• Nie Znaleziono Wyników

2. je˙zeli u ∈ W , to −u ∈ W .

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "2. je˙zeli u ∈ W , to −u ∈ W ."

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Definicja 1. Niepusty podzbi´ or W przestrzeni wektorowej V (K) nazywamy jej podprzestrzeni¸ a gdy spe lnione s¸ a warunki

1. je˙zeli u, v ∈ W , to u + v ∈ W ; 2. je˙zeli u ∈ W, λ ∈ K, to λ · u ∈ W .

Stwierdzenie 1. Je˙zeli W jest podprzestrzeni¸ a V , to 1. θ ∈ W ;

2. je˙zeli u ∈ W , to −u ∈ W .

Wniosek 1. Podprzestrze´ n W przestrzeni wektorowej V jest przestrzeni¸ a wek- torow¸ a.

Przyk lad 1. • Niech W b¸edzie zbiorem macierzy 2×2, kt´ ore s¸ a symetryczne (oznacza to po prostu, ˙ze A T = A). W jest podprzestrzeni¸ a M 2 (R). Aby si¸ e o tym przekona´ c, wystarczy sprawdzi´ c warunki (1), (2) z poprzedniego twierdzenia. W jest oczywi´ scie niepusty (np. O 2 ∈ W ). Ponadto, je˙zeli A 1 = A T 1 , A 2 = A T 2 , to

(A 1 + A 2 ) T = A T 1 + A T 2 = A 1 + A 2 ,

a zatem je˙zeli A 1 , A 2 ∈ W , to A 1 + A 2 ∈ W . Je˙zeli A ∈ W , to (λ · A) T = λ · A T = λ · A,

czyli λ · A ∈ W.

• Zbi´ or W = {(x, x + z, z)|x, z ∈ R} jest podprzestrzeni¸a R 3 ; Rzeczywi´ scie, W 6= ∅, bo np. (0, 0, 0) ∈ W . Dla v = (v 1 , v 1 + v 3 , v 3 ), (w 1 , w 1 + w 3 , w 3 ) ∈ W mamy

v + w = (v 1 , v 1 + v 3 , v 3 ) + (w 1 , w 1 + w 3 , w 3 ) =

= (v 1 + w 1 , (v 1 + v 3 ) + (w 1 + w 3 ), v 3 + w 3 ) =

= (v 1 + w 1 , (v 1 + w 1 ) + (v 3 + w 3 ), v 3 + w 3 ) ∈ W ;

= λ · v = λ · (v 1 , v 1 + v 3 , v 3 ) =

(λ · v 1 , λ · (v 1 + v 3 ), λ · v 3 ) = (λ · v 1 , λ · v 1 + λ · v 3 , λ · v 3 )

• zbi´ or W , sk ladaj¸ acy si¸ e z macierzy nieodwracalnych stopnia 2, NIE jest podprzestrzeni¸ a M 2 (R);

• zbi´ or W = {(x, y)|x ≥ 0, y ≥ 0} NIE jest podprzestrzeni¸ a R 2 .

Definicja 2. Niech v 1 , . . . , v k b¸ ed¸ a wektorami w przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wektor v ∈ V nazywamy kombinacj¸a liniow¸a wektor´ow v 1 , . . . , v k , je˙zeli istniej¸ a skalary λ 1 , . . . , λ k ∈ K takie, ˙ze

v = λ 1 · v 1 + . . . + λ k · v k .

Skalary λ 1 , . . . , λ k nazywamy wtedy wsp´ o lczynnikami kombinacji liniowej.

(2)

Przyk lad 2. Dla V = R 3 , K = R

• wektor (1, 3, 1) jest kombinacj¸ a liniow¸ a wektor´ ow (0, 1, 2), (1, 0, −5), bo (1, 3, 1) = 3 · (0, 1, 2) + 1 · (1, 0, −5);

• wektor (1, 1, 1) jest kombinacj¸ a liniow¸ a wektor´ ow (1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 0, 1), bo np.

(1, 1, 1) = 2 · (1, 2, 3) + (−3) · (0, 1, 2) + 1 · (−1, 0, 1).

Definicja 3. Niech S = {v 1 , . . . , v k } b¸edzie podzbiorem przestrzeni wektorowej V . M´ owimy, ˙ze podzbi´ or S generuje przestrze´ n wektorow¸ a V , je˙zeli ka˙zdy wektor z V jest kombinacj¸ a liniow¸ a wektor´ ow z S.

Przyk lad 3. • zbi´ or S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} generuje R 3 , bo dowolny wektor w = (x, y, z) mo˙zna zapisa´ c w postaci

w = x · (1, 0, 0) + y · (0, 1, 0) + z · (0, 0, 1);

• zbi´ or S = {1, x, x 2 } generuje R 2 [x], bo dowolny wielomian p(x) = a + bx + cx 2 ∈ R 2 [x] mo˙zna zapisa´ c w postaci

p(x) = a · (1) + b · (x) + c · (x 2 );

• zbi´ or S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−2, 0, 1)} generuje R 3 ;

Definicja 4. Je˙zeli S = {v 1 , . . . , v k } jest podzbiorem wektor´ ow przestrzeni wek- torowej X(K), to pow lok¸a liniow¸a Lin S nazywamy zbi´or wszystkich kombinacji liniowych wektor´ ow ze zbioru S, dok ladniej

Lin S = {λ 1 · v 1 + . . . + λ k · v k |λ 1 , . . . , λ k ∈ K}.

Twierdzenie 1. Niech S = {v 1 , . . . , v k } b¸edzie podzbiorem wektor´ ow w przestrzeni wekotrowej V (K). Zbi´or Lin S jest podprzestrzeni¸a liniow¸a V .

Dow´ od. Niech v = α 1 · v 1 + . . . + α k · v k , w = β 1 · v 1 + . . . + β k · v k dla pewnych α 1 , . . . , α k , β 1 , . . . , β k ∈ K. Wtedy

v + w = (α 1 + β 1 ) · v 1 + . . . + (α k + β k ) · v k ∈ Lin S;

λ · v = (λα 1 ) · v 1 + . . . + (λα k ) · v k ∈ Lin S.

Oserwacja 1. Niech v 1 , . . . , v k b¸ ed¸ a wektorami w przestrzeni wektorowej V (K).

R´ ownanie

λ 1 · v 1 + . . . + λ k · v k = θ

ma przynajmniej jedno rozwi¸ azanie, dok ladniej λ 1 = . . . = λ k = 0.

(3)

Definicja 5 (Liniowa niezale˙zno´ s´ c wektor´ ow). Podzbi´ or wektor´ ow S = {v 1 , . . . , v k } przestrzeni wektorowej V (K) nazywamy liniowo niezale˙znym je˙zeli jedynym rozwi¸azaniem r´ ownania

λ 1 · v 1 + . . . + λ k · v k = θ

jest λ 1 = . . . = λ k = 0. M´ owimy, ˙ze zbi´ or S jest liniowo zale˙zny, je˙zeli nie jest liniowo niezale˙zny.

Oserwacja 2. Je˙zeli podzbi´ or wektor´ ow S = {v 1 , . . . , v k } jest liniowo zale˙zny, to istniej¸ a skalary λ 1 , . . . , λ k ∈ K, nie wszystkie r´owne 0, takie, ˙ze

λ 1 · v 1 + . . . + λ k · v k = θ.

W´ owczas ka˙zdy wektor spo´ sr´ od v 1 , . . . , v k , przy kt´ orym wsp´ o lczynnik w kombi- nacji λ 1 · v 1 + . . . + λ k · v k jest niezerowy daje si¸ e przedstawi´ c jako kombinacja liniowa pozosta lych wektor´ ow. Za l´ o˙zmy np., ˙ze λ 1 6= 0. Wtedy

v 1 = −(λ −1 1 λ 2 ) · v 2 − . . . − (λ −1 1 λ k ) · v k . Powy˙zsza obserwacja daje nam nast¸ epuj¸ ace stwierdzenie

Stwierdzenie 2. Zbi´ or S = {v 1 , . . . , v k }, k ≥ 2, jest liniowo zale˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektor´ ow v 1 , . . . , v k jest warto´ sci¸ a kombi- nacji liniowej pozosta lych.

Przyk lad 4. • zbi´ or S = {(1, 2), (2, 4)} ⊂ R 2 jest liniowo zale˙zny, bo (2, 4) = 2 · (1, 2);

• zbi´ or S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−2, 0, 1)} ⊂ R 3 jest liniowo niezale˙zny;

• podzbi´ or S = {1 + x − 2x 2 , 2 + 5x − x 2 , x + x 2 } ⊂ R 2 [x] jest liniowo zale˙zny.

0.1 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

Definicja 6. Zbi´ or wektor´ ow S = {v 1 , . . . , v k } przestrzeni wekotorowej V nazy- wamy baz¸ a tej przestrzeni, je˙zeli

1. S generuje V ;

2. S jest liniowo niezale˙zny.

Uwaga 1. Z powy˙zszej definicji wcale nie wynika, ˙ze ka˙zda przestrze´ n wek-

torowa posiada baz¸ e z lo˙zon¸ a ze sko´ nczonej liczby element´ ow. Przestrze´ n wek-

torow¸ a, kt´ ora ma tak¸ a baz¸ e nazywamy sko´ nczenie wymiarow¸ a (w przeciwnym

przypadku m´ owimy o przestrzeni niesko´ nczenie wymiarowej). Co istotne, w

naszym wyk ladzie interesowa´ c nas b¸ ed¸ a zawsze przestrzenie sko´ nczenie wymi-

arowe.

(4)

Przyk lad 5. • zbi´ or = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} jest baz¸ a R 3 (baza ta nazywana jest standardow¸ a); bardziej og´ olnie wektory

e 1 = (1, 0, . . . , 0), e 2 = (0, 1, . . . , 0),

.. .

e n = (0, 0, . . . , 1) tworz¸ a baz¸ e R n .

• S = {(1, 1), (1, −1)} jest niestandardow¸ a baz¸ a R 2 ;

• S = {1, x, x 2 } jest baz¸ a R 2 [x];

• S =

 1 0 0 0

 ,

 0 1 0 0

 ,

 0 0 1 0

 ,

 0 0 0 1



jest baz¸ a M 2 (R).

Twierdzenie 2. Niech S = {v 1 , . . . , v k } b¸edzie baz¸ a przestrzeni wektorowej V (K). Ka˙zdy wektor przestrzeni V mo˙zna zapisa´c tylko w jeden spos´ob jako warto´ s´ c kombinacji liniowej wektor´ ow v 1 , . . . , v k .

Dow´ od. Poniewa˙z S stanowi baz¸ e V , to dowolny wektor v ∈ V jest warto´ sci¸ a kombinacj¸ a liniowej wektor´ ow v 1 , . . . , v k , tzn. istniej¸ a α 1 , . . . , α k ∈ K takie, ˙ze

v = α 1 · v 1 + . . . + α k · v k .

Dla pokazania jednoznaczno´ sci takiego przedstawienia, przypu´ s´ cmy, ˙ze v daje si¸ e zapisa´ c jako warto´ s´ c kombinacji liniowej wektor´ ow v 1 , . . . , v k na jeszcze jeden spos´ ob, powiedzmy

v = β 1 · v 1 + . . . + β k · v k . Wtedy

v − v = (α 1 − β 1 ) · v 1 + . . . + (α k − β k ) · v k .

Poniewa˙z S jest liniowo niezale˙zny, to α 1 − β 1 = 0, . . . , α k − β k = 0, a to oznacza, ˙ze α 1 = β 1 , . . . , α k = β k .

Twierdzenie 3. Je˙zeli przestrze´ n wektorowa V ma baz¸ e sk ladaj¸ ac¸ a si¸ e z n wektor´ ow, to ka˙zda inna baza tej przestrzeni ma r´ ownie˙z n wektor´ ow.

Przyk lad 6. Zbi´ or S = {(3, 2, 1), (7, −1, 4)} nie mo˙ze by´ c baz¸ a R 3 , zbi´ or S 0 = {x + 2, x 2 , x 3 − 1, 3x + 1, x 2 − 2x + 3} nie jest baz¸ a R 3 [x].

Definicja 7. Je˙zeli przestrze´ n wektorowa V ma baz¸ e sk ladaj¸ ac¸ a si¸ e z n wek- tor´ ow, to liczb¸ e n nazywamy wymiarem przestrzeni wektorowej V i piszemy

dim V = n.

Przyk lad 7. • dim R n = n;

(5)

• dim R n [x] = n + 1;

• dim M m×n (R) = m · n.

Definicja 8. Niech = {v 1 , . . . , v n } b¸edzie baz¸ a uporz¸ adkowan¸ a przestrzeni wek- torowej V , za´ s x wektorem w V takim, ˙ze

x = λ 1 v 1 , . . . , λ n v n .

Skalary λ 1 , . . . , λ n nazywamy wsp´ o lrz¸ ednymi wektora x w bazie B i piszemy x = [λ 1 , . . . , λ n ] B .

Przyk lad 8. • Dla wektora x = (1, 2, −1) ∈ R 3 oraz bazy B = {(1, 0, 1, ), (0, −1, 2), (2, 3, −5)}

mamy x = [5, −8, −2] B .

• Dla wektora y = 3x 2 − x + 14 ∈ R 2 [x] oraz bazy B = {x 2 , x, 1}, mamy y = [3, −1, 14] B .

• Dla wektora x =

 3 7 2 1



∈ M 2 (R) oraz bazy B =

 1 0 0 0

 ,

 0 1 0 0

 ,

 0 0 1 0

 ,

 0 0 0 1



przestrzeni M 2 (R), mamy x = [3, 7, 2, 1] B .

Definicja 9. Niech B = {e 1 , e 2 , . . . , e n } i B 0 = {g 1 , g 2 , . . . , g n } b¸ed¸ a dwiema uporz¸ adkowanymi bazami n-wymiarowej przestrzeni V (K). Je˙zeli

g 1 = λ 11 e 1 + λ 21 e 2 + . . . + λ n1 e n

g 2 = λ 12 e 1 + λ 22 e 2 + . . . + λ n2 e n

.. .

g n = λ 1n e 1 + λ 2n e 2 + . . . + λ nn e n , to macierz

P BB

0

=

λ 11 λ 12 . . . λ 1n

λ 21 λ 22 . . . λ 2n

. . . . . . . . . . . . λ n1 λ n2 . . . λ nn

 nazywamy macierz¸ a przej´ scia z bazy B do B 0 .

Przyk lad 9. B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, B 0 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

s¸ a bazami R 3 . Znajdziemy macierz przej´ scia z bazy B do bazy B 0 . (1, 0, 0) = 0 · (1, 1, 1) + 0 · (1, 1, 0) + 1 · (1, 0, 0), (0, 1, 0) = 0 · (1, 1, 1) + 1 · (1, 1, 0) + (−1) · (1, 0, 0), (0, 0, 1) = 1 · (1, 1, 1) + (−1) · (1, 1, 0) + 0 · (1, 0, 0), czyli

P BB

0

=

0 0 1

0 1 −1

1 −1 0

 .

(6)

Twierdzenie 4. Je˙zeli P BB

0

jest macierz¸ a przej´ scia z bazy B do bazy B 0 przestrzeni wektorowej V , to dla x = [c 1 , . . . , c 2 ] B = [c 0 1 , . . . , c 0 2 ] B

0

∈ V mamy

• [c 1 , . . . , c n ] T B = P BB

0

[c 0 1 , . . . , c 0 2 ] T B

0

;

• [c 0 1 , . . . , c 0 n ] T B = P BB −1

0

= [c 1 , . . . , c 2 ] T B .

Przyk lad 10. Wektor x = (2, 2, 1) ∈ R 3 posiada w bazach B, B 0 z ostatniego przyk ladu wsp´ o lrz¸ edne

x = [1, 1, 0] B = [2, 2, 1] B

0

. Z drugiej strony

P BB

0

=

0 0 1

0 1 −1

1 −1 0

 ·

 2 2 1

 =

 1 1 0

 .

Cytaty

Powiązane dokumenty

Strony ustalają, że równoznacznym z zachowaniem terminu zakończenia robót jest złożenie przez Wykonawcę w tym samym czasie pisemnego zgłoszenia gotowości do

Strony ustalają, że równoznacznym z zachowaniem terminu zakończenia robót jest złożenie przez Wykonawcę w tym samym czasie pisemnego zgłoszenia gotowości do

Asymptotyczna teoria testowania hipotez: graniczne rozk lady statystyk testowych, asympto- tyczna efektywno´s´c test´ow,

Zbi´or warto´sci przyjmowanych przez zmienn¸a losow¸a typu skokowego mo˙ze by´c

(c) Calculate the number of members of the fitness club who attend neither the aerobics course (A) nor the yoga course (Y). In a research project on the relation between the gender

[r]

Dowolna permutacja ze zbioru S n albo jest cyklem, albo daje si¸ e przedstawi´ c jako iloczyn cykli roz l¸ acznych.. Dodatkowo, dwa przedstawienia danej permutacji w postaci

Zamiast oblicza´ c go od razu wprost z definicji, poszukuj¸ ac najwi¸ ekszego nieze- rowego minora, mo˙zemy po prostu przekszta lca´ c macierz bez zmiany rz¸ edu do takiej postaci,