Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Geometria analityczna – układy współrz˛ednych Instytut Matematyki
Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych
Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach
CWICZENIA ´
przekształcenia układu współrz ˛ednych, uko´snok ˛atny układ współrz ˛ednych, inne układy współrz ˛ednych
(wersja: 19 lutego 2021)
Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore-˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.
Zakres materiału
1. Wyprowadzenie wzoru na odległo´s´c punktu od pocz ˛atnu układu współrz ˛ednych w uko´snok ˛at- nym układzie współrz ˛ednych;
2. Obliczanie odległo´sci mi ˛edzy punktami w uko´snok ˛atnym układzie współrz ˛ednych;
3. Wyprowadzenie zwi ˛azków mi ˛edzy współrz ˛ednymi prostok ˛atnymi a współrz ˛ednymi biegunowy- mi, sferycznymi i walcowymi;
4. Zamiana współrz ˛ednych mi ˛edzy powy ˙zszymi typami układów współrz ˛ednych.
5. Obliczanie odległo´sci mi ˛edzy punktami w biegunowym układzie współrz ˛ednych;
6. Obliczanie współrz ˛ednych punktu po przesuni ˛eciu równoległym układu współrz ˛ednych;
7. Obliczanie współrz ˛ednych punktu po obrocie punktu lub układu współrz ˛ednych dokoła pocz ˛at- ku układu współrz ˛ednych;
Zadania
1. W prostok ˛atnym układzie współrz ˛ednych xOy dany jest punkt P = (x, y). Znale´z´c współrz ˛ed- ne tego punktu w układzie współrz ˛ednych powstałym z układu xOy przez przesuni ˛ecie jego pocz ˛atku do punktu o współrz ˛ednych(h, k).
2. Dany jest punkt P= (0, 3)w prostok ˛atnym układzie współrz ˛ednych. Znale´z´c współrz ˛edne punk- tu P w układzie współrz ˛ednych powstałym przez przesuni ˛ecie pocz ˛atku układu współrz ˛ednych do punktu(4,−5).
3. Punkt P ma współrz ˛edne (−4, 3) w prostok ˛atnym układzie współrz ˛ednych x0O0y0, powstałym z układu xOy poprzez przesuni ˛ecie pocz ˛atku układu współrz ˛ednych do punktu (2, 3). Znale´z´c współrz ˛edne punktu P w nieprzesuni ˛etym układzie.
4. Pewien punkt ma w układzie współrz ˛ednych Oxy współrz ˛edne A(2,−3), a w układzie O0x0y0, który powstał z układu Oxy przez przesuni ˛ecie równoległe, ma współrz ˛edne A0(−3,−4). Znale´z´c współrz ˛edne(a, b)punktu O0 w układzie Oxy.
5. Punkt P(x0, y0) obrócono dokoła pocz ˛atku układu współrz ˛ednych o k ˛at α. Znale´z´c jego współ- rz ˛edne po obrocie.
6. Mi ˛edzy współrz ˛ednymi x, y pewnego punktu zachodzi zwi ˛azek x2−y2 =2. Jaki zwi ˛azek zacho- dzi mi ˛edzy współrz ˛ednymi tego samego punktu wzgl ˛edem układu powstałego z danego przez obrót o k ˛at−45◦?
7. Mi ˛edzy współrz ˛ednymi x, y pewnego punktu w układzie Oxy zachodzi zwi ˛azek x2+3y2+2x− 12y+12=0. Jaki zwi ˛azek zachodzi mi ˛edzy współrz ˛ednymi tego punktu, gdy układ przesuniemy równolegle do punktu(−1, 2)?
8. Układ współrz ˛ednych Oxy przesuni ˛eto do punktu (a, b) i nast ˛epnie obrócono o k ˛at ϕ. Znale´z´c punkt maj ˛acy wzgl ˛edem układów pocz ˛atkowego i ko ´ncowego te same współrz ˛edne.
9. Obliczy´c odległo´s´c punktu P od pocz ˛atku układu współrz ˛ednych w uko´snok ˛atnym układzie współrz ˛ednych o k ˛acie θ.
10. Obliczy´c odległo´s´c mi ˛edzy punktami A(x1, y1)i B(x2, y2)w układzie uko´snok ˛atnym o k ˛acie θ.
11. Wyprowadzi´c zwi ˛azki mi ˛edzy współrz ˛ednymi prostok ˛atnymi a współrz ˛ednymi biegunowymi.
12. Znale´z´c na płaszczy´znie układu Oxy:
• współrz ˛edne prostok ˛atne x, y punktu o współrz ˛ednych biegunowych r=4, ϕ=30◦,
• współrz ˛edne biegunowe r, ϕ punktu o współrz ˛ednych prostok ˛atnych(−3, 4)(amplitud ˛e wy- razi´c jako funkcj ˛e trygonometryczn ˛a k ˛ata).
13. Obliczy´c odległo´s´c punktów A, B maj ˛acych współrz ˛edne biegunowe r, ϕ i r0, ϕ0.
14. Wyprowadzi´c zwi ˛azki mi ˛edzy współrz ˛ednymi prostok ˛atnymi a współrz ˛ednymi sferycznymi.
15. Wyprowadzi´c zwi ˛azki mi ˛edzy współrz ˛ednymi prostok ˛atnymi a współrz ˛ednymi walcowymi.
16. Znale´z´c w układzie przestrzennym Oxyz współrz ˛edne prostok ˛atne x, y, z punktu maj ˛acego współ- rz ˛edne:
(a) sferyczne r = 2 (promie ´n wodz ˛acy), ϕ = 60◦ (długo´s´c geograficzna), θ = 45◦ (szeroko´s´c geograficzna),
(b) walcowe ρ=4 (promie ´n wodz ˛acy), ϕ=30◦(długo´s´c geograficzna), z=3 (wysoko´s´c).
17. Znaj ˛ac współrz ˛edne prostok ˛atne punktu x, y, z znale´z´c jego współrz ˛edne sferyczne i walcowe.
18. Gdzie le ˙z ˛a w układzie Oxyz punkty o współrz ˛ednych sferycznych r, ϕ, θ, w których stałe s ˛a:
(a) r i θ, (b) r i ϕ,
(c) θ.
19. Bior ˛ac do pomocy współrz ˛edne biegunowe r, ϕ punktu P = (x0, y0) przed obrotem, znale´z´c współrz ˛edne punktu P po obrocie dokoła pocz ˛atku układu współrz ˛ednych o k ˛at α.
Bibliografia
1. Geometria analityczna F. Leja
2. Algebra i geometria analityczna T. Jurlewicz, Z. Skoczylas