WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA STABILNOŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH

(1)

Monika Miśkiewicz-Nawrocka

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach

WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA

STABILNOŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA W EKONOMICZNYCH

SZEREGACH CZASOWYCH

Wprowadzenie

Największy wykładnik Lapunowa, obok wymiaru korelacyjnego, jest jed- nym z głównych narzędzi służących do identyfikacji chaosu w układach dynamicznych. Niektórzy autorzy uznają dodatnią wartość największego wykładnika Lapunowa za warunek konieczny i wystarczający obecności chaosu w układzie (Frank, Stengos, 1988, s. 103-133). Wykładniki Lapunowa dostarczają informa- cji na temat niestabilności trajektorii układu, ponieważ mierzą średnie tempo wykładniczej rozbieżności i zbieżności trajektorii dwóch początkowo bliskich sobie punktów przestrzeni stanów układu w kolejnych iteracjach, tzw. wrażli- wość układu na zmianę warunków początkowych.

Z twierdzenia Oseledeca (1968) oraz z twierdzeń podanych w pracy Eck- mann, Ruelle (1985) wynika, że wykładniki Lapunowa istnieją dla prawie wszystkich punktów należących do przestrzeni stanów układu dynamicznego oraz że są stałe dla prawie wszystkich punktów należących do basenu przyciągania atraktora rozważanego układu (Keliher, 2002, s. 7; Zawadzki, 1996, s. 161). Jed- nakże wspomniane wyżej twierdzenia dotyczą tylko układów deterministycz- nych. Dla szeregu czasowego generowanego przez deterministyczny układ cha- otyczny twierdzenie Oseledeca gwarantuje stabilność największego wykładnika Lapunowa niezależnie od liczby obserwacji szeregu. Natomiast dla szeregu czasowego generowanego przez układ stochastyczny, wzrost liczby obserwacji w szeregu będzie powodował zmienność wartości największego wykładnika Lapunowa.

(2)

Monika Miśkiewicz-Nawrocka 102

W opracowaniu zbadano wpływ liczby obserwacji w szeregach czasowych na wartości największego wykładnika Lapunowa. Dodatkowo stabilność naj- większego wykładnika Lapunowa zbadano w szeregach poddanych procedurze redukcji szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów. Badania empiryczne przeprowadzono z wykorzystaniem rzeczywistych danych natury ekonomicznej.

Do przeprowadzenia niezbędnych obliczeń wykorzystano program napisany przez autora w języku Delhi oraz arkusz kalkulacyjny Excel.

1. Największy wykładnik Lapunowa

Dla układu dynamicznego

(

X , f

)

, w którym X ⊂R^m, f :X →X

(

m≥1

)

, wykładniki Lapunowa są zdefiniowane jako granice (Zawadzki, 1996, s. 161):

( ) (

n x

)

i m

x n _i

i n 1ln , , 1,...,

lim ₀

0 = =

∞

→ μ

λ , (1)

gdzie:

(

n, x₀

)

μ

i – wartości własne macierzy ^Df ⁿ

( )

^x₀ ^,

( )

x₀

Dfⁿ – macierz Jacobiego odwzorowania fⁿ równa

( )

x₀ Df

( )

x ₁ ... Df

( ) ( )

x₁ Df x₀

Dfⁿ = _n₋ ⋅ ⋅ ,

fn – n-krotne złożenie funkcji f,

( ) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

= ∂ x

x x f Df

j

i , f_i – składowe odwzorowania f, m

j

i, =1,2,..., .

Zgodnie z twierdzeniem Oseledeca, dla m-wymiarowego układu dynamicz- nego

(

^R^m^,^f

)

istnieje m wykładników Lapunowa spełniających warunek

+1

≥ _i

i

λ

, dla i=1,...,m−1. Największy z nich

λ

₁=

λ

_max mierzy średnie tempo zmian odległości początkowo bliskich sobie trajektorii, czyli tzw. wrażliwość układu na zmianę warunków początkowych.

W praktyce, dla rzeczywistych szeregów czasowych, gdy nie jest znana po- stać funkcji generującej f, wartość największego wykładnika Lapunowa szacuje się na podstawie zależności:

0 nλmax

n =Δ ⋅e

Δ , (2)

gdzie:

Δ0 – początkowa odległość pomiędzy dwoma początkowo bliskimi (w sensie metryki euklidesowej) punktami zrekonstruowanej przestrzeni stanów,

(3)

Wpływ redukcji szumu losowego… 103

Δn – odległość pomiędzy tymi punktami po n iteracjach,

λ

max – największy wykładnik Lapunowa.

Zaproponowany niezależnie przez Rosensteina i in. (1993, s. 117-134) oraz Kantza (1994, s. 77) algorytm szacowania wartości największego wykładnika Lapunowa jest następujący (Kantz, Schreiber, 2005, s. 69-70):

1. W zrekonstruowanej przestrzeni stanów¹ wyznaczamy najbliższych (w sensie metryki euklidesowej) sąsiadów _i^d

xj punktu x_i^d, znajdujących się od niego w odległości mniejszej niż ustalona wartość

ε

oraz spełniających warunek

t i

i− _j > , gdzie t jest liczbą naturalną².

2. Obliczamy średnie odległości wszystkich najbliższych sąsiadów od kolejnych punktów trajektorii jako funkcję upływu czasu. Uśrednioną wartość lo- garytmu odległości między trajektoriami można wyrazić wzorem:

( )

_{( )}

∑ ∑

= ∈

Δ + Δ +

Δ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= ^N

i x O x

t i t i t

id d ij

xj

O x n d N

1

ln 1 1

ε ε

, (3) gdzie:

( )

x_i

O_ε – otoczenie o promieniu

ε

wektora początkowego x_i^d,

( )

O_ε

n – liczba wektorów w otoczeniu O_ε (liczba najbliższych sąsiadów).

3. Największy wykładnik Lapunowa szacuje się jako współczynnik regresji równania:

( )

d_Δ_t =ln

( )

d₀ +

λ

Δt

ln (4)

na podstawie wykresu zależności d_Δ_t od t.

Dla szeregów chaotycznych nachylenie prostej regresji wykresu ilustrującego zależność lnΔ_n od numeru iteracji n w początkowej fazie powinno być dodatnie.

λ

max szacuje się na podstawie zbiorów punktów należących do tego obszaru. Za- tem oszacowana wartość

λ

_max zależy nie tylko od wyboru metryki, liczby najbliż- szych sąsiadów, wymiaru zanurzenia, ale także od ustalonej wartości n_max, dla której współczynnik regresji jest dodatni (Orzeszko, 2007, s. 131).

1 Wymiar zanurzenia można oszacować metodą najbliższych fałszywych sąsiadów. Zob. Kennel, Brown, Abarbanel (1992, A. 45); Cao (2001).

2 Powyższy warunek stosuje się, aby zwiększyć prawdopodobieństwo, że najbliższy sąsiad nie będzie należał do trajektorii wektora x_i^d.W praktyce zazwyczaj przyjmuje się t = 10.

(4)

Dla układów stochastycznych powyższy algorytm jest w stanie oszacować tylko lokalny największy wykładnik Lapunowa, który mierzy lokalną stabilność układu i może być zależny od długości szeregu czasowego (ilości obserwacji) i warunków początkowych. Z badań przeprowadzonych przez Fernández- -Rodriguez i in. (2004) wynika, że istnienie dodatniej wartości największego wykładnika Lapunowa nie implikuje obecności chaosu w badanym szeregu cza- sowym. Autorzy pokazali interesującą zależność pomiędzy chaotycznymi a sto- chastycznymi szeregami czasowymi. Dla szeregów czasowych generowanych przez układy deterministyczne największy wykładnik Lapunowa stabilizuje się, a w niektórych przypadkach nieznacznie wzrasta, wraz ze wzrostem długości szeregu czasowego. Natomiast dla szeregów czasowych generowanych przez układy stochatyczne wartość największego wykładnika Lapunowa zawsze wzrasta wraz ze zwiększającą się liczbą obserwacji w szeregu.

2. Redukcja szumu losowego – metoda najbliższych sąsiadów

Rzeczywisty szereg czasowy opisany za pomocą zależności (Nowiński, 2007, s. 24):

(

_t _t

)

t f x

x₊₁ = +

η

, (5)

( )

_t _t

t h x

s₊₁ = ₊₁ +

ξ

, t =0,1,2,... (6) można zapisać w skrócie w postaci addytywnej jako:

t t

t y

s = +

ε

, (7)

gdzie:

X X

f : → – odwzorowanie opisujące rzeczywistą dynamikę układu, Rm

⊂

X , X – przestrzeń stanów, x_t,x_t₊₁∈X ,

→R X

h : – funkcja pomiarowa generująca szereg czasowy obserwacji s_t układu dynamicznego,

+1

st – obserwacja szeregu czasowego w chwili t+1,

η

t – szum dynamiczny wewnątrz układu,

ξ

t – szum pomiarowy,

( )

y_t – część deterministyczna szeregu czasowego,

( ) ε

_t – część stochastyczna szeregu.

(5)

Redukcja szumu losowego pozwala na podstawie analizy szeregu obserwacji

( )

st poznać własności szeregu

( )

yt . Metoda najbliższych sąsiadów (NS) wywodzi się z teorii nieliniowych układów dynamicznych i została stworzona do prognozo- wania przyszłych wartości szeregów czasowych (Lorenz, 1969, s. 636-646), ale może być również stosowana do redukcji szumu losowego w szeregach czasowych.

W metodzie NS redukcji szumu losowego część deterministyczną

( )

y_t szeregu czasowego buduje się na podstawie najbliższych sąsiadów (w sensie metryki eukli- desowej d-wymiarowej) wektorów s_t^d zrekonstruowanej przestrzeni stanów układu dynamicznego opisanego szeregiem

( )

s_t .

Algorytm wyznaczania wartości y_n, 1<n< N szeregu czasowego

(

s₁,s₂,...,s_N

)

metodą najbliższych sąsiadów jest następujący (Kantz, Schre- iber, 2004):

1. Dla oszacowanego wymiaru zanurzenia d oraz opóźnienia czasowego

τ

=1 tworzymy wektor opóźnień w postaci:

( )

(

, ₊1,...., ₊ ₋1

)

= _t _t _t _d

d

t s s s

s , (8)

tak aby filtrowana obserwacja s_n była jedną ze środkowych współrzędnych wektora s_t^d.

2. Wyznaczamy k najbliższych sąsiadów (w sensie odległości euklidesowej) wektora s_t^d w postaci:

( ) d( ) l^d( )k l

d

l s s

s ₁, ₂ ,..., .

Często spotykanym w literaturze postulatem jest, aby liczba najbliższych są- siadów spełniała warunek 2

(

d+1

)

≤k<N −

(

d −1

) τ

(Casdagli, 1989, s. 340;

Cao, Sofio, 1999, s. 425).

3. Na podstawie wyznaczonych sąsiadów obliczamy wartość y_n jako średnią arytmetyczną pierwszych współrzędnych k najbliższych sąsiadów:

∑

( )

=

= ^k

i i l

n s

y k

1

1 . (9)

(6)

3. Badania empiryczne

Przedmiotem badania były logarytmy dziennych stóp zwrotu: kursu euro (EUR) wobec złotego, cen Żywca (ZWC) oraz indeksu giełdowego WIG20 w postaci:

ln 1

ln − ₋

= _t _t

t s s

x , (10)

gdzie s_t – obserwacja szeregu, notowane w okresie 7.01.1992-28.12.2012.

W celu zbadania stabilności największego wykładnika Lapunowa w układach dynamicznych opisanych za pomocą wyżej wymienionych szeregów czasowych pod uwagę wzięto różne długości badanych szeregów. Szczegółowe informacje dotyczące zakresu szeregów czasowych zawiera tabela 1. W ten sposób dla każ- dego z szeregów EUR, ZWC i WIG20 zbudowano po 21 szeregów o mniejszej liczbie obserwacji, ale tym samym warunku początkowym, tj. pierwszej obser- wacji. Symbolem NazwaSzeregu_BS_k oznaczono szeregi poddane dodatkowo procedurze redukcji szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów.

Tabela 1 Charakterystyka badanych szeregów czasowych

Nazwa szeregu

Zakres czasowy

Nazwa szeregu

Zakres czasowy

Nazwa szeregu

Zakres czasowy EUR_1

ZWC _1 WIG20_1

7.01.1992- 28.12.2007

EUR_8 ZWC _8 WIG20_8

7.01.1992- 30.09.2009

EUR_15 ZWC _15 WIG20_15

7.01.1992- 30.06.2011 EUR_2

ZWC _2 WIG20_2

7.01.1992- 30.06.2008

EUR_9 ZWC _9 WIG20_9

7.01.1992- 30.12.2009

EUR_16 ZWC _16 WIG20_16

7.01.1992- 30.09.2011 EUR_3

ZWC _3 WIG20_3

7.01.1992- 30.06.2008

EUR_10 ZWC _10 WIG20_10

7.01.1992- 30.03.2010

EUR_17 ZWC _17 WIG20_17

7.01.1992- 30.12.2011 EUR_4

ZWC _4 WIG20_4

7.01.1992- 30.09.2008

EUR_11 ZWC _11 WIG20_11

7.01.1992- 30.06.2010

EUR_18 ZWC _18 WIG20_18

7.01.1992- 30.03.2012 EUR_5

ZWC _5 WIG20_5

7.01.1992- 30.12.2008

EUR_12 ZWC _12 WIG20_12

7.01.1992- 30.09.2010

EUR_19 ZWC _19 WIG20_19

7.01.1992- 30.06.2012 EUR_6

ZWC _6 WIG20_6

7.01.1992- 30.03.2009

EUR_13 ZWC _13 WIG20_13

7.01.1992- 30.12.2010

EUR_20 ZWC _20 WIG20_20

7.01.1992- 30.9.2012 EUR_7

ZWC _7 WIG20_7

7.01.1992- 30.06.2009

EUR_14 ZWC _14 WIG20_14

7.01.1992- 30.03.2011

EUR_21 ZWC _21 WIG20_21

7.01.1992- 28.12.2012

W tabelach 2-4 zamieszczonych w załączniku przedstawiono szczegółowe wyniki szacowania największego wykładnika Lapunowa dla badanych szeregów czasowych. Znakiem „-” oznaczono sytuację, w której oszacowanego współczyn- nika regresji nie powinno się traktować jako największego wykładnika Lapunowa.

(7)

w w

R

w ś z b t s d z s wię w b

Rys.

wan świa znac bliż todą szer dla zera spow

N ększ bada

. 1. S

. 2. S

O nych

adc czn ższy ą na regi

tyc a. D

wod Na p

zego any

Stab

blic h s czyć ny. P ych

ajbl i ni h sz Dla

dow poni

o w ych

bilno

czon szer ć o Pod sąs liżs iepr zere szer wała

iższ wyk sze

ość n

ne regó

obe dob siad zyc rzef egó regu a zw

zych kład ereg

najw

war ów

ecn ne dów ch s filtro ów s

u W więk

h w dnik gach

więk

rtoś cza nośc

wy w NS

sąsi owa są w WIG ksz

wyk ka L

h cz

szeg

ści asow ci ch ynik

S. D adó ane więk G_2

enia Wp

kresa Lap zaso

go w

naj wyc hao ki ot Dla ów e. P ksze

0 re a w

pływ

ach pun owy

wykł

wię ch osu

trzy sze wyk o p e, je edu warto

w red

h (ry ow ych

ładni

ększ są w b yma ereg ykaz prze edn ukcj ości

dukc

ysu a w h EU

ika L

zego dod bad ano gów zały efilt nak a sz i na

cji s

unki wob UR,

Lap

o w datn dany dla w EU

y ce trow

ich zum ajwi

szum

i 1- bec , ZW

uno

wyk nie, ych a sz UR echy wan

wa mu l ięks

mu lo

3) z zw WC

wa d

kład , je h sz zere

ora y ch niu o arto

loso szeg

oso

zilu więk C i W

dla s

dnik edna

ereg egów az Z hao

osz ści owe go w

oweg

ustr ksza WIG

szer

ka L ak

gac w p ZW otyc zaco nad ego wyk

go…

row ając G 2

regów

Lapu są ch, l

prze WC s zne owa dal me kład

…

wano cej

0.

w E

w Z

uno one lecz efilt szer e w ane

są n etod dnik

o zm się

EUR

ZWC

owa e n z je trow regi

wi wy niez dą N ka L

mia ę lic

i EU

C i Z

a

λ

niew ego wan i pr ięks ykła zna NS w

Lap any

czb

UR_

ZWC

λ

max

wiel poz nych rzefi szym adni

czn w w puno

wa by o

_BS

C_BS x d lkie ziom h m filtro m s iki nie w więk owa

arto obs

S

dla a . M m j meto owa stop Lap wię ksz a.

ści serw

ana Moż est odą ane pniu pun ększ ośc

10

naj wacj

alizo że t

nie naj me u ni now ze o ci ni 07

j- ji

o- to e-

j- e- iż wa od ie

(8)

1

R

l w s b n l w

P

s w z g s n g k P z n w o 108

Rys.

lizo wzr sow burz now licz wać

Pod

szyc w e zow głob szen najw gdz kład Prze zmi na w b otyc

. 3. S

N owa rost wani zon wa c zby

ć sta

ds

W ch s kon O wany

by nie wię zie

dnik efil ienn

Po istn bada czn

Stab

Na p anie tem iu p na. D

cha ob abil

um

W op sąsi nom blic ych to

lic ększ

zwi ki L ltrow noś ods nien any nym

bilno

ods e się m lic proc

Dla arak serw liza

mow

prac iadó micz czo h sz świ czb zego

ięks Lap

wan ci n sum nie ych m ch

ość n

staw ę (z czby

ced a sz ktery

wac acji

wan

cow ów zny ne zere iadc by

o w szaj puno nie najw mow

wy sze hara

najw

wie zbie y o dury zere

yzu cji

wa

nie

wan na ych

wa egów

czy obs wyk

jąc owa

ba więk wują

ykł ereg akte

więk

dan eżno bse y re egów ują

sze arto

e

niu z wa sze arto w c yć o serw kład

dłu a za ada

ksz ąc o ładn gac erze

szeg

nyc ość) erw eduk

w E się ereg ści

zba arto ereg ści czas o ob wac dnik ugo aczy

nyc zych otrzy nicz

h f e.

M

go w

ch z ) w acji kcji EUR

już gu. J naj

adan ści gach

naj sow becn cji ka L

ość yna ch h w

ym zej finan

Mon

wykł

zam warto

i w i sz R i ż w Jed jwię

no w ora h cz ajwi wyc noś

w Lap sze ają

sze wykł ane wr nso

ika

ładni

mies ośc w ba zum WI więk dyni ęks

wpł az s zaso ięks h s ści sz uno ereg się ereg ładn e re rażl owy

Miś

ika L

zcz i na adan mu l

IG2 kszą ie d zeg

ływ stab owy szeg są d

cha zere

owa gu

sta gów nikó zult liwo ych.

śkie

Lap

zony ajw nym loso 20 w

ą zm dla go w

w re bilno

ych go doda

aosu egac a. W

obs abili w m

ów taty ości . N

wic

uno

ych więk m sz

owe wart mie sze wyk

eduk ość h.

wy atni u w ch Wyj

serw izow met

Lap y, n

i n ie m

cz-N

wa d

h na ksze zere ego

tośc enno ereg kład

kcji ć naj ykła

ie, w ba

nie jątk wac wać todą pun nale na z

moż awr

dla s

a ry ego

egu sta ci n ości gu W dnik

i sz ajwi adni nie ada e p kiem

cji, ć i ą N now ży zmi żna

rock

szer

sun wy u cz abiln najw ią s WIG ka L

zum ięks ika zna anyc pow m w mo są NS wa.

stw ianę a za

ka

regów

nku ykła zaso noś więk

spow G20 Lap

mu l szeg

La aczn

ch wodu

wyd ożn zbi sp wier ę w atem

w W

2 m adni owy ść t

ksz wod 0_B puno

loso go w apun

nie sze uje daje

a z eżn pow rdzi waru m w

WIG2

moż ika ym.

a z ego dow BS

owa

owe wyk now wię reg

st się zaob ne d wodo

ć, ż runk wnio

20 i

żna La . Ni osta o w wan

mo a.

ego kład wa

ęks gach

tabi ę by bser do p owa że n ków osk

WI

zau apun iest ała wykł ną z ożna

me dnik

λ

m

sze h, je iliza yć rwo pew ało nie w w p

ow

IG20

uwa now tety

wy ładn zwi a si

etod ka L

max

od edn acji sze owa wnej zw wsk pocz ać

0_BS

aży wa w y po yraź nika ęks ę sp

dą n Lap dla zer nak i w ereg

ać, j w więk

kaz zątk

o ic

S

yć st wra o za źnie a L szen

pod

najb pun a an ra.

zw wart g ZW

że warto

ksz zują kow

ch tabi az z asto e za apu niem dzie

bliż now nali Mo więk tośc WC wy ośc zeni ą on wyc cha i- ze o- a- u- m e-

ż- wa

i- o- k- ci C, y-

i.

ie ne ch

a-

(9)

Literatura

Cao L. (2001): Method of False Nearest Neighbors. W: Modeling and Forecasting Fi- nancial Data. Eds. A.S. Soofi, L. Cao. Kluwer, Boston.

Cao L., Soofi A. (1999): Nonlinear Deterministic Forecasting of Daily Dollar Exchange Rates. „International Journal of Forecasting”, Vol. 15, s. 421-430.

Casdagli M. (1989): Nonlinear Prediction of Chaotic Time Series. „Physica D”, Vol. 53, s. 335-356.

Eckmann J.P., Ruelle D. (1985): Ergodic Theory of Chaos and Strange Attractors.

„Reviews of Modern Physics”, Vol. 57, No. 3.

Fernández-Rodriguez F., Sosvilla-Rivero S., Andrada-Félix J. (2004): A New Test for Chaotic Dynamics Using Lyapunov Exponents. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria (maszynopis).

Frank M., Stengos T. (1988): Chaotic Dynamics in Economics Time Series. „Journal of Economic Surveys”, 2, s. 103-133.

Kantz H. (1994): A Robust Method to Estimate the Maximal Lyapunov Exponent of a Time Series. „Physical Letters A”, Vol. 185, s. 77.

Kantz H., Schreiber T. (2004): Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press (second edition).

Kelliher J. (2002): Oseledec’s Multiplicative Ergodic Theorem. http://math.ucr.edu/~

kelliher/Geometry/Lecturenotes.pdf (maszynopis).

Kelliher J. (2003): Lyapunov Exponents and Oseledec’s Multiplicative Theorem. Wor- king Dynamical Systems Seminar, UT Austin (maszynopis).

Kennel M.B., Brown P., Abarbanel H.D.I. (1992): Detecting Embedding Dimension for Phase Space Reonstruction Using a Geometrical Construction. „Physical Review”, A. 45.

Nowiński M. (2007): Nieliniowa dynamika szeregów czasowych. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław.

Orzeszko W. (2005): Identyfikacja i prognozowanie chaosu deterministycznego w eko- nomicznych szeregach czasowych. Polskie Towarzystwo Ekonomiczne, Warszawa.

Orzeszko W. (2007): Redukcja szumu losowego w chaotycznych szeregach czasowych i jej zastosowanie do analizy procesów ekonomicznych. W: Metody ilościowe w naukach ekonomicznych. Red. A. Welfe. Siódme Warsztaty Doktorskie z Zakre- su Ekonometrii i Statystyki, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa.

Oseledec V.I. (1968): A Mulitiplicative Ergodic Theorem. Lyapunov Characteristic Numbers for Dynamical System. „Trans. Moscow Math. Soc.”, 19, s. 197-231.

Rosenstein M.T., Collins J.J., De Luca C.J. (1993): A Practical Method for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets. „Physica D”, Vol. 65, s. 117-134.

Zawadzki H. (1996): Chaotyczne systemy dynamiczne. Elementy teorii i wybrane zagadnienia ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Katowicach, Katowice.

(10)

Załącznik

Tabela 2 Szacowanie największego wykładnika Lapunowa dla szeregów EUR i EUR_BS

Szereg Równanie regresji λ_max Szereg Równanie regresji λ_max

EUR_1 0,5381 1045 , 5 0016 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001642 EUR_BS_1 2=⁰^,₀⁰⁰³⁵_,₅₂₂₃ ⁵^,⁹⁷³¹

−

= R

x

y 0,003525

EUR_2

5289 , 0

1119 , 5 0015 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001549 EUR_BS_2

444 , 0

0019 , 6 0062 , 0

2=

−

= R

x

y 0,006173

EUR_3

5032 , 0

1198 , 5 0014 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001429 EUR_BS_3

4142 , 0

9919 , 5 0034 , 0

2=

−

= R

x

y 0,003335

EUR_4

4658 , 0

1563 , 5 0016 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001644 EUR_BS_4

5792 , 0

1615 , 6 0049 , 0

2=

−

= R

x

y 0,004891

EUR_5

2835 , 0

1455 , 5 0013 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001304 EUR_BS_5

3932 , 0

0206 , 6 0015 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001464

EUR_6

5403 , 0

1478 , 5 0021 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002028 EUR_BS_6

638 , 0

9858 , 5 0021 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002133

EUR_7 0,7008 1298 , 5 0032 , 0

2=

−

= R

x

y 0,003175 EUR_BS_7 2=⁰^,₀⁰⁰¹⁶_,₂₉₈₂ ⁶^,⁰⁰³⁷

−

= R

x

y 0,001564

EUR_8

3894 , 0

2115 , 5 0014 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001441 EUR_BS_8

383 , 0

247 , 6 0015 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001501

EUR_9 0,3306 2188 , 5 0013 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001321 EUR_BS_9 2=⁰^,₀⁰⁰²¹_,₆₅₄₉ ⁶^,²⁸⁸¹

−

= R

x

y 0,002070

EUR_10

312 , 0

2278 , 5 0013 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001252 EUR_BS_10

5831 , 0

2728 , 6 0022 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002234

EUR_11

265 , 0

2356 , 5 001 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001031 EUR_BS_11

4739 , 0

2079 , 6 0045 , 0

2=

−

= R

x

y 0,004484

EUR_12

7613 , 0

2261 , 5 0031 , 0

2=

−

= R

x

y 0,003095 EUR_BS_12

4739 , 0

2079 , 6 0045 , 0

2=

−

= R

x

y 0,004484

EUR_13

6702 , 0

1915 , 5 0026 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002613 EUR_BS_13

2168 , 0

1955 , 6 0026 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002562

EUR_14

4681 , 0

1184 , 5 0013 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001301 EUR_BS_14

4403 , 0

0619 , 6 002 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002033

EUR_15 0,6176 1528 , 5 0021 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002112 EUR_BS_15 2=⁰^,₀⁰⁰⁴³_,₄₈₉ ⁶^,¹⁸⁴⁴

−

= R

x

y 0,004268

EUR_16

6018 , 0

1478 , 5 002 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002023 EUR_BS_16

6984 , 0

1806 , 6 0055 , 0

2=

−

= R

x

y 0,005489

EUR_17

5766 , 0

1437 , 5 002 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002010 EUR_BS_17

6835 , 0

1952 , 6 0027 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002739

EUR_18

6303 , 0

144 , 5 0022 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002198 EUR_BS_18

2903 , 0

1741 , 6 0025 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002526

EUR_19

5342 , 0

1047 , 5 0015 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001545 EUR_BS_19

4747 , 0

0295 , 6 0014 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001433

EUR_20 2=⁰^,₀⁰⁰¹_,₄₂₀₆⁵^,⁰⁸⁷³

−

= R

x

y 0,00096 EUR_BS_20 2=⁰^,₀⁰⁰⁴⁸_,₆₇₅₈ ⁶^,¹²³⁷

−

= R

x

y 0,004828

EUR_21

4349 , 0

0837 , 5 0009 , 0

2=

−

= R

x

y 0,000895 EUR_BS_21

662 , 0

1172 , 6 0051 , 0

2=

−

= R

x

y 0,005120

(11)

Tabela 3 Szacowanie największego wykładnika Lapunowa dla szeregów ZWC i ZWC_BS

Szereg Równanie regresji λmax Szereg Równanie regresji λmax

ZWC_1 2=⁰^,₀⁰⁰³⁸_,₆₀₉₈ ³^,⁸⁴⁸⁶

−

= R

x

y 0,003786 ZWC_BS_1 2=⁰^,₀⁰⁰⁴⁶_,₃₇₇₅ ⁴^,⁹¹²⁷

−

= R

x

y 0,004569

ZWC_2

4337 , 0

8401 , 3 0022 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002186 ZWC_BS_2

3625 , 0

9095 , 4 0029 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002899

ZWC_3

4104 , 0

8378 , 3 0029 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001387 ZWC_BS_3 2=⁰^,₀⁰⁰⁰⁶_,₀₉₀₅ ⁴^,⁹¹³³

−

= R

x

y -

ZWC_4 0,3463 8377 , 3 0023 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002284 ZWC_BS_4 0,6247

9205 , 4 0035 , 0

2=

−

= R

x

y 0,003488

ZWC_5

6514 , 0

8685 , 3 0013 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001290 ZWC_BS_5

2397 , 0

0888 , 5 002 , 0

2=

−

= R

x

y 0,00196

ZWC_6

6177 , 0

862 , 3 00009 , 0

2=

−

= R

x

y 0,000854 ZWC_BS_6

2972 , 0

0759 , 5 0039 , 0

2=

−

= R

x

y 0,003868

ZWC_7 2=⁰^,₀⁰⁰³¹_,₇₃₈₃ ³^,⁸⁵²³

−

= R

x

y 0,003061 ZWC_BS_7 2=⁰^,₀⁰⁰²¹_,₀₆₂₈ ⁵^,¹³³¹

−

= R

x

y -

ZWC_8

6924 , 0

8509 , 3 0027 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002697 ZWC_BS_8

2485 , 0

0648 , 5 0015 , 0

2=

−

= R

x

y -

ZWC_9 0,7299 8557 , 3 0027 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002701 ZWC_BS_9 2=⁰₀^,⁰⁰¹⁵_,₂₇₉₆ ⁵^,⁰⁶⁰⁹

−

= R

x

y 0,001526

ZWC_10

722 , 0

8625 , 3 0026 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002604 ZWC_BS_10

3554 , 0

0505 , 5 0022 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002197

ZWC_11

7176 , 0

8684 , 3 0024 , 0

2=

−

= R

x

y 0,00244 ZWC_BS_11

3357 , 0

0835 , 5 0017 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001707

ZWC_12

6578 , 0

8737 , 3 0025 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002519 ZWC_BS_12

4266 , 0

0835 , 5 0022 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002217

ZWC_13 0,6807 8813 , 3 0026 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002606 ZWC_BS_13 2=⁰^,₀⁰⁰²¹_,₄₁₄₆ ⁵^,⁰⁷⁹¹

−

= R

x

y 0,00207

ZWC_14

6242 , 0

8842 , 3 0026 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002598 ZWC_BS_14

1754 , 0

0368 , 5 0021 , 0

2=

−

= R

x

y -

ZWC_15

6105 , 0

8875 , 3 0025 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002451 ZWC_BS_15

1797 , 0

0465 , 5 0014 , 0

2=

−

= R

x

y -

ZWC_16 2=⁰^,₀⁰⁰²⁵_,₆₅₁₄ ³^,⁸⁹⁴²

−

= R

x

y 0,002542 ZWC_BS_16 2=⁰^,₀⁰⁰⁰⁴_,₁₃₃₂ ⁵^,⁰⁶¹⁴

−

= R

x

y -

ZWC_17

5703 , 0

8948 , 3 0022 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002245 ZWC_BS_17

2723 , 0

0452 , 5 0017 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001726

ZWC_18 2=⁰^,₀⁰⁰²¹_,₅₄₁₁ ³^,⁸⁹⁹

−

= R

x

y 0,002105 ZWC_BS_18 0,3271

0453 , 5 0019 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001891

ZWC_19

5617 , 0

904 , 3 0021 , 0

2=

−

= R

x

y 0,002135 ZWC_BS_19

2526 , 0

0498 , 5 0018 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001767

ZWC_20

5436 , 0

9092 , 3 002 , 0

2=

−

= R

x

y 0,001958 ZWC_BS_20

3986 , 0

0414 , 5 0035 , 0

2=

−

= R

x

y 0,003465

ZWC_21 2=⁰^,₀⁰⁰²_,₅₅₇₂³^,⁹¹⁵⁸

−

= R

x

y 0,00196 ZWC_BS_21 2=⁰^,₀⁰⁰¹⁷_,₃₃₆₅ ⁵^,⁰⁵⁰³

−

= R

x

y 0,001706