ln(x + y) sin(y + z), b) f (x, y, z

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO KOLOKWIUM II wersja 2.1

1. Obliczy´c pochodne cza_,stkowe: ^∂_∂²₂^f_x, _∂x∂y^∂2f , _∂x∂z^∂2f , _∂y∂x^∂2f , ^∂_∂²₂^f_y, _∂y∂z^∂2f , _∂z∂x^∂2f ,

∂²f

∂z∂y i ^∂_∂²2^fz gdy:

a) f (x, y, z) = ln(x + y) sin(y + z), b) f (x, y, z) = arctg(xyz).

2. Znale´z´c kierunek maksymalnego wzrostu funkcji:

a) f (x, y, z) = e^x2+y2+z2(x + y + z) w punkcie (1,2,3),

b) f (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₄ + x₄x₅ + x₅x₁ w punkcie (1,1,1,1,1).

3a. Znale´z´c p laszczyzne_, styczna_, do paraboloidy hiperbolicznej (czips zadany r´ownaniem x²− y² = z) w punkcie (1,0,1). Przekona´c sie_,, ˙ze prze- cie_,cie tej p laszczyzny z powierzchnia_, jest suma_, dw´och prostych (jakich ?).

3b. Dana jest powierzchnia zadana r´ownaniem x² + y² = z². Znale´z´c p laszczyzne_, styczna_, do tej powierzchni w punkcie postaci (x, y, z) = (r cos(t), r sin(t), r) dla dowolnego t oraz r 6= 0. Czy przechodzi ona przez punkt (0,0,0)?

4. Znale´z´c lokalne ekstrema funkcji f . Kt´ore z nich sa_, globalnymi ek- stremami?

a) f (x, y, z) = 2xy + 4xz − z² − 3x − 2y,

b) f (x, y, z) = (x + y + z + 1)² + (y + z)³− z³− 3y + 9z, c) f (x, y) = ln(2 + sin(x − y) + (x + y)²).

5) Znale´z´c supremum i infimum funkcji f (x, y) = xy − x − 2y na zbiorze opisanym nier´owno´sciami x ≥ 0, y ≥ 0 x + y ≤ 4.

6) Znale´z´c supremum i infimum funkcji f (x, y) = 3x+y na zbiorze opisanym nier´owno´sciami x³ ≥ y², x ≤ 1.

7) Znale´z´c ekstrema funkcji f (x, y) = x²+ y²+ 3 x +√

3 y na kole jednost- kowym x² + y² ≤ 1.

8) Znale´z´c ekstrema funkcji f (x, y, z) = z² na zbiorze zadanym r´ownaniami x² + y²+ z² = 1, x + y + z = 1.

9) Obliczy´c pochodna_, funkcji uwik lanej y(x) w punkcie x₀ wiedza_,c, ˙ze a) 2^xy = y + 6, w punkcie x₀ = 2, y(x₀) = 1,

b) sin(x + y) = 2y, w punkcie x₀ = 0, y(x₀) = 0.