Transformata Fouriera
zadania na kolokwium
Zad. 1. Udowodnij, że transformata Fouriera funkcji parzystej (nieparzystej) jest parzysta (nieparzysta).
Zad. 2. Udowodnij, że transformatą Fouriera funkcji parzystej jest tzw. transformata cosinusowa zdefiniowana wzorem
fˆc(ξ) = 2
Z ∞ 0
f (x) cos 2πξx dx.
Zad. 3. Udowodnij, że transformatą Fouriera funkcji nieparzystej jest tzw. transformata sinusowa zdefiniowana wzorem
fˆs(ξ) = −2i
Z ∞ 0
f (x) sin 2πξx dx.
Zad. 4. Wyznacz transformatę Fouriera funkcji
f (x) = x1I[−a,a](x)
i na podstawie wyznaczonego wzoru oblicz transformaty funkcji
f1(x) = x1I[−2π1 ,2π1 ](x), f2(x) =
x π − 1
2π
1I[0,1](x) oraz wyznacz transformaty tych transformat.
Zad. 5. Niech f ∈ L1(R1), g(x) = e2iπx. Oblicz f ∗ g.
Zad. 6. Niech u oznacza funkcję Heaviside’a. Oblicz u ∗ u.
Zad. 7. Niech
f (t) = sin 2πλt πt dla λ > 0. Wyznacz f ∗ f .
1
