S. Cąkała (Warszawa)
Sur Funieite des solutions des premier et troisieme problemes de Fourier relatifs a l’equation lineaire normale du
type parabolique dans un domaine non cylindrique
I. Soit D un domaine non cylindrique, Ьотё, de 1’espace-temps a % + 1 dimensions. La frontiere du domaine D est composóe des domaines 80 et 8 T a n dimensions, qui sont contenus dans les plans t — 0 resp.
t = T, et de la surface laterale a situóe entre ces plans.
La variable temporelle e <0, T>. Par X — (%1, ..., xn) on dósigne un point du domaine Q qu’on obtient en prenant la plus grande pro
jection sur le plan t ~ 0 de 1’intersection de D avec le plan t = const.
La surface <r, dont liquation sicrit sous la forme 0 ( X , t ) — 0, a 1’orien- tation du temps (v. [2], p. 115) relative a liquation aux dórivćes par- tielles du type parabolique:
П П
(1) V(u) = у aaf(X, t ) V'Xa+ c ( X , t ) V - V , = f ( X , <).
a,/S=l a=l
(2) La fonction G(X, t) admet dans D des derivSes seeondes qui ne sont pas necessairement bornees.
II en rósulte que les dórivóes premieres sont continues et bornóes.
De plus 8 0 et 8T admettent une orientation spatiale par rapport a liq u a tion (1). Nous supposons que la forme quadratique
П
(3) аар { X , t) Яа Яр
a,fi=1
est dófinie positive dans le domaine D pour 0 < t < T.
Liquation (1) est une ёquation normale du type parabolique. Les coefficients et la fonction/(X , t) sont dćtermńis a Pinterieur du domaine fermё D.
Enfin nous supposons que
(4) les coefficients aaP et ba sont bornes et le coefficient c( X, t) borne supórieurement.
112
Considerons les problem es suivants: dans le probleme de Fourier de pre
miere espece on cherche une solution u( X, t) de Vequation (1) reguliere dans D + E (E = $0+er), satisfaisant a la condition initiate
( 5 ) и ( Х , 0 ) = < р ( Х )
ой <p(X) est une fonetion continue pour X e S 0, et a la condition aux limites (6) u {^X. j ij — Ф |X. j ^j pour ^ А у IJ € (j у Ф etant la fonct%on continue»
Le probleme avec la condition initiale (6) et la condition aux limites (7) L(u) = - ^ - + h ( X , t ) u = g ( X , t ) , du ( X, t ) e o
est le probleme de Fourier de troisieme espece.
Pour resoudre ces problemes nous ferons encore les hypotheses sui- vantes:
Nous faisons correspondre a chaąue point (X , t) de a une demidroite l penetrant a Vinterieur de B. On admet V existence de la derivee duj dl aux points de o.
(8) g( Xj t) est une fonetion determine sur a et h( X, t) une fonetion determinee et bornee sur a\
(9) cos{l,n) > у > 0 est eontinue sur a ; П
(10) grad*e(X,t) = > 0 , xn + l = t .
a = l
II. L’unicite des solutions de ces problemes pour liquation (1) dans un domaine cylindrique a ótó etudióe par M. Krzyżański [1]. M. Krzy- żański profite de certains thóoremes de M. Picone ([2], 180) en utilisant comme diviseur amortissant h( X, t) — e- AG(x)+Bt ^ ой i et Б sont des constantes et 0{ X) — 0 est liquation de la surface o du domaine cylindrique В.
Dans cet article la discussion sera plus compliquee que dans le tra
vail [1], car elle fait intervenir la dśriyóe Gt(X,t), et de plus on у fait des hypotheses plus faibles. On suppose que les derivóes secondes ne sont pas necessairement bornńes.
. III. D ’apres la móthode de M. Krzyżański nous ócriyons:
(11) U{X, t) = v{ X, W{ X, t) = e- A<4Nt)+Bt ой A et В sont constantes.
Substituons l’expression (11) dans liquation W{u) = 0 en simpli- fiant par W( X, t ) . On obtient l’equation avec la nouvelle fonetion incon-
S. C ą k a ł a
nue v ( X, t )
a,/3=1
dG dv dG лп dG dG
—— —.<4. —— —— -\-A2v —— ----
oxp охр дха дха дхр
Г d2v dv
2 j_ в“',(Х ’ ^[дх.дхц ~ А ~дха
d*G 1 V I, Г9® . 9в 1
^ J + М Х’*> Ь +С(Х’ *>’
—Av- dv
dt
Г dG 1
Н ^ +Б]=0-
Ensuite, on a:
П a,p=1
d2v dxadxp
П
+ ^ b k( X, t ) fc=1
(fa dxk
dv
dt “Ь с (X ^ t) v = 0.
Nous n’ecrivons pas les coefficients bk, car ils n’auront aucune influence sur les resultats postórieurs.
c(X, t) dćsignera l’expression:
& iw \ JL
(12> A A = г <х > о = A ° E “ч & Л , -
” «,/3=1
» И
[ у «Ж^„+£ +c(x, «)-в.
a, (3=1 a = 1
En posant
(12a) % = £ a°e(X, t)G'XaGxp
a ,/3=1
on deduit que l’expression (12a) est Ьогпёе a cause de (2) et (4) positive a cause de l’orientation de <r;
n n
02b) a% = JT a°0<X > * ) < * ,+ £ 6°( X > W z . - G t = V ( G ) - c ( X , t)0.
a, P — 1 a=l
Dans l’operation P(G) intervienent les dórivees secondes, done l’expres
sion a2 pent etre non Ьогпёе.
Moyennant les notations (12a) et (12b), on peut ecrire la formule (12) de la maniere suivante
c(X, t) — A 2ax—A a%-\-c{X, t)—B.
D ’apres le tłieoreme I ([2], p. 180) il faut que le coefficient c ( X , t) soit nógatif. Par consequent nous avons l’inegalitś suivante:
(13) В > A 2ax— A a2-\- o{X, t)
R oczn ik i PTM — P race M atem atyczn e VII 8
114 S. C ą k a ł a
ou ax est l’expression positive. Dans le cas oil Pexpression a2 n’est pas Ъогпёе nons posons A = 0 et В — sup c( X, t ) . Si l’expres- sion a2 est Ъогпёе a gauche on peut choisir В dans Finógalitó (13) en prenant A > 0. Si a2 est Ъогпёе a droite, il faut prendre A < 0. On dćduit du tłnkneme 1 ([2], p. 180) que v ( X , t) = 0, et aussi que la seule solution de liquation у) (u) = 0 reguliere dans D et prenant une valeur nulle sur S est u = 0. L’unicite de la solution du probleme de Fourier de premiere espece est ainsi dśmontree.
TV. Pour prouver Punicitó de la solution du probleme de Fourier de troisieme espece nous utiliserons le second theoreme de M. Picone ([21, P- 180).
Posons
u( X, t) = v ( X, t ) W{X, t) (v. (10)) dans la condition homogene
L(u) — ---\-h{X. t)u = 0 .ww dl
Alors:
(14) dv , _ _ _
~jj^ + v { X , t) h (X, t) — 0 ой
(15) h ( X, t ) = —A JT G'xaC0 8(l, 0Ca) —AG't GQ8{l, Z)+.Z?cos(Z, t)-\-Jl{X, t) a = l
= —A |gradć?|cos(Z, w)+5cos(Z, t)-\-h(X, t).
II faut que Гоп ait:
c ( X , t ) < 0 et h { X , t ) < 0.
Done:
et
В > A 2ax—Aaz-\-c(X , ł)
■A |grad6r|cos(Z, w)+#cos(Z, t)-\-h(X, t) < 0.
En posant:
(15a) |gradćr|cos(Z, n) = bx
(a cause de (9) et (10) bx est positif) ces conditions prennent la forme:
(16а) В > A 2ax—Аа2 + с{Х, ł), (16b) — Ab1-\-Bco8(l, t) + h( X, t) < 0.
Etude des inegalites (16a) et (16b). Supposons que az — 4f(G) — c(X, t)G soit non Ьогпё a droite et a gauche. Admettons A = 0. Les inśgalitśs (16a) et (16b) prendront respectivement la forme:
(16'а) В > c ( X , t ) ,
(16'b) Bcos(l, t) + h{X, t) < 0.
Si nous admettons que c — sup c { X, t ) il vient В > e , c’est-a-dire
( X , l ) e D
pour g < 0 on peut prendre В > 0. Par consśquent nous aurons В > G pour G > 0,
В > 0 pour G < 0.
Lhnćgalitś (16'b) a lieu si
h ( X , t ) < —Bcos(7,t) c’est-a-dire si
(17) h ( X , t ) < - B .
Nous etudierons le cas ou les dćrivees secondes de la fonction G sont bornóes d’un seul cótó.
* Nous ёtudions d’abord le cas ой l’expression az est Ьогпёе infórieu- rement. D ’apres Pinegalitć (16a) on voit qu’on peut prendre seulement A > 0; si cos{l, t) < 0 on trouve facilement le nombre В correspondant a A. Si cos(Z, <) = 0, nous posons A = 0, В > c et nous demandons que l’on ait:
(18) K ( X , t ) < 0 .
Si cos(lу t) > 0, il у a des difficultćs avec le choix de A pour В lorsque В > 0 et satisfait Pinógalitó (16a). En posant:
ax — sup alt az = inf az, Ъг — inf bx
( X , t ) e D ( X , t ) c D { X , t ) e D
(formules (12a), (12b), (15a)), nous admettons В = A*ax—Aa%-\-c-f + e {e > 0), et en substituant ces nombres dans l’inógalitó (16b) et apres en posant aussi cos(l,i) = 1 nous ayons:
(19) A 2a1—A [ b 1-Jr a 2] JrCJr ' h ( X , t ) < Q . (On peut omettre ici le nombre s).
Le choix du nombre A est possible lorsque:
h{ X, t ) < - c + lb г + a 2f 4a j
(20)
116 S. C ą k a ł a
Pour 4tudier ce cas calculons les racines de l’expression (19). On a:
^1.2 —jji-f g2+ l /[fri + g2]2— 4gŁ (<?+&) 2 ax
Nous voyons que, si h{X, t) < — o, on prendra le nombre A dans l’inter
valle (0, A 2). Si la fonction h( X, t) verifie Pinćgalite:
g < h( X, t) < —o-f [ó-f a2]2 Шх on prendra le nombre A dans l’intervalle:
(20a) (Ax, A 2) lorsque Ьх+ а 2 > 0 .
Etudions le cas oil l’expression a2 est bornee superieurement. L’inćgalitó (16a) peut etre уёийёе quand A < 0. L’etude est analogue au cas ргё- cedent, mais alors il faut prendre les bornes superieures des nombres ctx, a2 et bx et aussi cos(l,t) = 1 . Nous admettons:
В = А 2аг—А а2-\-о, a 2 — sup a2
(.X , t ) e D
et alors, si 7i(X,t) < —c nous prenons:
Ax < A < 0.
Si Pm^galitó suivante a lieu:
[ 6 i - j - a 2] 2
(22b) — c < 7i(X, t) < — o-j--- —--- , bt — sup bx
( X , t ) € D
nous prenons le nombre A dans l’intervalle (Ax, A 2) lorsque bxĄ-a2 < 0.
L’etude du cas ou a2 est bornee superieurement et inferieurement est analogue a celle des cas prócedents pour A > 0 et A < 0. Nous aurons ainsi les theoremes suivants:
Le theoreme d’unicite de la solution du probleme de Fourier de pre
miere espece est toujours vrai sous les hypoth&ses et les conditions (1) , ( 6).
Pour le probleme de Fourier de seconde espece le theoreme est toujours vrai sous les hypotheses et les conditions (1), .. ., (10) si cos(Z, t) <
< O'. Si XP{G) n’est Ьогпёе ni supórieurement, ni inferieurement le theo
reme est vrai sous les hypotheses mentionnćes et sous la condition (17).
Dans le cas ou cos{l, t) = 0 et la fonction W{G) est Ьогпёе d’un seul со!ё, la fonction ft(X, t) doit etre nćgative. Si cos{l, t) > 0 et la fonction P{G) est Ьогпёе supćrieurement, nous avons pour h( X, t ) les conditions (20) et (20a). Dans le cas ou W(G) est bornee inferieurement, on remplace les bornes infórieures bx et a2 par leurs bornes supćrieures.
Travaux cites
[1] M. K rz y ż ań sk i, Sur Vunicite des solutions des second et troisieme problemes de Fourier relatifs a Vequation lineaire normale du type parabolique, Annal. Polon.
Math. 7 (I960), str. 201-208.
[2] M. K rz y ż ań sk i, Bównania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego I, War
szawa 1957.
