Matematyka dyskretna, seria 10 (podstawy teorii grafów)
Zad 1. Narysuj grafy, wyznacz ich macierze s¡siedztwa oraz grafy dopeªniaj¡ce:
a) graf peªny K6;
b) graf peªny dwudzielny K2,4; c) cykl C6.
Zad 2. Narysowa¢ grafy bryª plato«skich.
Zad 3. Wyznaczy¢ graf G maj¡cy podan¡ poni»ej macierz s¡siedztwa
M =
0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0
.
Zad 4. Wykaza¢ izomor zm poni»szych grafów.
Zad 5. a) Narysowa¢ grafy odpowiadaj¡ce cz¡steczkom metanu CH4i propanu C3H8.
b) Istniej¡ dwa ró»ne w¦glowodory maj¡ce wzór sumaryczny C4H10. Narysuj grafy odpowiadaj¡ce ich cz¡stkom.
Zad 6. Narysuj wszystkie grafy proste nieoznakowane maj¡ce cztery wierz- choªki.
Zad 7. Sprawdzi¢, »e k-kostka Qk ma 2k wierzchoªków, k · 2k−1 kraw¦dzi oraz jest grafem regularnym stopnia k.
Zad 8. Na rysunku poni»ej s¡ podane grafy 3-regularne o o±miu wierzchoªkach.
Sprawdzi¢, »e »adne dwa nie s¡ izomor czne.
a) b)
c) d) e)
Zad 9. Graf prosty izomor czny ze swoim dopeªnieniem nazywamy grafem sa- modopeªniaj¡cym. Udowodnij, »e grafy dopeªniaj¡ce maj¡ 4k lub 4k + 1 wierz- choªków (k ∈ N). Podaj przykªady grafów samodopeªniaj¡cych maj¡cych 4 lub 5wierzchoªków.
Zad 10*. Niech G b¦dzie grafem prostym z co najmniej dwoma wierzchoªkami.
Wyka», »e G zawiera dwa wierzchoªki tego samego stopnia.
Wsk: Skorzystaj z zasady szufadkowej Dirichleta.
Zad 11. Wykaza¢, »e je±li G jest grafem bez p¦tli, to jego macierz incydencji I(G)i macierz s¡siedztwa A(G) s¡ powi¡zane równo±ci¡
I(G) · I(G)T = D(G) + A(G)
gdzie D(G) jest macierz¡ diagonaln¡ (zwan¡ macierz¡ stopni) D(G) = diag(deg v1, deg v2, ...) .
