relacje równoważności) mogą się pojawić w pytaniu teoretycznym

Analiza 1 - lista zagadnień teoretycznych

Ostatnie zadanie na sprawdzanie zaliczeniowym będzie się składać z jednego bardziej złożonego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło zagadnień poruszanych podczas wykładu, więc nie musi być związane z zadaniami z ćwiczeń. W szczególności, zagadnienia nieporuszane na ćwiczeniach (np. relacje równoważności) mogą się pojawić w pytaniu teoretycznym.

Żeby sprecyzować zakres wiedzy, którą Państwo koniecznie powinni znać, poniżej przedstawiam listę 28 zagadnień, które mogą się pojawić jako takie pytanie lub jedno z tych pytań z namiarami na to, gdzie w prezentacjach można znaleźć przynajmniej część odpowiedzi.

Zastrzeżenie: zadanie na sprawdzianie nie musi brzmieć dokładnie tak jak jedno z zagadnień wypi- sanych poniżej - może być sumą dwóch pytań (np. pytania 4 i 26 można połączyć w jedno ), może być fragmentem danego pytania (np. pytanie 7 prawdopodobnie nie będzie nigdy w całości na egzaminie - mogę zapytać np. tylko o zwrotność, spójność i równoważność ) lub jego lekkim przeformułowaniem (np. w pytaniu 23 zamiast „wyjaśnić związek między takimi ekstremami a pochodną dla funkcji róż- niczkowalnej” może się pojawić „sformułować warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnej”). Jednak mogę zagwarantować, że znajomość odpowiedzi na wszystkie poniższe pytania pozwoli bez problemu odpowiedzieć na każde pytanie teoretyczne, które pojawi się na egzaminie.

Nie wymagam uczenia się definicji na pamięć, zwłaszcza, że często i na prezentacjach są przed- stawione nie do końca formalnie! Jak najbardziej można na każde pytanie odpowiadać własnymi słowami, za pomocą przykładów itp., byle pokazać, że rozumie się jak najwięcej aspektów zagadnie- nia.

Oczywiście, ten spis nie oznacza, że to co nie jest zaznaczone jako odpowiedzi na pytania w wykładach, nie jest ważne. Są tam np. różne przykłady wyjaśniające zastosowania danych pojęć.

Jednak przerobienie tych pytań to dobry początek do zrozumienia materiału i zdania sprawdzianu.

Uwaga! Wzory nie są odpowiedziami na te pytania (chyba, że jest to wyraźnie w pytaniu napisane), choć do odpowiedzi mogą prowadzić - należy słownie opisać sens konkretnych pojęć, a za samo wypisanie wzorów, które z danym pojęciem się kojarzą, punktów nie będzie.

Dodatkowo, zadania te będą częścią I-IV. Informacje wstępne

1. Opisać model demograficzny Malthusa i wyjaśnić, dlaczego jego przewidywania się nie spraw- dziły? (prezentacja II, slajdy 40-43)

2. Wyjaśnić pojęcie złożenia funkcji. Czy składanie funkcji zawsze jest przemienne? Jeśli tak, udowodnić, jeśli nie, podać przykład, że tak nie musi być? (prezentacja II, slajdy 47-50)

3. Co to jest funkcja odwrotna do danej? Przy jakich założeniach istnieje? Podać przykład funkcji, która posiada funkcję odwrotną oraz funkcji, dla której funkcja odwrotna nie istnieje. (prezentacja II, slajdy 57 i 58)

4. Co to jest funkcja wypukła i funkcja wklęsła? Podać przykład funkcji, która jest wypukła w całej dziedzinie, funkcji która jest wklęsła w całej dziedzinie i funkcji, która jest w pewnym przedziale wypukła, a w innym wklęsła. (prezentacja IIa, slajdy 22-26)

5. Co to jest relacja? Podać różnice między relacją a funkcją i podać przykład relacji, która nie jest funkcją (i wyjaśnić dlaczego nie jest). (prezentacja IV, slajdy 3-5,8)

6. Objaśnić związek pomiędzy relacją preferencji konsumenta i jego funkcją użyteczności. Wyjaśnić dlaczego porównywanie wartości funkcji użyteczności różnych osób w ogólnym przypadku nie ma sensu. (prezentacja IV, slajdy 20-30, prezentacja 7 dla kapitalizacji prostej, wszystkie inne dla złożonej)

7. Co to jest relacja zwrotna, przechodnia, symetryczna, spójna, równoważności, preferencji?

Podać przykłady relacji spełniających i niespełniających tych definicji. (prezentacja IVa, slajdy 6-19 )

1. Granice funkcji

2

8. Wyjaśnić: co to jest granica/granica jednostronna funkcji w punkcie lub nieskończoności? Czy granica funkcji zawsze istnieje? Czy zawsze musi być tylko jedna? Odpowiedzi uzasadnić lub podać odpowiednie przykłady (prezentacja 1, slajdy 15-27,29-33,41-42)

9. Co to są symbole oznaczone, a co to są symbole nieoznaczone? Podać listę symboli nieozna- czonych i uzasadnić, czemu dany symbol nieoznaczony faktycznie jest nieoznaczony (prezentacja 1, slajd 53, prezentacja 1a, slajdy 3-5 i zadanie domowe ze slajdu 4)

10. Sformułować twierdzenie o symbolu [1^∞] i twierdzenie o 3 funkcjach. Podać przykłady zasto- sowania tych twierdzeń. (prezentacja 1a, slajdy 17,23,24)

2. Ciągłość

11. Co to znaczy, że funkcja jest ciągła w punkcie? Podać przykłady funkcji ciągłej i nieciągłej w zadanym punkcie. (prezentacja 2, slajdy 5-7)

12. Sformułować twierdzenia Weierstrassa i Darboux o funkcjach ciągłych. Podać przykłady wskazujące, że założenia w tych twierdzeniach są konieczne oraz wyjaśnić co najmniej jeden wniosek ekonomiczny pochodzący od jednego z tych twierdzeń (prezentacja 2, slajdy 18-24,27-29)

13. Sformułować twierdzenie Darboux. Wyjaśnić, w jaki sposób można użyć tego twierdzenia do wyznaczenia przybliżonego rozwiązania dowolnego równania o obu stronach ciągłych. (prezentacja 2, slajdy 30-33)

3. Pochodne funkcji jednej zmiennej

14. Podać definicję i interpretację geometryczną pochodnej i różniczkowalności (prezentacja 3, slajd 7,11, prezentacja 3a, slajd 3,4 )

15. Jaka jest zależność między ciągłością a różniczkowalnością? Podać wzory funkcji, które w danym punkcie są: I. ciągła i różniczkowalna; II. ciągła i nieróżniczkowalna; III. nieciągła i różnicz- kowalna; lub wyjaśnić, że takie funkcje nie istnieją (prezentacja 3, slajdy 9-10)

16. Co to jest różniczka, sformułować twierdzenie o różniczce. (prezentacja 3a, slajd 8,9 )

17. Co to jest wartość krańcowa danej funkcji? Podać przykład istotnej w ekonomii wartości krań- cowej. Sformułować interpretację ekonomiczną wartości krańcowej funkcji f zmiennej x w punkcie x₀, jeśli z obliczeń wychodzi że ta wartość jest równa y. (prezentacja 3b, slajd 4-7,10 )

18. Sformułować prawo Gossena oraz warunek matematyczny konieczny, by było ono spełnione, dla funkcji jednej oraz dwóch zmiennych. (prezentacja 3b, slajd 7-8, prezentacja 5, slajd 29, prezentacja 11a, slajd 17-18 )

19. Co to jest elastyczność danej funkcji? Podać przykład istotnej w ekonomii elastyczności.

Co to znaczy, że funkcja jest elastyczna/nieelastyczna/neutralna/sztywna/doskonale elastyczna?

Co się dzieje z przychodem ze sprzedaży danego towaru, gdy funkcja popytu od ceny jest nieela- styczna/elastyczna, a cena wzrasta/maleje? Sformułować interpretację ekonomiczną elastyczności funkcji f zmiennej x w punkcie x₀, jeśli z obliczeń wychodzi że ta wartość jest równa y. (prezentacja 3b, slajd 14-17 )

20. Sformułować regułę de L’Hospitala. Podać przykład, że założenia są istotne, by to twierdzenie działało. (prezentacja 4, slajd 3,15 )

21. Opisać (może być na przykładzie), w jaki sposób należy stosować regułę de L’Hospitala do granic typu [0⁰], [∞⁰] lub [1^∞]. (prezentacja 4, slajd 10-13 )

22. Podać twierdzenie o zależności monotoniczności funkcji od jej pochodnej. Czy jeśli funkcja jest rosnąca na przedziale (a, b) i przedziale (c, d) to jest rosnąca na sumie tych przedziałów? Odpowiedź uzasadnić lub podać kontrprzykład. (prezentacja 5, slajd 4, prezentacja II (wstęp), slajd 34 )

23. Podać definicję ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i wyjaśnić związek między takimi ekstremami a pochodną dla funkcji różniczkowalnej. Dlaczego istotne w definicji jest słowo „lokalne”? (prezentacja 5, slajd 5-8,11-12 )

24. Podać warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej rzeczywistej. Podać przykład dowodzący, że założenie o różniczkowalności jest konieczne i przykład pokazujący, że warunek konieczny nie jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum.

(prezentacja 5, slajd 8-13 )

3

25. Opisać algorytm poszukiwania wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na zada- nym przedziale. Z jakiego twierdzenia wynika istnienie takich wartości? (prezentacja 5, slajd 21, ewentualnie przykład po nim )

26. Co to jest punkt przegięcia funkcji? Opisać związek pomiędzy pochodnymi funkcji a jej wklęsłością/wypukłością oraz punktami przegięcia. Podać przykład funkcji dwukrotnie różniczko- walnej dla której warunek konieczny istnienia punktu przegięcia nie jest warunkiem wystarczającym (prezentacja 5, slajd 24-28, 35-38)

27. Podać definicje asymptoty ukośnej i asymptoty pionowej funkcji. Podać przykład pary funkcji, określonych na takim samym przedziale, o tym samym znaku pierwszej i drugiej pochodnej w danym przedziale i o różnych asymptotach na jednym z końców tego przedziału (bez obliczeń asymptot).

(prezentacja 5a, slajd 3-8, 12, ewentualnie 14-16)

28. Podać definicje asymptoty ukośnej i asymptoty pionowej funkcji. Podać twierdzenie o wyzna- czaniu równania asymptoty ukośnej. (prezentacja 5a, slajd 7-8, 12-13)