Praca domowa 7. (na czwartek 19 XI) Dla przypomnienia – wzór Moivre’a: [r(cos φ + i sin φ)]

Praca domowa 7. (na czwartek 19 XI) Dla przypomnienia – wzór Moivre’a:

[r(cos φ + i sin φ)]ⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ)).

Zadanie 1. Znaleźć postać trygonometryczną liczb 1. i − 1,

2. −√ 3 − i, 3. (i − 1)(−√

3 − i).

Zadanie 2. Obliczyć (1 + i)¹⁰− (1 − i)¹⁰. (Wskazówka: łatwo to zrobić, stosując wzór Moivre’a.)

Zadanie 3. Stosując wzór Moivre’a znaleźć:

a) wzór na sin 3α oraz cos 3α (przyda się dwumian Newtona);

b) postać trygonometryczną każdego pierwiastka stopnia n z 1 oraz −1 dla dowolnego n ∈ N, n > 1.

Nowe zadanie z gwiazdką:

* Zadanie 4. Rozpatrzmy ciąg pierwszych cyfr kolejnych potęg dwójki, czyli an to pierwsza cyfra liczby 2ⁿ. Czy 7 pojawi się w ciągu an? Co będzie pojawiać się częściej: 7 czy 8?

1