GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 9
18.1. Zauważ, że obrót o kąt π/2 wokół osi Ox jest przekształceniem liniowym o macierzy
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
(lub
1 0 0
0 0 −1
0 1 0
, zależy w którą stronę obracamy).
Napisz macierze obrotów o π/2 wokół osi Oy i Oz. Złożenie (dwu lub więcej) ta- kich obrotów jest przekształceniem liniowym (obrotem) o macierzy będącej iloczynem odpowiednich macierzy obrotów. Wylicz te macierze dla kilku interesujących przy- padków i znajdź ich wektory własne (będą one osiami obrotu tych złożeń).
18.2. W duchu poprzedniego zadania zbadaj złożenia obrotów o π wokół osi układu współ- rzędnych. Spróbuj wypisać wszystkie odwzorowania, które można dostać składając te obroty (nie ma ich wcale tak dużo).
19.1. Pokaż, że wszystkie kąty dwuścienne w wielościanie foremnym są równe.
19.2. Ile (a) ścian (b) krawędzi (c) wierzchołków ma każdy z wielościanów foremnych?
Zrób odpowiednią tabelkę.
19.3. Podaj przykład wielościanu, który nie jest foremny, mimo że jego ściany są foremne i przystające.
20.1. Czy następujące rysunki: są siatkami sześcianu?
20.2. Czy prawdą jest, że:
(a) wszystkie wierzchołki ośmiościanu foremnego leżą w pewnych dwóch równoległych płaszczyznach?
(b) wszystkie wierzchołki dwudziestościanu foremnego leżą w pewnych trzech równo- ległych płaszczyznach?
(c) wszystkie wierzchołki dwunastościanu foremnego leżą w pewnych czterech równo- ległych płaszczyznach?
20.3. Jak wyglądają przekroje ośmiościanu foremnego płaszczyznami prostopadłymi do jego głownej przekątnej? Jak się zmieniają, gdy płaszczyzna przekroju przemieszcza się wzdłuż owej przekątnej? (Opisz słowami albo narysuj komiks.)
20.4. Rozwiąż poprzednie zadanie dla sześcianu w miejsce ośmiościanu.
20.5. A co będzie, gdy zamiast płaszczyzn prostopadłych do głównej przekątnej weźmiemy płaszczyzny równoległe do pewnej ściany ośmiościanu (bądź sześcianu, ale to jest trywialne)?
20.6. Spróbuj przeanalizować w podobny sposób przekroje dwunasto- i dwudziestościanu.
20.7. Jaką bryłę otrzymamy, jeżeli od każdego naroża czworościanu foremnego odetniemy czworościanik foremny o dwa razy krótszej krawędzi?
20.8. Z kawałka kartonu w kształcie trójkąta równobocznego można — bez rozcinania, tylko zginając go odpowiednio — skleić czworościan foremny. Czy z pięciu takich kawałków można skleić foremny dwudziestościan?
