23 maja 2019

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 24. – rozwiązania

23 maja 2019

1. Oblicz a) R3

2

R1

0 6xy dx dy,

Z 3 2

Z 1 0

6xy dx

 dy =

Z 3 2

3x²y|¹₀dy = Z 3

2

3y dy = 3y²/2|³₂= 27/2 − 12/2 = 15/2.

b) R3 1

R1

−2(4x³+ 6xy²) dy dx,

Z 3 1

Z 1

−2

(4x³+ 6xy²) dy

 dx =

Z 3 1

(4x³y + 2xy³)|¹₋₂dx =

= Z 3

1

(4x³+ 2x + 8x³+ 16x) dy = (3x⁴+ 9x²)|³₁= 312.

c) R1 0

Rπ

0 e^xsin y dy dx, Z 1

0

Z π 0

e^xsin y dy dx = Z 1

0

−e^xcos y|^π₀dx = Z 1

0

2e^xdx = 2e^x|¹₀= 2e − 2.

d) limn→∞R1 0

R1

0 xⁿyⁿdx dy,

n→∞lim Z 1

0

Z 1 0

xⁿyⁿdx dy = lim

n→∞

Z 1 0

xⁿyⁿ/(n + 1)|¹₀dy =

= lim

n→∞

Z 1 0

yⁿ/(n + 1) dy = lim_n→∞yⁿ⁺¹/(n + 1)²|¹₀= lim

n→∞1/(n + 1)²= 0.

e) R R

Dxy²dx dy, gdzie D to podzbiór R²pomiędzy krzywymi y = x²i y = x³. Z Z

D

xy²dx dy = Z 1

0

Z x³ x²

xy²dy dx = Z 1

0

xy³/3|^x_x³2dx =

= 1 3

Z 1 0

x¹⁰− x⁷dx = 1

3(x¹¹/11 − x⁹/9)|¹₀=1

3(1/11 − 1/9) = 2/297.

f) R R

D(6x + 2y²) dx dy, gdzie D to podzbiór R² pomiędzy krzywą y = x² i prostą x + y = 2.

Z Z

D

(6x + 2y²) dx dy = Z 1

−2

Z 2−x x²

(6x + 2y²) dy dx = Z 1

−2

(6xy + 2y³/3)|^2−x_x2 dx =

= Z 1

−2

(−2x⁶/3 − 20x³/3 − 2x²+ 4x + 16/3) dx = (−2x⁷/21 − 5x⁴/3 − 2x³/3 + 2x²+ 16x/3)|¹₋₂= 117/7.

g) R1 0

Rx³

0 e^y/xdy dx,

Z 1 0

Z x³ 0

e^y/xdy dx = Z 1

0

xe^y/x|^x₀³dx = Z 1

0



xe^x2− x

dx = (e^x(x − 1) − x²/2)¹₀= −1/2 + 1 = 1/2.

1

2. Wiedząc, że

Z ∞

−∞

e^−x2dx =√ π

oblicz a) ^√1

2π

R∞

−∞e^−x22 dx, Wtawiamy x = t√

2, czyli dt/dx = 1/√

2, mamy też t → ±∞, gdy x → ±∞, więc

√1 2π

Z ∞

−∞

e^−x22 dx =

√2

√2π Z ∞

−∞

e^−t2dt = 1.

b) ^√1

2π

R∞

−∞xe^−x22 dx,

= 0, bo funkcja jest antysymetryczna.

c) ¹

σ√ 2π

R∞

−∞x²e^−2σ2x2 dx, gdzie σ > 0.

Z a

−a

x · x · e^−2σ2x2 dx = x³e^−2σ2x2 |^a_−a+ σ² Z a

−a

e^−2σ2x2 = σ² Z a

−a

e^−2σ2x2 dx Zatem

1 σ√

2π Z ∞

−∞

x²e^−2σ2x2 dx = 1 σ√

2πσ² Z ∞

−∞

e^−2σ2x2 dx = σ

√ 2π

√

2σ²π = σ².

2