Oznaczmy symbolem F (h0; 1i) zbiór wszystkich funkcji ograniczonych okre´slonych na przedziale h0; 1i.
Zadanie 1. Okre´sli´c moc zbioru F (h0; 1i).
Zadanie 2. Sprawdzi´c, ·ze funkcja d : F (h0; 1i) F (h0; 1i) ! h0; 1) wzorem d (f; g) = sup fjf (x) g (x)j : x 2 h0; 1ig
jest metryk ¾a.
Zadanie 3. Wykaza´c, ·ze ci ¾ag (d (fn; g)) jest zbie·zny do zera wtedy i tylko wtedy gdy ci ¾ag funkcyjny (fn) jest zbie·zny jednostajnie do funkcji g.
Zadanie 4. Udowodni´c, ·ze przestrze´n metryczna (F (h0; 1i) ; d) nie jest o´srodkowa.
Wskazówka: Znale´z´c nieprzeliczalny zbiór funkcji ograniczonych takich, ·ze ka·zde dwie z nich s ¾a odleg÷e o wi ¾ecej ni·z 1.
Zadanie 5. Udowodni´c, ·ze (F (h0; 1i) ; d) jest przestrzeni ¾a zupe÷n ¾a.
Zadanie 6. Sprawdzi´c, ·ze zbiór F (h0; 1i) z dodawaniem funkcji jest grup ¾a przemienn ¾a. Jaki jest element neutralny tej grupy? Jak wygladaj ¾a elementy odwrotne?
Zadanie 7. Sprawdzi´c, ·ze zbiór F (h0; 1i) z dodawaniem funkcji i mno·ze- niem przez liczby rzeczywiste jest przestrzeni ¾a liniow ¾a.
Zadanie 8. Wykaza´c, ·ze przestrze´n (F (h0; 1i) ; +; ) jest niesko´nczenie wymiarowa.
Wskazówka: Udowodni´c, ·ze dla dowolnego sko´nczonego zbioru funkcji ist- nieje funkcja liniowo niezale·zna od nich.
Zadanie 8. Wykaza´c, ·ze funkcja k k okre´slona wzorem kfk = sup fjf (x)j : x 2 h0; 1ig jest norm ¾a w przestrzeni (F (h0; 1i) ; +; ).
Oznaczmy symbolem C (h0; 1i) zbiór wszystkich funkcji ci ¾ag÷ych okre´slonych na przedziale h0; 1i.
Zadanie 9. Wykaza´c, ·ze zbiór C (h0; 1i) nie jest g ¾estym podzbiorem przestrzeni metrycznej (F (h0; 1i) ; d).
Wskazówka: znale´z´c funkcj ¾e ograniczon ¾a f tak ¾a ·ze ·zadna funkcja ci ¾ag÷a nie nale·zy do K (f; 1).
1
Zadanie 10. Udowodni´c, ·ze (C (h0; 1i) ; +; ) jest podprzestrzeni ¾a liniow ¾a przestrzeni (F (h0; 1i) ; +; ).
Zadanie 11. Udowodni´c, ·ze (C (h0; 1i) ; d) jest przestrzeni ¾a o´srodkow ¾a.
Zadanie 12. Okre´sli´c moc zbioru C (h0; 1i).
2
