Rachunek prawdopodobieństwa
5. Zbieżność szeregów niezależnych zmiennych losowych
Ćw. 5.1 Niech {Xn}n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkła- dzie jednostajnym na (−1, 1). Udowodnij, że szereg
∞
X
n=1
sin(2πXn) n jest prawie wszędzie zbieżny.
Ćw. 5.2 Niech {Xn}n∈N będzie takim ciągiem niezależnych zmiennych losowych, że P (Xn= −n4) = P (Xn= n4) = 1/n2, P (Xn= 0) = 1 − 2/n2, n 1.
Udowodnij, że szereg P∞n=1Xn jest prawie wszędzie zbieżny, a szereg wariancji zmiennych Xn jest rozbieżny.
Ćw. 5.3 Niech {Xn}n∈Nbędzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach U (−1/n, 1/n).
Udowodnij, że szereg P∞n=1Xn jest prawie wszędzie zbieżny, a szereg P∞n=1|Xn| jest prawie wszędzie rozbieżny.
Ćw. 5.4 Zbadaj zbieżność prawie wszędzie szeregu P∞n=1Xn, jeśli zmienne losowe Xn są nieza- leżne i
P (Xn= 1) = 1 − P (Xn= 0) = 1/n.