I. Poj cia wst pne. Zbiory w R, R

(1)

I. Poj cia wst pne. Zbiory w R, R

²

i R

³

Niech x i y b d punktami przestrzeni R, R² lub R³. Odległo mi dzy punktami x i y, czyli liczb y

x− gdy x,y∈R

( ) ( )

2 2

2 2 2 1

1 x y x

y− + − gdy x,y∈R²

( ) ( ) ( )

2 2

3 3 2 2 2 2 1

1 x y x y x

y− + − + − gdy x,y∈R³ b dziemy oznacza symbolem d(x,y).

Definicja Kul otwart o rodku a i promieniu r nazywamy zbiór:

{

^x ^X ^d ^x ^a ^r

}

r a

K( , )= ∈ : ( , )<

Definicja Punkt a nazywamy punktem wewn trznym zbioru A, je li A

r a

RK

r∃ ⊂

∈ ( , )

Zbiór wszystkich punktów wewn trznych zbioru A nazywamy wn trzem zbioru A i oznaczamy A^o. Definicja Zbiór A, którego ka dy punkt jest punktem wewn trznym nazywamy zbiorem otwartym. Otoczeniem punktu x0 nazywamy dowolny zbiór U(x0) otwarty i zawieraj cy punkt x0.

Definicja Niech A b dzie niepustym zbiorem. rednic zbioru A nazywamy liczb

{

^d ^x ^y ^x ^y ^A

}

A)=sup ( , ): , ∈

δ( . Zbiór A nazywamy ograniczonym, je li δ(A)<∞. W prze- ciwnym razie mówimy, e zbiór A jest nieograniczony.

Definicja Ci g

{ }

pn _n_∈_N nazywamy zbie nym do punktu p0, co oznaczamy lim p_n p₀

n =

∞

→ ,

wtedy i tylko wtedy, gdy

(

^,

)

⁰

lim ₀ =

∞

→ d p_n p

n

Twierdzenie.1.1

Ka dy ci g zbie ny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Definicja Punkt p0 nazywamy punktem skupienia zbioru A, je li istnieje ci g

{ }

pn _n_∈_N

taki, e

limp p0

A

p _n

n n N

n∀ ∈ ∧ =

∞

→

∈

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A’. Punkt p∈A\A’

nazywamy punktem izolowanym zbioru A

Definicja.. Domkni ciem zbioru A nazywamy zbiór A= A∪A'.

Definicja. Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór ^Fr⁽^A⁾⁼^A^∩

( )

^X ^\ ^A ^.

Definicja Zbiór A≠∅ nazywamy zbiorem spójnym

je li dla dowolnych niepustych zbiorów A1⊂A i A2⊂A takich, e A1∪A2=A

(

A1 ^∩A2

) (

^∪ A1^∩ A2

)

^≠∅.

(2)

Uwaga: Zbiór otwarty A⊂Rⁿ jest spójny, je li ka de dwa jego punkty mo na poł czy łaman zawart w zbiorze A.

Definicja 1.24. Zbiór otwarty i spójny nazywamy obszarem. Obszar ł cznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkni tym.

Definicja . Zbiór ^A⁼

{

⁽^x^,^y⁾^∈^R² ^:^x^∈

[ ]

^a^,^b^,^f⁽^x⁾^≤ ^y^≤^g⁽^x⁾

}

gdzie f i g s funkcjami ci głymi na [a,b] oraz spełniaj cymi warunek _{[ ]} ( ) ( )

, f x g x

b a

x∀ ≤

∈ nazywamy normalnym

wzgl dem osi OX.