Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181

Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 2. Rozwiązanie zadania 2.3 (b)

Opracowanie: Adrianna Banasiewicz

Zadanie 2.3

(b) Jest 10 kartek z pytaniami egzaminacyjnymi. Losuje się jedną z nich w sposób przypadkowy.

Kartka nr k zawiera najtrudniejszy zestaw pytań. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żaden z pięciu zdających nie wylosuje kartki nr k, jeśli wylosowane już kartki

1. są odkładane;

2. nie są odkładane, tzn. mogą być ponownie wylosowane.

W którym z dwu rozważanych sposobów losowania zdarzenia polegające na wylosowaniu kartki nr k przez różne osoby zdające są niezależne?

Rozwiązanie:

• Określamy przestrzeń probabilistyczną:

Oznaczmy przez k_j numer kartki wylosowanej spośród 10 kartek przez j-tą osobę, j = 1, . . . , 5.

Wtedy Ω =



(k₁, k₂, k₃, k₄, k₅), przy czym numery k₁, . . . , k₅ są różne (gdy karty są odkładane),

mogą się powtarzać (gdy karty nie są odkładane)



F = 2^Ω

P - prawdopodobieństwo klasyczne

• A_j = {wylosowanie kartki nr k przez j-tą osobę} =

= {(k₁, k₂, k₃, k₄, k₅) ∈ Ω : k_j = k}, j ∈ {1, . . . , 5}

B = {żaden ze studentów nie wylosował kartki nr k} =

= {(k₁, k₂, k₃, k₄, k₅) ∈ Ω : k_j 6= k ∀ j ∈ {1, 2, 3, 4, 5}}

• Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

Gdy karty są odkładane: Gdy karty nie są odkładane:

P (B) = 9!

(9−5)!

10!

(10−5)!

= ^9! _4! · _10! ^5! = 0.5

10⁵

=

≈ 0.59

Z powyższego wynika, że prawdopodobieństwo tego, że żaden student nie wylosuje kartki nr k, jest większe w przypadku, gdy karty nie są odkładane po ich wylosowaniu.

1

• Badanie niezależności zdarzeń A₁, A₂, A₃, A₄, A₅.

Zdarzenia A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ są niezależne ⇐⇒ ∀ n ∈ {2, .., 5} oraz ∀ różnych i₁, .., i_n ∈ {1, .., 5}

P (

n

\

s=1

A_is) =

n

Y

s=1

P (A_is) (1)

W naszym przypadku dla pojedynczego zdarzenia A_j, mamy ∀ j ∈ {1, . . . 5} :

Gdy karty są odkładane: Gdy karty nie są odkładane:

P (A_j) = 9!

(9−4)!

10!

(10−5)!

=

·

=

10⁵

=

Zauważmy, że prawdopodobieństwo wylosowania kartki nr k przez j-tą osobę jest takie samo w obu przypadkach. Sposób losowania nie wpływa na wynik.

Gdy karty są odkładane - przypuszczamy, że zdarzenia A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ nie są niezależne.

Weźmy zatem n = 2 i dowolne j 6= i. Wtedy:

A_i∩ A_j = {(k₁, k₂, k₃, k₄, k₅) ∈ Ω : k_i = k_j = k} = ∅ Zatem: P (A_i∩ A_j) = 0 6= ₁₀₀¹ = P (A_i) · P (A_j)

Czyli już dla n = 2 własność (1) nie zachodzi, więc zdarzenia w przypadku, gdy odkładamy karty po ich wylosowaniu, istotnie nie są niezależne.

Gdy karty nie są odkładane - przypuszczamy, że zdarzenia A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ są niezależne.

Istotnie, dla dowolnego n ∈ {2, 3, 4, 5} oraz dowolnych różnych i₁, ..., i_n∈ {1, 2, 3, 4, 5} zachodzi:

n

\

s=1

Ais = {(k₁, k₂, k₃, k₄, k₅) ∈ Ω : kj = k ∀ j = i₁, ..., in} i stąd

P (

n

\

s=1

A_is) = 10⁵⁻ⁿ 10⁵ = 1

10ⁿ = ( 1 10)ⁿ=

n

Y

s=1

P (A_is)

czyli spełniony jest warunek (1). Zatem zdarzenia A1, A₂, A₃, A₄, A₅ w przypadku, gdy nie odkładamy kart po ich wylosowaniu, są niezależne.

2