²?

1