• Nie Znaleziono Wyników

Klasycznego Rachunku Zdań

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Klasycznego Rachunku Zdań "

Copied!
35
0
0

Pełen tekst

(1)

Andrzej Wiśniewski

Logika I

Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie

Klasycznego Rachunku Zdań

(2)

Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku Zdań. Systemy te różnią się co do doboru aksjomatów i reguł inferen- cyjnych. Zajmiemy się tutaj jednym z nich.

(3)

Aksjomaty KRZ

Ax.1.

p → (q → p)

Prawo poprzednika

Ax.2.

(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))

Prawo (sylogizm) Fregego

Ax.3.

(p → q) → (¬q → ¬p)

Prawo transpozycji

Ax.4.

¬¬p → p

Prawo podwójnego przeczenia

Ax.5.

p → ¬¬p

Odwrotne prawo podwójnego

przeczenia

Ax.6.

p ∧ q → p

Prawo symplifikacji

Ax.7.

p ∧ q → q

Drugie prawo symplifikacji

(4)

Aksjomaty KRZ

Ax.9.

p → p ∨ q Prawo addycji

Ax.10.

q → p ∨ q Drugie prawo addycji

Ax.11.

(p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r)) Prawo dodawania poprzedników

Ax.12.

(p ↔ q) → (p → q)

Aksjomaty równoważności

Ax.13.

(p ↔ q) → (q → p)

Ax.14.

(p → q) → ((q → p) → (p ↔ q))

Pierwotne reguły inferencyjne

Reguła odrywania

Reguła podstawiania

RO: A → B RP: A

A

A[pi /B]

B

(5)

Dowody

Teza 1. p → p Prawo tożsamości

1. p → (q → p) [Ax. 1]

2. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) [Ax. 2]

3. (p → (q → p)) → ((p → q) → (p → p)) [2 RP: r / p]

4. (p → q) → (p → p) [3,1 RO]

5. (p → (q → p)) → (p → p) [4 RP: q / (q → p)]

6. p → p [5,1 RO]

Komentarz. Dowodem jest powyższy ciąg formuł. Numery po lewej stronie for- muł oraz to, co zostało zapisane w nawiasach kwadratowych po prawej stronie formuł, nie należą do dowodu, lecz stanowią informację dowodową, która in- formuje nas, jaka reguła została zastosowana i do czego, oraz z jakich aksjo-

(6)

Dowody Terminologia. Mówiąc o formułach, będę tu miał na myśli formuły języka KRZ.

Mówiąc o aksjomatach, mam na myśli aksjomaty KRZ podane przed chwilą.

Dowodem formuły A w oparciu o zbiór aksjomatów nazywamy skończony ciąg formuł, którego ostatnim wyrazem jest formuła A, taki, że dowolna formuła będąca jego wyrazem:

(1) jest aksjomatem, lub

(2) powstaje z jakiegoś wcześniejszego wyrazu tego ciągu poprzez zastosowanie reguły podstawiania, lub

(3) powstaje z jakichś wcześniejszych wyrazów tego ciągu poprzez zastosowanie reguły odrywania.

Komentarz. Czasami wprowadza się ogólniejsze pojęcie „dowodu formuły A w oparciu o zbiór formuł X”, gdzie X nie musi być zbiorem aksjomatów. My w takim przypadku będziemy mówić o derywacji (lub wyprowadzeniu) formuły A ze zbioru formuł X.

(7)

Dowody

W podanej definicji odwołaliśmy się do reguł podstawiania i odrywania, ponieważ są one pierwotnymi regułami inferencyjnymi prezentowanego sys- temu aksjomatycznego KRZ. Gdy rozważamy system aksjomatyczny o innych regułach, musimy w definicji dowodu odwołać się do tych reguł.

Wersja dla purystów. Precyzyjna definicja pojęcia dowodu - dla przedstawionego tu systemu aksjomatycznego KRZ - wygląda następująco (symbolem Arz oznaczamy zbiór aksjomatów):

Dowodem formuły A w oparciu o Arz nazywamy każdy skończony ciąg formuł D1, D2, ..., Dn taki, że Dn = A oraz dla każdego wskaźnika k ≤ n spełnio- ny jest przynajmniej jeden z następujących warunków:

(1) Dk ∈ Arz;

(2) istnieją: wskaźnik j < k, formuła B oraz wskaźnik i takie, że Dk ma postać Dj [pi /B];

(8)

Pojęcie tezy KRZ Formułę nazywamy tezą KRZ wtw jest ona aksjomatem KRZ lub ma co

najmniej jeden dowód w oparciu o aksjomaty KRZ.

Dla spostrzegawczych: Ciąg jednowyrazowy <A>, gdzie A jest aksjomatem, ma wszel- kie znamiona dowodu formuły A w oparciu o aksjomaty. Tak więc w definicji tezy wy- starczyłoby sformułowanie „ma co najmniej jeden dowód w oparciu o aksjomaty”.

Można łatwo udowodnić:

Twierdzenie 7.1.

Każda teza KRZ jest tautologią KRZ.

Szkic dowodu:

Aksjomaty zostały tak dobrane, że każdy z nich jest tautologią KRZ.

Zgodnie z semantycznymi twierdzeniami o podstawianiu i odrywaniu, sto- sując RO czy RP do przesłanek będących tautologiami KRZ otrzymujemy wnioski będące tautologiami KRZ.

Gdy budujemy dowód w oparciu o aksjomaty KRZ, przesłanki są aksjoma- tami KRZ, a stosowane reguły to właśnie RO i RP.

(9)

Dowody

Teza 2. p ↔ ¬¬p

1. p → ¬¬p [Ax. 5]

2. ¬¬p → p [Ax. 4]

3. (p → q) → ((q → p) → (p ↔ q)) [Ax. 14]

4. (p → ¬¬p) → ((¬¬p → p) → (p ↔ ¬¬p)) [3 RP: q / ¬¬p] 5. (¬¬p → p) → (p ↔ ¬¬p) [4,1 RO]

6. p ↔ ¬¬p [5,2 RO]

(10)

Teza 3. p ↔ p Prawo tożsamości w mocnej postaci

1. p → p [Teza 1]

2. (p → q) → ((q → p) → (p ↔ q)) [Ax. 14]

3. (p → p) → ((p → p) → (p ↔ p)) [2 RP: q / p]

4. (p → p) → (p ↔ p) [3,1 RO]

5. p ↔ p [4,1 RO]

Komentarz: Powyższy ciąg formuł nie jest, ściśle rzecz biorąc, dowodem w oparciu o aksjomaty, ponieważ że w charakterze przesłanki użyliśmy tezy uprzednio udowodnio- nej. Jednakże każdy taki ciąg można łatwo przekształcić w dowód; w tym celu wystar- czy „uzupełnić” ciąg o dowód tezy, z której korzystamy; przykładowo, dowód tezy

p ↔ p (w oparciu o aksjomaty) otrzymujemy poprzez wstawienie do powyższego ciągu dowodu formuły p → p (podanego wcześniej) zamiast tej formuły.

Derywacje, w których przesłankami są tezy uprzednio udowodnione, będziemy również nazywać dowodami w oparciu o aksjomaty.

Terminologia: Zamiast „dowód w oparciu o aksjomaty” mówimy dalej krótko „dowód”.

(11)

Dowody Teza 4. p ∧ q → q ∧ p

1. (p → q) → ((p → r) → (p → q ∧ r)) [Ax. 8]

2. (p ∧ q → q) → ((p ∧ q → r) → (p ∧ q → q ∧ r)) [1 RP: p / p ∧ q]

3. p ∧ q → q [Ax. 7]

4. (p ∧ q → r) → (p ∧ q → q ∧ r) [2,3 RO]

5. (p ∧ q → p) → (p ∧ q → q ∧ p) [4 RP: r / p]

6. p ∧ q → p [Ax. 6]

7. p ∧ q → q ∧ p [5,6 RO]

(12)

Teza 5. q ∧ p → p ∧ q

1. p ∧ q → q ∧ p [Teza 4]

2. r ∧ q → q ∧ r [1 RP: p / r]

3. r ∧ p → p ∧ r [2 RP: q / p]

4. q ∧ p → p ∧ q [4 RP: r / p]

Uwaga: Zamiast przemianowywać zmienne i następnie kolejno podstawiać, można dokonać jednoczesnego podstawienia.

1. p ∧ q → q ∧ p [Teza 4]

2. q ∧ p → p ∧ q [1 RP: p / q, q / p]

To, co dostaniemy poprzez jednoczesne podstawienie, dostalibyśmy również poprzez stosowanie, krok po kroku, „kanonicznej” reguły podstawiania RP przy odpowiednim przemianowywaniu zmiennych. Z tego powodu będziemy dalej używać terminu „dowód” także wówczas, gdy dokonane zostały podstawienia jednoczesne.

(13)

Dowody Teza 6. p ∧ q ↔ q ∧ p Prawo przemienności koniunkcji

1. p ∧ q → q ∧ p [Teza 4]

2. q ∧ p → p ∧ q [Teza 5]

3. (p → q) → ((q → p) → (p ↔ q)) [Ax. 14]

4. (p ∧ q → q ∧ p) → ((q ∧ p → p ∧ q) → (p ∧ q ↔ q ∧ p))

[3 RP: p / p ∧ q, q / q ∧ p]

5. (q ∧ p → p ∧ q) → (p ∧ q ↔ q ∧ p) [4,1 RO]

6. p ∧ q ↔ q ∧ p [5,2 RO]

Komentarz: Zauważmy, że w dowodach tez 2, 3 i 6 w podobny sposób prze- chodziliśmy od przesłanek postaci A → B oraz B → A do wniosku postaci

(14)

Dowody Teza 7. ¬p → ¬(p ∧ q)

1. p ∧ q → p [Ax. 6]

2. (p → q) → (¬q → ¬p) [Ax. 3]

3. (p ∧ q → p) → (¬p → ¬(p ∧ q)) [2 RP: p / p ∧ q, q / p]

4. ¬p → ¬(p ∧ q) [3,1 RO]

Teza 8. ¬q → ¬(p ∧ q)

1. p ∧ q → q [Ax. 7]

2. (p → q) → (¬q → ¬p) [Ax. 3]

3. (p ∧ q → q) → (¬q → ¬(p ∧ q)) [2 RP: p / p ∧ q]

4. ¬q → ¬(p ∧ q) [3,1 RO]

(15)

Dowody Teza 9. ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)

1. ¬p → ¬(p ∧ q) [Teza 7]

2. ¬q → ¬(p ∧ q) [Teza 8]

3. (p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r)) [Ax. 11]

4. (¬p → ¬(p ∧ q)) → ((¬q → ¬(p ∧ q)) → (¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)))

[3 RP: p / ¬p, q /¬q, r / ¬(p ∧ q)]

5. (¬q → ¬(p ∧ q)) → (¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)) [4,1 RO]

6. ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q) [5,2 RO]

Uwaga: W przedstawionych dalej dowodach za zmienne podstawiamy dość

„długie” formuły. Aby ułatwić śledzenie toku rozumowania, oznaczam jedna-

(16)

Dowody Teza 10. (q → r) → ((p → q) → (p → r))

1. p → (q → p) Ax.1

2. ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))) → ((q → r) → ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))))

1 RP: p / ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))), q / (q → r)

3. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) Ax. 2

4. ((q → r) → ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))) 2,3 RO

5. ((q → r) → ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))) → (((q → r) → (p → (q → r))) → ((q → r) → ((p → q) → (p → r))))

3 RP: p / (q → r), q / (p → (q → r)), r / ((p → q) → (p → r))

6. ((q → r) → (p → (q → r))) → ((q → r) → ((p → q) → (p → r))) 5,4 RO

7. (q → r) → (p → (q → r)) 1 RP: p / (q → r), q / p 8. (q → r) → ((p → q) → (p → r)) 6, 7 RO

(17)

Teza 11. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) Prawo sylogizmu hipotetycznego 1. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) Ax. 2

2. ((q → r) → ((p → q) → (p → r))) → (((q → r) → (p → q)) → ((q → r)

→ (p → r))) 2 RP: p / (q → r), q / (p → q), r / (p → r) 3. (q → r) → ((p → q) → (p → r)) Teza 10

4. ((q → r) → (p → q)) → ((q → r) → (p → r)) 2,3 RO

5. (((q → r) → (p → q)) → ((q → r) → (p → r))) → (((p → q) → ((q → r)

→ (p → q))) → ((p → q) → ((q → r) → (p → r))))

3 RP: q / ((q → r) → (p → q)), r / ((q → r) → (p → r)), p / (p → q)

6. ((p → q) → ((q → r) → (p → q))) → ((p → q) → ((q → r) → (p → r)))

5,4 RO

7. p → (q p) Ax.1

(18)

Reguła wtórna oparta na prawie sylogizmu hipotetycznego

Ponieważ formuła #: (p → q) → ((q → r) → (p → r)) jest tezą, to gdy w jakim- kolwiek dowodzie (innej) formuły pojawią się formuły o schematach:

(i) A → B (ii) B → C

możemy od tych formuł przejść do formuły o schemacie:

(iii) A → C

Jest tak dlatego, że w dowodzie możemy zawsze skorzystać z odpowiedniego podstawienia formuły # i potem dwukrotnie zastosować RO.

Następująca reguła inferencyjna

RSH:

A → B B → C A → C

jest przykładem tzw. wtórnej reguły inferencyjnej (w rozważanym systemie ak- sjomatycznym KRZ). RO oraz RP są regułami pierwotnymi.

(19)

Dowody Teza 12. (p → (q → r)) → (q → (p → r)) Prawo komutacji

1. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) Teza 11

2. (q → (p → q)) → (((p → q) → (p → r)) → (q → (p → r)))

1 RP: p / q, q / (p → q), r / (p → r)

3. p → (q → p) Ax. 1

4. q → (p → q) 3 RP: p / q, q / p 5. ((p → q) → (p → r)) → (q → (p → r)) 2,4 RO

6. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) Ax. 2

7. (p → (q → r)) → (q → (p → r)) 6, 5 RSH

(20)

Komentarz: Zastosowaliśmy regułę wtórną RSH. Stosując wyłącznie re- guły pierwotne RO i RP, również otrzymalibyśmy formułę dowodzoną:

7*. ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))) → ((((p → q) → (p → r))

→ (q → (p → r)) → ((p → (q → r)) → (q → (p → r))))

1 RP: p / (p → (q → r)), q / ((p → q) → (p → r)), r / (q → (p → r))

8*. (((p → q) → (p → r)) → (q → (p → r)) → ((p → (q → r))

→ (q → (p → r))) 7*, 6 RO 7. (p → (q → r)) → (q → (p → r)) 8*, 5 RO

Komentarz: Ponieważ zastosowanie reguły wtórnej jest w istocie wpro- wadzeniem pewnego skrótu, „dowód”, w którym stosujemy taką regułę, jest skrótową postacią „standardowego” dowodu.

(21)

Dowody Teza 13. p → (q → p ∧ q) Prawo koniunkcji

1. (p → q) → ((p → r) → (p → q ∧ r)) Ax. 8

2. (q → p) → ((q → q) → (q → p ∧ q)) 1 RP: p / q, q / p, r / q

3. p → (q → p) Ax. 1

4. p → ((q → q) (q p ∧ q)) 3,2 RSH

5. (p → (q → r)) → (q → (p → r)) Teza 12

6. (p → ((q → q) → (q → p ∧ q))) → ((q → q) → (p → (q → p ∧ q)))

5 RP: q / (q → q), r / (q → p ∧ q)

7. (q → q) → (p → (q → p ∧ q)) 6, 4 RO

8. p → p Teza 1

9. q → q

(22)

Reguła wtórna oparta na prawie komutacji

Ponieważ formuła ##: (p → (q → r)) → (q → (p → r)) jest tezą, to możemy wprowadzić następującą regułę wtórną

RKO:

A → (B → C) B → (A → C)

Wyprowadzenie prawa koniunkcji p → (q → p ∧ q) z zastosowaniem RKO:

1. (p → q) → ((p → r) → (p → q ∧ r)) Ax. 8

2. (q → p) → ((q → q) → (q → p ∧ q)) 1 RP: p / q, q / p, r / q

3. p → (q → p) Ax. 1

4. p → ((q → q) (q p ∧ q)) 3,2 RSH 5. (q → q) → (p → (q p ∧ q)) 4 RKO

6. p → p Teza 1

7. q → q 6 RP: p / q

(23)

Dowody Teza 14. (p → (q → r)) → (p ∧ q r) Prawo importacji

1. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) Teza 11

2. (p ∧ q → q) → ((q → r) → (p ∧ q → r)) 1 RP: p / p ∧ q

3. p ∧ q → q Ax. 7

4. (q → r) → (p ∧ q → r) 2,3 RO

5. (q → r) → ((p → q) → (p → r)) Teza 10

6. ((q → r) → (p ∧ q → r)) → ((p → (q → r)) → (p → (p ∧ q → r)))

5 RP: q / (q → r), r / (p ∧ q → r)

7. (p → (q → r)) → (p → (p ∧ q → r)) 6, 4 RO 8. (p → (q → r)) → (q → (p → r)) Teza 12

9. (p → (p ∧ q → r)) → (p ∧ q → (p → r))

(24)

10. (p → (q → r)) → (p ∧ q → (p → r)) 7,9 RSH

11. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) Ax. 2

12. (p ∧ q → (p → r)) → ((p ∧ q → p) → (p ∧ q → r))

11 RP: p / p ∧ q, q / p

13. (p → (q → r)) → ((p ∧ q → p) → (p ∧ q → r)) 10,12 RSH 14. (p ∧ q → p) → ((p → (q → r)) → (p ∧ q → r)) 13 RKO

15. p ∧ q → p Ax. 6

16. (p → (q → r)) → (p ∧ q → r) 14,15 RO

Reguła wtórna oparta na prawie importacji

RIMP: A → (B → C)

(25)

Dowody Teza 15. (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) Prawo sylogizmu hipotetycznego

w postaci koniunkcyjnej

1. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) Teza 11

2. (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) 1 RIMP

Teza 16. (p → q) ∧ p → q Modus ponendo ponens

1. p → p Teza 1

2. (p → q) → (p → q) 1 RP: p / (p → q)

3. (p → q) ∧ p → q 2 RIMP

Teza 17. (p → q) ∧ ¬q → ¬p Modus tollendo tollens 1. (p → q) → (¬q → ¬p) Ax. 3

(26)

Dowody Teza 18. (p ∧ q r) → (p → (q → r)) Prawo eksportacji

1. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) Teza 11

2. (q → p ∧ q) → ((p ∧ q → r) → (q → r)) 1 RP: p / q, q / p ∧ q

3. p → (q → p ∧ q) Teza 13

4. p → ((p ∧ q → r) → (q → r)) 3,2 RSH

5. (p ∧ q → r) → (p → (q → r)) 4 RKO

Reguła wtórna oparta na prawie eksportacji

REXP: A ∧ B → C

A → (B → C)

(27)

Dowody Teza 19. (¬p → q) → (¬q → p)

1. (q → r) → ((p → q) → (p → r)) Teza 10

2. (¬¬p → p) → ((¬q → ¬¬p) → (¬q → p)) 1 RP: q /¬¬p, r / p, p / ¬q

3. ¬¬p → p Ax. 4

4. (¬q → ¬¬p) → (¬q → p) 2, 3 RO

5. (p → q) → (¬q → ¬p) Ax. 3

6. (¬p → q) → (¬q → ¬¬p) 5 RP: p / ¬p

7. (¬p → q) → (¬q → p) 6, 4 RSH

Teza 20. (¬q → p) → (¬p → q) 1. (¬p → q) → (¬q → p)

(28)

Dowody Teza 21. p → (¬p → q) Prawo Dunsa Scotusa

1. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) Teza 11

2. (p → (¬q → p)) → (((¬q → p) → (¬p → q)) → (p → (¬p → q)))

1 RP: q / (¬q → p), r / (¬p → q)

3. p → (q → p) Ax. 1

4. p → (¬q → p) 3 RP: q / ¬q

5. ((¬q → p) → (¬p → q)) → (p → (¬p → q)) 2,4 RO

6. (¬q → p) → (¬p → q) Teza 20

7. p → (¬p → q) 5, 6 RO

Teza 22. p ∧ ¬p → q

1. p → (¬p → q) Teza 21 2. p ∧ ¬p → q 1 RIMP

(29)

Dowody Teza 23. ¬(p ∧ ¬p) Prawo sprzeczności

1. p ∧ ¬p → q Teza 22

2. p ∧ ¬p → ¬(p → p) 1 RP: q / ¬(p → p)

3. (p → q) → (¬q → ¬p) Ax. 3

4. (p ∧ ¬p → ¬(p → p)) → (¬¬(p → p) → ¬(p ∧ ¬p))

3 RP: p / p ∧ ¬p, q / ¬(p → p)

5. ¬¬(p → p) → ¬(p ∧ ¬p) 4,2 RO

6. p → ¬¬p Ax. 5

7. (p → p) → ¬¬(p → p) 6 RP p / (p → p) 8. (p → p) → ¬(p ∧ ¬p) 7,5 RSH

9. p → p

(30)

Dowody Teza 24. ¬(p ∨ q) → ¬p ∧ ¬q

1. p → p ∨ q Ax. 9

2. q → p ∨ q Ax. 10

3. (p → q) → (¬q → ¬p) Ax. 3

4. (p → p ∨ q) → (¬(p ∨ q) → ¬p) 3 RP: q / p ∨ q

5. (q → p ∨ q) → (¬(p ∨ q) → ¬q) 3 RP: p / q, q / p ∨ q

7. ¬(p ∨ q) → ¬p 4,1 RO

8. ¬(p ∨ q) → ¬q 5,2 RO

9. (p → q) → ((p → r) → (p → q ∧ r)) Ax. 8

10. (¬(p ∨ q) → ¬p) → ((¬(p ∨ q) → ¬q) → (¬(p ∨ q) → ¬p ∧ ¬q))

9 RP: p / ¬(p ∨ q), q / ¬p, r / ¬q

11. (¬(p ∨ q) → ¬q) → (¬(p ∨ q) → ¬p ∧ ¬q) 10,7 RO

(31)

Dowody Teza 25. p ∨ ¬p Prawo wyłączonego środka

1. (¬p → q) → (¬q → p) Teza 19

2. (¬(p ∨ q) → ¬p ∧ ¬q) → (¬(¬p ∧ ¬q) → p ∨ q)

1 RP: p / (p ∨ q), q / ¬p ∧ ¬q

3. ¬(p ∨ q) → ¬p ∧ ¬q Teza 24

4. ¬(¬p ∧ ¬q) → p ∨ q 2,3 RO

5. ¬(¬p ∧ ¬¬p) → p ∨ ¬p 4 RP: q / ¬p

6. ¬(p ∧ ¬p) Teza 23

7. ¬(¬p ∧ ¬¬p) 6 RP: p / ¬p

8. p ∨ ¬p 5,7 RO

(32)

Literatura:

Prezentowana tu wersja systemu aksjomatycznego KRZ jest szcze- gółowo przedstawiona w podręczniku:

[1] Tadeusz Batóg: Podstawy logiki, Wydawnictwo Naukowe UAM.

gdzie znajdą Państwo m.in. dowody dalszych tez. Nasz sposób prezen- tacji różni się kilkoma drobnymi szczegółami (głównie notacyjnymi i gra- ficznymi) od zawartego w powyższym podręczniku.

Na koniec załączam skrótowe informacje o pewnych innych syste- mach aksjomatycznych KRZ.

(33)

System Hilberta-Bernaysa Aksjomaty:

1. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) 2. p → (q → p)

3. (p → (p → q)) → (p → q) 4. p → ¬¬p

5. ¬¬p → p

6. (p → q) → (¬q → ¬p) 7. (p ∧ q) → p

8. (p ∧ q) → q

9. (p → q) → ((p → r) → (p → q ∧ r)) 10. p → p ∨ q

11. q → p ∨ q

12. (p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r)) 13. (p ↔ q) → (p → q)

(34)

Systemy implikacyjno-negacyjne Fregego:

1. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) 2. p → (q → p)

3. p → ¬¬p 4. ¬¬p → p

5. (p → q) → (¬q → ¬p)

6. (p → (q → r)) → (q → (p→r)) Reguły inferencyjne: RO, RP

Łukasiewicza:

1. (p → q) → ((q → r)→(p → r)) 2. (¬p → p) → p

3. p → (¬p → q)

Reguły inferencyjne: RO, RP

(35)

Zastępowanie definicyjne Gdy aksjomatyka jest implikacyjno-negacyjna i pragniemy mieć możliwość dowodzenia formuł, w których występują pozostałe spójniki, musimy wprowa- dzić dodatkową regułę lub reguły.

Reguła zastępowania (wersja “dla humanistów”): Z formuły C można wypro- wadzić formułę powstającą z C w ten sposób, że jakąś formułę występującą na danym miejscu w formule C zastąpimy na tym miejscu formułą odpowiadającą jej na mocy następujących równości definicyjnych:

(A ∨ B) =df (¬A → B) (A ∧ B) =df (¬(A → ¬B))

(A ↔ B) =df (¬((A → B) → ¬(B → A))) Reguły zastępowania (wersja „dla logików”):

C[pi / (¬A → B)] C[pi / ¬(A → ¬B)] C[pi / (A ↔ B)]

C[pi / (A ∨ B)] C[pi / (A ∧ B)] C[pi / (¬((A → B) → ¬(B → A)))]

Cytaty

Powiązane dokumenty

2) potwierdzenie zdań przeczących odbywa się w ten sposób, że jeśli podmiot znajduje się w takich warunkach i nie spostrzega wymie­.. nionego w zdaniu stanu rzeczy, ma

stąd też mężczyzna modli się z odsłoniętą głową, zaś kobieta nie ma bezpośredniego kontaktu z Bogiem, czego znakiem jest jej zakryta głowa podczas modlitwy.. niektórzy

Rozwi¸ azanie to okre´slone jest w przedziale

Mój wygląd jest efektem działań policji lub miałem wczoraj bardzo groźny wypadek, zawsze i wyłącznie wtedy gdy skoro jeżeli mój wygląd jest efektem działań policji, to

Jeśli będę się uczył, to zdam egzamin z logiki, nato- miast egzamin ze statystyki zdam na pewno.. Ale można to zrobić dużo krócej wykorzystują fakt, że koniunkcja jest

Komentarz (dla „humanistów”): Zauważmy, że podana definicja nie przesą- dza, że formuła A jest prawdą przy wartościowaniu v. Nie mówi ona o żadnym konkretnym

Skoro g jest gałęzią zamkniętą, to istnieje (co najmniej jedna) formuła B taka,.. że na gałęzi g występują formuły sygnowane FB oraz TB. Skoro jednak v jest

Prowadzimy rozumowanie dotąd, dokąd nie dojdziemy do wniosku że taka koniunkcja założeń i hipotezy jest albo fałszywa sama w sobie, albo wynika z niej zdanie fałszywe..