Całki iterowane w

Całki iterowane w

.

Zastosowanie twierdzenia Fubiniego do całek podwójnych.

1. Obliczyć następujące całki iterowane:

(i)
₋₁¹
₂⁴(x²+ y²x) dydx;

(ii)
₀^ln3
₀^ln4e^x+ydxdy;

(iii)
₋₁¹
₀¹
₀²(x²+ y²+ z²) dzdydx;

(iv)
₀¹
₀^π/4
₀²xcosy dxdydz : (v)
₋₁⁰
₀²
₀^πxz|cosy| dydzdx;

(vi)
₁⁰
₂³
₃⁴ _xyz¹ dxdzdy;

(vii)
₀¹
₋₁²
₀¹zxe^xydydxdz.

2. Zamienić całkę podwójną

_Df (x, y) dxdy na całki iterowane, jeśli obszar D ograniczony jest podanymi krzywymi:

(i) y = 1 +√

2x− x², x = 0, x = 2, y = 0, (ii) y = x, xy = 1, y = 1/2,

(iii) yx² = 1, y = 1, y = 2, (iv) y =|x − 1|, y = 2 − |x − 1|, (v) x = 0, x²+ y² = 1, y =√

x, (y  0), (vi) x = y², y = x− 2.

3. Obliczyć całki podwójne po wskazanych zbiorach:

(i)

_P xy²dxdy, gdzie P = [0, 1]× [−1, 1],

(ii)

_P sin(x + y) dxdy, gdzie P = [−π/4, π/4] × [0, π/4], (iii)

_P √^{xy dxdy}

x²+y²+1, gdzie P = [0, 1]× [0, 1],

(iv)

_D(x²− xy) dxdy, gdzie D = {(x, y) ∈R² : y  x, y  3x − x²}, (v)

_D(3x− 2y) dxdy, gdzie D = {(x, y) ∈R² : x² + y²  1},

(vi)

_Dxy dxdy, gdzie D ={(x, y) ∈ R² : y  6 − x, y √

x, x 0}, (vii)

_Dy dxdy, gdzie D =^(x, y)∈ R² : x arc sin y, y  ^√1₂, x 0^,

(viii)

_Dxy dxdy, gdzie D jest zbiorem ograniczonym krzywymi: xy = 1, |x − y| = 1, (ix)

_D(x + y) dxdy, gdzieD jest zbiorem ograniczonym krzywymi: y =

|x|, 2x = |y|, |x| = 1,

(x)

_Dy dxdy, gdzie D jest zbiorem ograniczonym krzywymi: y = 2− x², y =−1, y = 1, x = 1−√

1− y²,

(xi)

_DE(sin(x + y)) dxdy, gdzie D = [0, π]× [0, π], (xii)

_Dsgn(y− x²) dxdy, gdzie D = [0, 2]× [0, 2], (xiii)

_Dmin(x, x + y) dxdy, gdzie D = [−1, 2] × [1, 3].

4. Zmienić porzadek całkowania w nast_ epuj_ acych całkach (gdzie f jest funkcj_ a ci_ agł_ a):_ Arkusz 1

(i)
₀⁴
_3x^12x2 f (x, y) dydx, (ii)
₋₇^1
2+

√7−6y−y² 2−√

7−6y−y² f (x, y) dxdy,

(wsk. obszar całkowania jest ograniczony okregiem: (x − 2)_ ²+ (y + 3)² = 4²), (iii)
₀¹
_2x^3xf (x, y) dydx,

(iv)
₀¹

√3−y²

y22

f (x, y) dxdy, (v)
₁^e
₀^lnxf (x, y) dydx, (vi)
₀^2π
₀^sinxf (x, y) dydx.

5. Obliczyć nastepuj_ ace całki, stosuj_ ac zamian_ e z całki podwójnej na iterowan_ a:_

(i)
_Axy²dxdy, gdzie A jest zbiorem w R² ograniczonym krzywymi: y² = 2px, x = ^p₂, p > 0, (ii)
_A(x² + y²) dxdy, gdzie A jest zbiorem wR² ograniczonym krzywymi: y = x, y = x + a, y = a, y = 3a, a > 0,

(iii)
_A(|x| + |y|) dxdy, gdzie A = {(x, y) ∈R² : |x| + |y|  1},

(iv)
_D(sinxcosy) dxdy, gdzie D jest trójkatem o wierzchłkach: A(a, 0), B(0, a), C(0, 0), gdzie_ a > 0,

(v)
_D(2x + 1) dxdy, gdzie D jest trójkatem o wierzchłkach: A(−1, −1), B(1, 1), C(0, 0),_

(vi)
_D √10+2x+y^dxdy , gdzie D jest obszarem ograniczonym łukiem paraboli y = x², odcinkiem osi Ox, odcinkiem prostej x =−1 i odcinkiem prostej x = 3.

Arkusz 2