Temat: Pole trójkąta. Zapiszcie wszystko w zeszycie (wzory które wykreśliłam w szkole raczej się Wam nie przydadzą,; nie przepisujcie ich do zeszytu )

Temat: Pole trójkąta.

Zapiszcie wszystko w zeszycie (wzory które wykreśliłam w szkole raczej się Wam nie przydadzą,; nie przepisujcie ich do zeszytu )

Pamiętajcie! „Wzory na pole trójkąta” możemy zastosować w KAŻDYM trójkącie, ale wzory „związki miarowe w trójkącie prostokątnym” są dedykowane TYLKO dla trójkąta PROSTOKĄTNEGO. Również wzory napisane przy trójkącie równobocznym, są tylko dla trójkąta równobocznego.

Zad 7.8/184 Zbiór

W zadaniu jest mowa o trójkącie równobocznym i jego polu – dlatego od razu patrzymy na wzory zapisane w niebieskiej ramce.

P=3

√ ³

a

√ 3

4

3 √ ^{3= a}

2

√ 3

4

4 ∙ 3 √ ^{3=4 ∙ a}

2

√ 3

4

12

√

√

a

√ 3=12 √ 3

√ ³

a²=12 /√

a= √ ¹²

a= √ 4 ∙ 3=2 √ 3

Porównując wzór na pole trójkąta równobocznego z tym ile to pole wynosi udało nam się obliczyć długość boku naszego trójkąta. Ale autor chciał abyśmy obliczyli wysokość trójkąta. Korzystamy znów z niebieskiej ramki ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

h= a √ ³

2

h= 2 √ ³ √ ³

2 h= 2 √ ^{3∙ 3}

2 h= 2 √ ⁹

2

h= √ ⁹

h=3 cm wartość szukanej wysokości trójkąta równobocznego

Zad. 7.9/185

R – promień okręgu opisanego na trójkącie r – promień okręgu wpisanego w trójkąt

a) Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o 4cm dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Możemy zapisać, że:

R=r+4 zamiast R i r podstawimy wzory z niebieskiej ramki (bo mamy trójkąt równoboczny)

2 3 h= 1

3 h+4

2

3 h− 1

3 h=4

1

3 h=4

1 3 h=4 : 1

3 h=4 ∙ 3

1 =4 ∙ 3=12

b) Mamy obliczyć pole naszego trójkąta. Zobaczcie we wzór na pole trójkąta równobocznego (w niebieskiej ramce). Co musimy mieć, żeby obliczyć pole? Długość boku a. A jedyne co teraz mamy obliczone to h=12cm. ALE! Przecież jest specjalny wzór na wysokość trójkąta równobocznego

h= a √ ³

2

a √ ³

2 =12

2∙ a √ ³

2 =2∙ 12

a √ ³⁼²⁴

√ ³

a= 24

√ ³

a= 24

√ 3 ∙ √ ³

√ 3 = 24 √ ³

√ 9 = 24 √ ³

3 =8 √ ³

Zad. 7.10 /185

Wysokość w trójkącie zawsze związana jest z bokiem, na który opada, więc żeby znaleźć długości pozostałych wysokości tego trójkąta, musimy mieć długości jego pozostałych boków. Korzystamy z Tw. Pitagorasa:

8²+15²=x² 64+225=x²

289=x² x²=289 /√

x=

√ ²⁸⁹

Zauważmy, że jeśli trójkąt ma równe ramiona, to również wysokości które opadają na te ramiona są sobie równe (dlatego podpisane są tak samo jako h). Jak policzyć te wysokości? Nie ma

przecież żadnych specjalnych wzorów dla trójkąta równoramiennego, więc korzystamy ze wzorów z pomarańczowej ramki – pasujących do każdego rodzaju trójkąta. Jedyny wzór, w którym jest używana wysokość to standardowy wzór na pole trójkąta: P=

1

2 a ∙ h

P=

1

2 16 ∙15

1 2 x ∙ h

Porównajmy te wzory ze sobą (bo pole czy z tego czy z tego wzoru wyjdzie przecież takie samo)

1

2 x ∙ h= 1

2 16 ∙ 15

1

2 17 ∙h= 1

2 16 ∙15

17

2 ∙ h= 1

2 ∙ 240

17

2 ∙ h=120

17 2 h=120: 17

2 =120 ∙ 2 17 = 120

1 ∙ 2 17 = 240

17 = 14 2 17

Praca domowa:

Zad. 7.12 /185

wskazówka: cyfry ze stosunku dwóch odcinków wpisz na rysunku z niewiadomą x; skorzystaj następnie z pierwszego wzoru z zielonej ramki (wzory tylko dla trójkąta prostokątnego); Oblicz ile wyniesie 4x oraz 9x, a następnie z tw. Pitagorasa dla dwóch małych trójkątów prostokątnych oblicz brakujące boki trójkąta

Zad 7.11

wskazówka: oblicz najpierw trzeci bok z Tw. Pitagorasa; potem skorzystaj z drugiego wzoru w zielonej ramce