Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF
5. Funkcje (ciągłość, nieciągłość)
1. Korzystając z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanych funkcji na ℝℝℝℝ a) f
( )
x =2x3−3x+5;b)
( )
1 3 2
2+
= + x x x
f ;
c) f
( )
x = x4+2; d) f( )
x =cosx;e) f
( )
x =sin2x; f) f( )
x =2−x; g) f( )
x =ex; h) f( )
x =3 x .2. Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach
a)
( )
0
0 dla ,
0
0 dla 1, 1
0 =
=
− ≠ +
=
x
x x x
x x
f
;
b)
( )
0
0 dla ,
0
0 dla 1 , 1 cos sin
0 =
=
≠
= −
x
x x x
x x x f
;
c)
( )
2
2 dla ,
1
2 dla 2 ,
2
0=
=
≠
− +
−
=
x
x x x x
x x f
;
d)
( )
0
0 dla ,
0 dla , 1 2
0 1 1
=
=
≠ +
+
=
x
x e
x e
e x f
x x
. 3. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych
przedziałach (skorzystać z twierdzenia Darboux) a) 4x =x2,
(
−1,0)
;b)
= ,1 2 , 1 1
ex x ;
c)
=
,3 , 6
ctg π π
x
x ;
d) x3+6x−2=0,
( )
0,1 ; e) 3x +5x =9,( )
1,2 ;f)
=
+ 1,1
, 0
2 ln x e
x .