• Nie Znaleziono Wyników

Zakres materiału

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zakres materiału"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Geometria analityczna – układy współrz˛ednych Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

przekształcenia układu współrz ˛ednych, uko´snok ˛atny układ współrz ˛ednych, inne układy współrz ˛ednych

(wersja: 19 lutego 2021)

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore-˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.

Zakres materiału

1. Wyprowadzenie wzoru na odległo´s´c punktu od pocz ˛atnu układu współrz ˛ednych w uko´snok ˛at- nym układzie współrz ˛ednych;

2. Obliczanie odległo´sci mi ˛edzy punktami w uko´snok ˛atnym układzie współrz ˛ednych;

3. Wyprowadzenie zwi ˛azków mi ˛edzy współrz ˛ednymi prostok ˛atnymi a współrz ˛ednymi biegunowy- mi, sferycznymi i walcowymi;

4. Zamiana współrz ˛ednych mi ˛edzy powy ˙zszymi typami układów współrz ˛ednych.

5. Obliczanie odległo´sci mi ˛edzy punktami w biegunowym układzie współrz ˛ednych;

6. Obliczanie współrz ˛ednych punktu po przesuni ˛eciu równoległym układu współrz ˛ednych;

7. Obliczanie współrz ˛ednych punktu po obrocie punktu lub układu współrz ˛ednych dokoła pocz ˛at- ku układu współrz ˛ednych;

Zadania

1. W prostok ˛atnym układzie współrz ˛ednych xOy dany jest punkt P = (x, y). Znale´z´c współrz ˛ed- ne tego punktu w układzie współrz ˛ednych powstałym z układu xOy przez przesuni ˛ecie jego pocz ˛atku do punktu o współrz ˛ednych(h, k).

2. Dany jest punkt P= (0, 3)w prostok ˛atnym układzie współrz ˛ednych. Znale´z´c współrz ˛edne punk- tu P w układzie współrz ˛ednych powstałym przez przesuni ˛ecie pocz ˛atku układu współrz ˛ednych do punktu(4,−5).

3. Punkt P ma współrz ˛edne (−4, 3) w prostok ˛atnym układzie współrz ˛ednych x0O0y0, powstałym z układu xOy poprzez przesuni ˛ecie pocz ˛atku układu współrz ˛ednych do punktu (2, 3). Znale´z´c współrz ˛edne punktu P w nieprzesuni ˛etym układzie.

(2)

4. Pewien punkt ma w układzie współrz ˛ednych Oxy współrz ˛edne A(2,−3), a w układzie O0x0y0, który powstał z układu Oxy przez przesuni ˛ecie równoległe, ma współrz ˛edne A0(−3,−4). Znale´z´c współrz ˛edne(a, b)punktu O0 w układzie Oxy.

5. Punkt P(x0, y0) obrócono dokoła pocz ˛atku układu współrz ˛ednych o k ˛at α. Znale´z´c jego współ- rz ˛edne po obrocie.

6. Mi ˛edzy współrz ˛ednymi x, y pewnego punktu zachodzi zwi ˛azek x2−y2 =2. Jaki zwi ˛azek zacho- dzi mi ˛edzy współrz ˛ednymi tego samego punktu wzgl ˛edem układu powstałego z danego przez obrót o k ˛at−45?

7. Mi ˛edzy współrz ˛ednymi x, y pewnego punktu w układzie Oxy zachodzi zwi ˛azek x2+3y2+2x− 12y+12=0. Jaki zwi ˛azek zachodzi mi ˛edzy współrz ˛ednymi tego punktu, gdy układ przesuniemy równolegle do punktu(−1, 2)?

8. Układ współrz ˛ednych Oxy przesuni ˛eto do punktu (a, b) i nast ˛epnie obrócono o k ˛at ϕ. Znale´z´c punkt maj ˛acy wzgl ˛edem układów pocz ˛atkowego i ko ´ncowego te same współrz ˛edne.

9. Obliczy´c odległo´s´c punktu P od pocz ˛atku układu współrz ˛ednych w uko´snok ˛atnym układzie współrz ˛ednych o k ˛acie θ.

10. Obliczy´c odległo´s´c mi ˛edzy punktami A(x1, y1)i B(x2, y2)w układzie uko´snok ˛atnym o k ˛acie θ.

11. Wyprowadzi´c zwi ˛azki mi ˛edzy współrz ˛ednymi prostok ˛atnymi a współrz ˛ednymi biegunowymi.

12. Znale´z´c na płaszczy´znie układu Oxy:

• współrz ˛edne prostok ˛atne x, y punktu o współrz ˛ednych biegunowych r=4, ϕ=30,

• współrz ˛edne biegunowe r, ϕ punktu o współrz ˛ednych prostok ˛atnych(−3, 4)(amplitud ˛e wy- razi´c jako funkcj ˛e trygonometryczn ˛a k ˛ata).

13. Obliczy´c odległo´s´c punktów A, B maj ˛acych współrz ˛edne biegunowe r, ϕ i r0, ϕ0.

14. Wyprowadzi´c zwi ˛azki mi ˛edzy współrz ˛ednymi prostok ˛atnymi a współrz ˛ednymi sferycznymi.

15. Wyprowadzi´c zwi ˛azki mi ˛edzy współrz ˛ednymi prostok ˛atnymi a współrz ˛ednymi walcowymi.

16. Znale´z´c w układzie przestrzennym Oxyz współrz ˛edne prostok ˛atne x, y, z punktu maj ˛acego współ- rz ˛edne:

(a) sferyczne r = 2 (promie ´n wodz ˛acy), ϕ = 60 (długo´s´c geograficzna), θ = 45 (szeroko´s´c geograficzna),

(b) walcowe ρ=4 (promie ´n wodz ˛acy), ϕ=30(długo´s´c geograficzna), z=3 (wysoko´s´c).

17. Znaj ˛ac współrz ˛edne prostok ˛atne punktu x, y, z znale´z´c jego współrz ˛edne sferyczne i walcowe.

18. Gdzie le ˙z ˛a w układzie Oxyz punkty o współrz ˛ednych sferycznych r, ϕ, θ, w których stałe s ˛a:

(a) r i θ, (b) r i ϕ,

(c) θ.

19. Bior ˛ac do pomocy współrz ˛edne biegunowe r, ϕ punktu P = (x0, y0) przed obrotem, znale´z´c współrz ˛edne punktu P po obrocie dokoła pocz ˛atku układu współrz ˛ednych o k ˛at α.

(3)

Bibliografia

1. Geometria analityczna F. Leja

2. Algebra i geometria analityczna T. Jurlewicz, Z. Skoczylas

Cytaty

Powiązane dokumenty

Skala prawdziwego czasu słonecznego jest zło˙zeniem ruchu wirowego i orbitalnego Ziemi co jest powodem jej nieregularno´sci... Skale czasu gwiazdowego

Kształt Ziemi okre´sla si ˛e w oparciu o ´sredni poziom oceanu b ˛ed ˛ acego w grawitacyjnej równowadze i pokrywaj ˛ acego si ˛e z powierzchni ˛ a ekwipotencjaln ˛ a

Katalogi fundamentalne zawieraj ˛ a miejsca ´srednie wybranych gwiazd wraz ze zmianami współrz ˛ednych powstałych w wyniku precesji i ruchu własnego (zmiany roczne i wiekowe).

Ilustracja narastania ró˙znicy wskaza ´n czasu obserwowanego za pomoc ˛ a sło ´nca i

Wykaż, że jeśli każdy z trzech danych wektorów w przestrzeni R n spełnia warunek „Suma każdej trójki kolejnych współrz¸ednych jest równa 0.”, to te trzy wektory s¸ a

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore- ˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c

współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego

Mamy dwa uk lady wsp´ o lrz ednych zaczepione w