Ciąg an jest zbieżny tylko wówczas, gdy |a| &lt

1. Szeregi potęgowe, funkcja wykładnicza i logarytm

Niech będzie dana liczba a ∈ C.

1. Ciąg aⁿ jest zbieżny tylko wówczas, gdy |a| < 1 albo a = 1.

Dowód.

(i) Jeśli |a| < 1, to |aⁿ| = |a|ⁿ → 0. Czyli aⁿ→ 0.

(ii) Jeśli |a| > 1, to |aⁿ| = |a|ⁿ → ∞. Czyli aⁿ→ ∞.

(iii) Jeśli |a| = 1 i a = 1, to aⁿ = 1 → 1.

(iv) Jeśli |a| = 1 i a 6= 1, to |aⁿ⁺¹− aⁿ| = |aⁿ(a − 1)| = |aⁿ||a − 1| = |a|ⁿ|a − 1| =

|a − 1| > 0, więc aⁿ zbieżny być nie może.

 2. Szereg ^P∞_n=0aⁿ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |a| < 1.

Dowód. Jeśli a 6= 1, to

N

X

n=0

aⁿ= 1 − a^{N +1}

1 − a → 1

1 − a,

jeśli |a| < 1. Jeśli |a| ­ 1 i a 6= 1 to powyższa suma jest rozbieżna. Wreszcie, jeśli a = 1, to

N

X

n=0

aⁿ = N + 1 → ∞.

 Przykład. Rozpatrzmy a = ₂ⁱ. Mamy

N

X

n=0

i 2

n

= 1 − (₂ⁱ)^{N +1}

1 −₂ⁱ → 1

1 −₂ⁱ = 1 + ₂ⁱ

5 4

= 4 + 2i 5 .

Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci

∞

X

n=0

a_nzⁿ , a_n∈ C.

Promień zbieżności szeregu potęgowego to r = sup{x ­ 0 :

∞

X

n=0

|a_n|xⁿ < ∞}.

Promień zbieżności szeregu ^P∞_n=0a_nzⁿ jest, jak widać, równy promieniowi zbieżności szeregu^P∞_n=0|a_n|xⁿ.

3. Jeśli |z| < r, to szereg ^P∞_n=0a_nzⁿ jest zbieżny bezwzględnie. Jeśli natomiast |z| > r, to ciąg |a_n||z|ⁿ jest nieograniczony, zatem ^P∞_n=0a_nzⁿ jest rozbieżny.

1

Dowód. Pierwsza część wynika z definicji promienia zbieżności. Jeśli |z| > r i istnieje takie A < ∞, że |a_n||z|ⁿ¬ A, to dla q ∈ (r, |z|)

∞

X

n=0

|a_n|qⁿ=

∞

X

n=0

|a_n||z|ⁿ q

|z|

!n

¬

∞

X

n=0

A q

|z|

!n

= A

∞

X

n=0

q

|z|

!n

< ∞,

co daje sprzeczność z określeniem promienia. 

Często promień zbieżności szeregu potęgowego możemy obliczyć, korzystając z poniż- szych zależności:

(1) Jeśli ^qn|a_n| → α, to r = _α¹. (2) Jeśli a_n 6= 0 oraz ^|a_|a^n+1|

n| → α, to ^qn|a_n| → α.

Pamiętajmy jednak, że granice te mogą nie istnieć.

Przykład. Szereg ^P∞_n=0zⁿ ma a_n = 1. Tak więc ^qn|a_n| = 1 → 1 i r = 1. Szereg ten jest zbieżny dla z ∈ K(0, 1) i rozbieżny dla z ∈ C \ K(0, 1).

Przykład. Dla^P∞_n=1^z_nⁿ2 jest an = _n¹2. Zatem a_n+1

a_n =

 n n + 1

2

→ 1,

czyli r = 1. Szereg jest zbieżny dla |z| < 1 oraz rozbieżny dla |z| > 1. Dla |z| = 1 zachodzi

∞

X

n=0

|z|ⁿ n² =

∞

X

n=1

1

n² < ∞, tak więc w tym przypadku szereg jest zbieżny.

Twierdzenie 4. Niech ^P∞_n=1a_nzⁿ będzie szeregiem potęgowym o promieniu zbieżności r > 0. Wtedy funkcja

S(z) =

∞

X

n=1

a_nzⁿ, |z| < r, jest ciągła.

Definiujemy exp(z) = e^z =^P∞_n=0 ^z_n!ⁿ. Mamy a_n+1

a_n = n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0.

Oznacza to, że promień zbieżności r jest nieskończony, a zatem funkcja jest określona na całej płaszczyźnie z ∈ C. Funkcja exp : C → C posiada następujące własności:

(1) jest ciągła;

(2) e^u+v = e^ue^v , u, v ∈ C;

(3) e⁰ = 1;

(4) (e^z)⁻¹ = e^−z;

(5) e^z = e^x+iy = e^x(cos y + i sin y) , x, y ∈ R;

(6) jest okresowa ze zbiorem okresów postaci {2kπ}_k∈Z.

2

Dowód. (1). Ciągłość wynika wprost z twierdzenia o ciągłości szeregu potęgowego.

(2).Ta własność jest najważniejsza, bo z niej wynika wiele pozostałych. Jej dowód jednak pominiemy.

(3). e⁰ = 1 + _1!⁰ + ⁰_2!² + . . . = 1 (4). e^ze^−z = e^z+(−z) = e⁰ = 1 (5). Zauważmy, że

e^iy =

∞

X

n=0

(iy)ⁿ n! =

∞

X

k=0

(iy)^2k (2k)! +

∞

X

k=0

(iy)^2k+1 (2k + 1)!

=

∞

X

k=0

(−1)^ky^2k (2k)! + i

∞

X

k=0

(−1)^ky^2k+1 (2k + 1)!

= cos y + i sin y.

Stąd

e^x+iy = e^xe^iy= e^x(cos y + i sin y)

(6). Rozważmy z₁ = x₁+ iy₁, z₂ = x₂+ iy₂, takie że e^z1 = e^z2. Wówczas e^x1e^iy1 = e^x2e^iy2, czyli

e^x1(cos y₁+ i sin y₁) = e^x2(cos y₂ + i sin y₂).

Wynika stąd oczywiście, że x₁ = x₂ oraz cos y₁+ i sin y₁ = cos y₂+ i sin y₂, a więc

( cos y1 = cos y2

sin y₁ = sin y₂

Otrzymujemy y₁ = y₂+ 2kπ, czyli e^x1+iy1 = e^{x1+i(y1+2kπ)}. Zatem z₁ = z₂+ 2kπi.

 Wniosek 5. Dla każdego z ∈ C zachodzi e^z 6= 0.

Dowód. |e^z| = |e^x+iy| = e^x|e^iy| = e^x> 0 

Uwaga.

(1) Niech z 6= 0. Wtedy

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = e^{ln r}(cos ϕ + i sin ϕ) = e^{ln r}e^iϕ= e^{ln r+iϕ}. (2) exp(C) = C \ {0}.

Definiujemy funkcje trygonometryczne argumentu zespolonego:

sin z =

∞

X

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! , cos z =

∞

X

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ (2n)! . Mamy

e^iz = cos z + i sin z, e^−iz = cos z − i sin z,

3

skąd otrzymujemy

cos z = e^iz + e^−iz

2 , sin z = e^iz− e^−iz

2 .

Dla z = iy mamy sin iy = ^e−y_2i^−ey. Tak więc

y→∞lim sin iy → −∞, lim

y→−∞sin iy → ∞.

Widać więc, że na osi urojonej sinus jest funkcją nieograniczoną. Podobnie rzecz ma się z cosinusem.

Zauważmy też, iż zachodzi zależność sin²z + cos²z = e^iy− e^−iy

2

!2

+ e^iy+ e^−iy 2

!2

= 1 4

−e^2iy− e^−2iy+ 2 + e^2iy+ e^−2iy+ 2^= 1.

Lemat 6. Dla każdego θ ∈ (0, 2π)

N

X

n=0

sin nθ

¬ 1

sin^θ₂ oraz

N

X

n=0

cos nθ

¬ 1

sin^θ₂. Dowód.

N

X

n=0

cos nθ + i

N

X

n=0

sin nθ =

N

X

n=0

cos nθ + i sin nθ =

N

X

n=0

e^inθ = 1 − e^{i(N +1)θ} 1 − e^iθ

= e^{iN +12 θ} e^iθ2

e^{−iN +12 θ} e^−iθ2

1 − e^{i(N +1)θ}

1 − e^iθ = e^iN2θe^{−iN +12 θ}− e^{iN +12 θ}

e^−iθ2 − e^iθ2 = e^iN2θsin^{N +1}₂ θ sin^θ₂

=



cosN

2θ sinN + 1

2 θ + i sinN

2 θ sinN + 1 2 θ

 1 sin^θ₂ Tak więc

N

X

n=0

e^inθ

=

N

X

n=0

cos nθ + i sin nθ

¬ 1

sin^θ₂ i tym samym

N

X

n=0

sin nθ

¬ 1

sin^θ₂ oraz

N

X

n=0

cos nθ

¬ 1

sin^θ₂.

 Przypomnijmy

Kryterium 7 (Dirichleta). Szereg^P∞_n=0a_nb_n jest zbieżny, o ile b_n & 0 i sumy częścio- we ^PN_n=0an są wspólnie ograniczone.

4

Przykład. Pokażemy, że szereg

∞

X

n=1

(−1)ⁿz²ⁿ n

ma promień zbieżności r = 1 i jest zbieżny we wszystkich punktach okręgu |z| = 1 z wyjątkiem i oraz −i.

Zbadajmy najpierw szereg ^P∞_n=1 ^z_nⁿ, dla którego a_n= ¹_n. Mamy

|a_n+1|

|a_n| = n

n + 1 → 1,

czyli r = 1 i szereg jest zbieżny, jeśli |z| < 1. Rozważmy z, takie że |z| = 1. Możemy je zapisać jako z = e^iθ = cos θ + i sin θ, gdzie 0 ¬ θ < 2π. Wtedy

∞

X

n=1

zⁿ n =

∞

X

n=1

(e^iθ)ⁿ

n =

∞

X

n=1

e^inθ

n =

∞

X

n=1

cos nθ n + i

∞

X

n=1

sin nθ n .

Na mocy kryterium Dirichleta szereg ^P∞_n=1 ^{sin nθ}_n jest zbieżny dla każdego θ z przedziału [0, 2π), bo _n¹ & 0 oraz

N

X

n=1

sin nθ = 0 dla θ = 0 i

N

X

n=1

sin nθ

¬ 1

sin^θ₂ dla 0 < θ < 2π.

Kryterium Dirichleta zapewnia również zbieżność ^P∞_n=1 ^{cos nθ}_n dla θ ∈ (0, 2π), ponieważ dla takich θ zachodzi

N

X

n=1

cos nθ

¬ 1

sin^θ₂.

Dla θ = 0 jest ^PN_n=1cos nθ =^PN_n=11 = N → ∞, więc szereg jest rozbieżny. Stąd szereg

P∞ n=1 zⁿ

n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |z| ¬ 1 i z 6= 1.

Niech

S(z) =

∞

X

n=1

zⁿ n. Zatem

S(−z²) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿz²ⁿ n

i szereg ten jest zbieżny dokładnie, kiedy | − z²| ¬ 1 oraz −z² 6= 1, tj. wtedy gdy |z| ¬ 1 i z /∈ {−i, i}.

Przykład. Typowym przykładem na zastosowanie kryterium Leibniza zbieżności szeregu jest^P∞_n=1 ^{cos nπ}_n . Ponieważ cos nπ = (−1)ⁿ, mamy

∞

X

n=1

cos nπ

n =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n =

∞

X

n=1

(−1)ⁿb_n , b_n& 0.

Przechodzimy do definiowania argumentu i logarytmu liczby zespolonej. Niech α ∈ R.

Niech

P_α = {z = x + iy : α < y < α + 2π}, Lα = {re^iα: r ­ 0}, Ωα = C \ Lα.

5

Dla z ∈ Ω_α określamy arg_αz jako argument z z przedziału (α, α + 2π).

8. Dla z = re^iϕ∈ Ωα

arg_αz = arg_αre^iϕ = α + m

ϕ − α 2π



2π, gdzie m(x) oznacza część ułamkową liczby rzeczywistej x.

Dowód. Niech z = re^iϕ ∈ Ω_α. Dla pewnego ϕ₀ ∈ (α, α + 2π) możemy napisać z = re^iϕ= re^iϕ0,

to znaczy ϕ = ϕ0+ 2kπ. Stąd

ϕ − α

2π = k + −ϕ₀− α 2π . Jako że k ∈ Z i ^ϕ0_2π^−α ∈ [0, 1),

ϕ₀ − α 2π = m

ϕ − α 2π



, w związku z czym ϕ₀ = α + m^ϕ−α_2π ^2π i

arg_αz = arg_αre^iϕ = α + m

ϕ − α 2π



2π.

 Definiujemy log_α: Ω_α→ P_α wzorem

log_αz = ln |z| + i arg_αz.

Jak widać logarytm jest funkcją ciągłą.

9. Dla ustalonego α ∈ R

exp : Pα

1−1−→

na Ωα, oraz log_α: Ωα

1−1−→

na P_α są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

Dowód. Rzeczywiście, jeśli z = re^iϕ ∈ Ω_α, możemy przyjąć, że ϕ ∈ (α, α + 2π). Wtedy exp(log_αz) = e^logαreiϕ = e^{ln r}e^iϕ= re^iϕ = z,

tak jak chcieliśmy.

Z drugiej strony, jeśli z = x + iy ∈ P_α, to

log_α(exp z) = log_αe^x+iy= log_αe^xe^iy = ln e^x+ iy = x + iy = z,

więc wszystko się zgadza. 

6