Wybrane zadania z analizy matematycznej
Prezentujemy przykładowe zadania z zakresu analizy matematycznej, do- tyczące funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych. Wiele innych można znaleźć np. w [1], [2].
1. Określić dziedzinę następujących funkcji i przedstawić ilustrację gra- ficzną wyznaczonych zbiorów
(a) f (x, y) = log√
9 − 4x2− y2
x − 2 , (b) f (x, y) = arc cos (x + y) arc sin x . 2. Zbadać istnienie poniższych granic
(a) lim
(x,y)→(3,4)
2 − xy x2+ y2, (b) lim
(x,y)→(1,0)
ln(x + ey)
√x2+ y2 ,
(c) lim
(x,y)→(1,0)
1 + 1 x
x+yx2
, (d) lim
(x,y)→(0,0)
xy 2x2+ y2. 3. Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie (0, 0)
f (x, y) =
( x3+y3
x2+4y2 , gdy (x, y) 6= (0, 0), 1 , gdy x = y = 0.
4. Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących funk- cji
(a) f (x, y) = 5xy2+ x
2y, (b) ϕ(u, v) = (u3+ v) ln(u2+ v2).
5. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym zbiorze D
(a) f (x, y) = x − 2y, D = {(x, y) ∈ R2 : x 0 ∧ y 0 ∧ x + y ¬ 1};
(b) f (x, y) = xy, D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ¬ 2}.
Literatura
[1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej [2] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach