I. Motywacja, oznaczenia, zaªo»enia
Rent¡ cz¦sto nazywa si¦ dowolny strumie« pªatno±ci. Jednak dla nas rent¡ b¦dzie stru- mie« pªatno±ci polegaj¡cy na wypªacaniu pewnych sum (rat) z wcze±niej uzbieranych
±rodków lub na podstawie umowy. Prostymi przykªadami rent s¡ comiesi¦czne wypªaty wynagrodzenia, czy emerytury, typowa renta z posiadanego kapitaªu, dywidendy z po- siadania akcji, kupony z tytuªu posiadania obligacji.
W zadaniach zwi¡zanych z rentami istotne b¦d¡ nast¦puj¡ce wielko±ci i oznaczenia:
• Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS.
Jak zwykle, zakªadamy przy dalszych wzorach, »e OS = OK. Je±li tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomoc¡ stopy wzgl¦dnej.
• Okres pªatno±ci OP jest to odst¦p czasowy pomi¦dzy kolejnymi wpªatami. Jest to domy±lna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba pªatno±ci.
• Przez Ri oznaczamy wysoko±¢ i-tej raty renty. Je±li wszystkie raty s¡ równe, oznaczamy ich wysoko±¢ przez R.
• Przez Si oznaczamy warto±¢ renty po zako«czeniu i-tego okresu pªatno±ci, zaktu- alizowan¡ na moment i.
Doprecyzujmy ostatni punkt: Si to warto±¢ kapitaªu zawartego we wszystkich pªatno-
±ciach do ko«ca i-tego okresu pªatno±ci, zaktualizowana na koniec i-tego okresu pªatno-
±ci. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment warto±ci wszystkich rat renty wpªaconych do tego momentu.
Jak przy wpªatach, musimy ustali¢ dodatkowe zaªo»enia dotycz¡ce sposobu dokonywania wypªat rent. Mog¡ by¢ one dokonywane:
• z doªu, czyli na ko«cu ka»dego okresu pªatno±ci, czyli w momentach 1, 2, . . . , N − 1, N. Tak¡ sytuacj¦ oznaczaj¡ podkre±lenia danych zmiennych i oznacze« np. Sk. Jest to domy±lny sposób dokonywania pªatno±ci w strumieniu nansowym tj. je±li w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakªadamy, »e pªatno±ci s¡ z doªu.
• z góry, czyli na pocz¡tku ka»dego okresu pªatno±ci, czyli w momentach 0, 1, 2, . . . , N−
1. Tak¡ sytuacj¦ oznaczaj¡ kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. Sk. Przy okazji wpªat analizowali±my ró»ne modele kapitalizacji wkªadów: zªo»ony, prosty i polski. Dokªadnie tak samo mo»na analizowa¢ te modele w sytuacji rent. Jednak»e, z powodów wyja±nionych wcze±niej, model zªo»ony jest najbardziej sensownym modelem wyceny w przygniataj¡cej wi¦kszo±ci sytuacji, wi¦c od tej pory tylko ten model b¦dziemy analizowa¢ - zarówno w tej cz¦±ci wykªadu, jak i w kolejnych.
II. Renta czasowa - wzory
Tak jak przy wkªadach, zakªadamy, »e wypªaty rat dokonywane s¡ okresowo co okres OP, z doªu, przy zªo»onym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (je±li by tak nie byªo, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomoc¡ stopy wzgl¦dnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmian¦ dªugo±ci okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczyni¢ zmieniamy stop¦
r na stop¦ ref, tak¡, »e OSef = OKef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach b¦dziemy cz¦±ciej u»ywa¢ czynnika akumulacji q = 1 + ref.
Zauwa»my, »e wszystkie zaªo»enia s¡ dokªadnie takie jak w modelu wkªadów okresowych:
jedyn¡ ró»nic¡ jest notacja Ri zamiast Wi oraz kierunek przepªywu kapitaªu. Zatem otrzymane wzory musz¡ by¢ takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkªadów.
W szczególno±ci, je±li zaªo»ymy, »e wysoko±ci rat s¡ dowolne (R1, W2, . . . , WN), w momentach 1, 2, . . . , N, to:
Sk= R1qk−1+ R2qk−2+ . . . + . . . Rk−1q + Rk. Sk = R1qk+ R2qk−1+ . . . + . . . Rk−1q2+ Rkq.
1
Przy najcz¦stszym zaªo»eniu, »e wszystkie raty s¡ równe (R1 = R2 = . . . = RN = R), mamy:
Twierdzenie 1 (Renta, raty z doªu).
Sk = Rqk− 1 q − 1 . Twierdzenie 2 (Renta, raty z góry).
Sk = Rqqk− 1 q − 1 .
Mo»emy oblicza¢ warto±¢ aktualn¡ renty, zgodnie ze wzorem:
Twierdzenie 3 (Warto±¢ aktualna renty).
P V = SNq−N.
SN oczywi±cie oznacza SN lub SN, w zale»no±ci od kontekstu. B¦dzie to kluczowy wzór w wielu zagadnieniach zwi¡zanych z rent¡. P V mo»e by¢ cen¡, jak¡ inwestor jest gotów zapªaci¢ za pozyskanie danej renty, je±li szuka stopy zwrotu ref na okres pªatno±ci lub te»
kapitaªem pocz¡tkowym, z którego jest wypªacana renta i który ma wystarczy¢ na caªy czas jej trwania, je±li jest inwestowany wedªug warunków oprocentowania.
III. Renta wieczysta
Rent¦ o sko«czonej liczbie rat nazywamy rent¡ czasow¡. Mo»liwa te» jest próba zapla- nowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o niesko«czonej liczbie rat. Na przykªad w ten sposób mo»na zaplanowa¢ sobie wypªaty emerytury, bez zakªadania dªugo±ci »ycia na tej emeryturze. Taki format mog¡ te» przybra¢ wypªaty z niektórych inwestycji (np.
obligacji wieczystych, zwanych konsolami), a tak»e przydaje si¦ on przy fundamentalnej wycenie akcji.
Dla ustalenia uwagi, bez utraty ogólno±ci, zakªadamy, »e mamy zawsze do czynienia z tzw.
rent¡ pewn¡ - czyli wypªacan¡ niezale»nie od tego, czy odbiorca »yje i od jakichkolwiek innych okoliczno±ci.
Spróbujmy wyceni¢ warto±¢ tera¹niejsz¡ renty wieczystej P V lub, w innej interpretacji, wielko±¢ kapitaªu K z której mo»na j¡ wypªaca¢. Zaªó»my, »e rata takiej renty wynosi Rw, renta jest wypªacana z doªu i obowi¡zuje stopa procentowa r, taka, »e OS = OK = OP (w innym wypadku u»ywamy stopy wzgl¦dnej i efektywnej tak, by dopasowa¢ te okresy), a q = 1 + r.
Otrzymujemy nast¦puj¡ce wzory na warto±¢ kapitaªu K potrzebnego do wypªaty renty wieczystej w wysoko±ci Rw:
Twierdzenie 4 (Renta wieczysta, raty z doªu).
K = Rw
r . Twierdzenie 5 (Renta wieczysta, raty z góry).
K = Rwq r .
Te wzory ªatwo przeksztaªci¢ tak, by otrzyma¢ wzory na maksymaln¡ mo»liw¡ rent¦
wieczyst¡ wypªacan¡ z kapitaªu K:
Twierdzenie 6 (Maksymalna renta wieczysta z doªu).
Rw = Kr.
Twierdzenie 7 (Maksymalna renta wieczysta z góry).
Rw = Kr q .
Co ciekawe, do wzoru na maksymaln¡ rent¦ wieczyst¡ z doªu mo»na doj±¢ bez przeksztaª- ce« matematycznych, a czysto logicznie: otó», Kr s¡ to odsetki, które gromadz¡ si¦ na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu pªatno±ci. Je±li wypªacamy kwot¦ nie wi¦k- sz¡ ni» Kr, to kapitaªu wyj±ciowego nie ubywa, wi¦c mo»emy takie kwoty wypªaca¢ w niesko«czono±¢. Je±li za± wypªacamy wi¦cej, to kapitaª startowy si¦ zmniejsza, wi¦c co- raz mniejsze s¡ od niego odsetki i coraz wi¦kszy jest z ka»d¡ rat¡ ubytek kapitaªu, który stopniowo maleje do zera. Dlatego Kr jest to maksymalna wysoko±¢ renty wieczystej z doªu. Analogiczn¡ analiz¦ z dodatkiem przesuni¦cia w czasie mo»na przeprowadzi¢ dla renty wieczystej z góry.
Wspomn¦ jeszcze, »e w niektórych ¹ródªach rent¦ czasow¡ nazywa si¦ annuitetem, a wieczyst¡ perpetuitetem. Nie wymagam znajomo±ci tego nazewnictwa.
IV. Renta geometryczna
Wyobra¹my sobie, »e kto± oblicza kapitaª potrzebny mu do przej±cia na emerytur¦. Kapi- taª potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednak»e, nie chce wypªaca¢ kolejnych rat emerytury w staªej wysoko±ci: potrzebuje uwzgl¦dni¢ in acj¦, wynosz¡c¡ i w czasie OP. Dlatego ka»da kolejna rata musi by¢ 1 + i = a razy wi¦ksza.
W ten sposób kolejne raty emerytury ukªadaj¡ si¦ w ci¡g geometryczny: R, Ra, Ra2, ...
. Jakiego wzoru mo»na u»y¢ do oszacowania wielko±ci potrzebnego kapitaªu?
Zaªó»my, »e pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy:
Twierdzenie 8 (Renta geometryczna z doªu).
Sk=
(Rqkq−a−ak, q 6= a;
kRqk−1, q = a.
Twierdzenie 9 (Renta geometryczna z góry).
Sk=
(Rqqkq−a−ak, q 6= a;
kRqk, q = a.
Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie warto±ci aktualnej) prowadzimy dokªadnie tak samo jak dla renty staªej. Zauwa»my, »e renta staªa te» jest rent¡ geometryczn¡, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 si¦ zgadzaj¡, wi¦c tak naprawd¦ wystarczy zna¢ wzory na rent¦ geometryczn¡ i wzory na rent¦ staª¡ wynikaj¡ z nich natychmiast.
V. Zako«czenie renty czasowej
W porównaniu z zadaniami z wkªadów oszcz¦dno±ciowych, w zadaniach z rent czasowych mo»e pojawi¢ si¦ nowy problem - czas i sposób wymuszonego zako«czenia wypªat. O ile wpªaca¢ kapitaª na jaki± program oszcz¦dno±ciowy mo»na potencjalnie w niesko«czono±¢, to wypªaca¢ mo»na tylko wtedy, gdy jaki± kapitaª do wypªacania nam zostaje. Rozwa-
»amy zatem zadanie typu: przy danym modelu oprocentowania, na ile wypªat rent w wysoko±ci R wystarczy kapitaª K? Dodatkowo, maªo prawdopodobne, by wypªaty tej samej wysoko±ci DOKADNIE wyczerpaªy dany kapitaª, wi¦c powstaje pytanie - jakiej wysoko±ci b¦dzie ostatnia wypªata?
Wyznaczenie liczby mo»liwych wypªat renty o danej wysoko±ci jest do±¢ proste. Wystar- czy zastosowa¢ wynikaj¡ce z zale»no±ci K = SNq−N:
Twierdzenie 10. (Równanie ko«ca renty)
KqN = SN.
Pechowo, to równanie jest do±¢ podobne do równania na kapitaª uzbierany po N wpªatach:
K = SN (ale od niego si¦ ró»ni). Prawdopodobnie dlatego studenci cz¦sto je myl¡ na sprawdzianach. Wystarczy jednak pami¦ta¢, »e równania ko«ca renty u»ywamy tylko w wypadku wypªaty rent i wszystko b¦dzie dobrze.
No dobrze, u»yli±my równania ko«ca renty do obliczenia liczby rat i otrzymali±my wynik, który niemal na pewno nie jest caªkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? Otó» w tym
przypadku wynik zaokr¡glamy w dóª, gdy» okazuje si¦, »e mo»emy np. wypªaci¢ 11 rent danej wysoko±ci i jeszcze co± nam zostanie z kapitaªu, ale nie tyle, by wypªaci¢ dwunast¡
rent¦ tej samej wysoko±ci. Czyli N w praktyce b¦dzie najwi¦ksz¡ liczb¡ caªkowit¡ nie wi¦ksz¡ ni» rozwi¡zanie równania ko«ca renty.
Dygresja: w trakcie rozwi¡zywania równania ko«ca renty trzeba rozwi¡za¢ równanie wy- kªadnicze. Mo»e to by¢ niemo»liwe, gdy» wymagaªoby obliczenia logarytmu liczby ujem- nej. Taka sytuacja oznacza, »e równanie to nie ma rozwi¡zania, wi¦c renta o danej wielko±ci jest wieczysta, nie czasowa!
Zanim zastanowimy si¦, gdzie wliczy¢ kapitaª pozostaªy po N okresach pªatno±ci (oznaczmy go przez KN), policzymy, ile go zostaªo. Oczywi±cie, b¦dzie to kapitaª startowy zaktuali- zowany na moment N pomniejszony o zaktualizowan¡ na moment N warto±¢ renty:
KN = KqN − SN.
Gdy wyznaczyli±my ju» liczb¦ rent staªej wysoko±ci, mo»emy zdecydowa¢, co si¦ dzieje z reszt¡ kapitaªu. S¡ dwie mo»liwo±ci post¦powania:
• ostatnia rata zwi¦kszona - pozostaj¡cy po ostatniej racie kapitaª doliczamy do ostatniej raty, która dzi¦ki temu b¦dzie wi¦ksza ni» R. Ostatni¡ rat¡ jest rata numer N.
• ostatnia rata zmniejszana - z pozostaj¡cego po ostatniej regularnej racie ka- pitaªu tworzymy dodatkow¡ rat¦. Oczywi±cie jest ona mniejsza ni» R. Ostatni¡
rat¡ jest rata numer N + 1. Konkretne obliczanie wysoko±ci ostatniej raty zale»y od tego, czy raty s¡ spªacane z doªu, czy z góry.
Zaªó»my, »e raty s¡ spªacane z doªu i ostatnia rata ma by¢ zwi¦kszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N, a ta rata jest pªacona w momencie N. Dlatego wystarczy do niej doliczy¢ kapitaª warto±ci KN:
RN = R + KN
Zaªó»my, »e raty s¡ spªacane z doªu i ostatnia rata ma by¢ zmniejszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N + 1, a ta rata jest pªacona w momencie N + 1.
Dlatego jest ona równa warto±ci KN przesuni¦tej o jeden okres do przodu:
RN +1= KNq.
Zaªó»my, »e raty s¡ spªacane z góry i ostatnia rata ma by¢ zwi¦kszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N, a ta rata jest pªacona w momencie N − 1. Dlatego trzeba do jej zwykªej wysoko±ci R doliczy¢ pozostaj¡cy kapitaª warto±ci KN cofni¦ty w czasie o jeden okres (bo KN znajduje si¦ w momencie N):
RN = R + KNq−1
Zaªó»my, »e raty s¡ spªacane z góry i ostatnia rata ma by¢ zmniejszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N + 1, a ta rata jest pªacona w momencie N.
Dlatego jest ona po prostu równa pozostaj¡cemu kapitaªowi warto±ci KN: RN +1 = KN
VI. Stopa zwrotu renty jako inwestycji
Zaªó»my, »e w zagadnieniu zwi¡zanym z rent¡ zachodzi OS = OK = OP . Czym wªa±ci- wie w takim zadaniu jest r?
Mo»na rozwa»a¢ r jako stop¦ zwrotu inwestycji (o okresie bazowym OP ), na któr¡ wpªaci- li±my kapitaª pocz¡tkowy K, i dzi¦ki temu mo»emy wypªaca¢ z tego kapitaªu z odsetkami rent¦ o zadanej wysoko±ci.
Jednak»e, zrozumieniu lepiej sªu»y inna interpretacja: r jest IRR inwestycji (o okresie OP), w której inwestor musi wpªaci¢ P V renty dzi± by uzyska¢ prawa do przychodów w wysoko±ci kolejnych rat renty w momentach, kiedy te raty s¡ wypªacane.
Dlatego zadania dotycz¡ce obliczania kapitaªu wyj±ciowego renty mo»emy traktowa¢ jako poszukiwania ceny, któr¡ inwestor byªby skªonny zapªaci¢ za dan¡ rent¦, je±li wymaga stopy zwrotu r ze swojej inwestycji. B¦dziemy u»ywa¢ takiej interpretacji przy wycenie instrumentów nansowych daj¡cych prawo do renty (obligacji kuponowych, akcji daj¡- cych prawo do dywidend).
Z drugiej strony, próba obliczenia r (czyli IRR) z pozostaªych danych w równaniach renty prowadzi do tych samych problemów, co obliczanie IRR w innych sytuacjach - w szcze- gólno±ci konieczno±ci rozwi¡zywania równa« wielomianowych n-tego stopnia. Wyj¡tkiem s¡ renty wieczyste o staªej wysoko±ci, dla których IRR przy zadanej cenie i wysoko±ci raty jest ªatwe do obliczenia.
