Statystyka matematyczna
5. Informacja Fishera, asymptotyczna normalność estymatorów
Ćw. 5.1 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu geometrycznego G(p).
Oblicz informację Fishera In(p).
Ćw. 5.2 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu N (µ, σ2). Oblicz in- formację Fishera In(θ) dla:
a) θ = µ ∈ R, b) θ = σ > 0, c) θ = σ2 > 0.
Ćw. 5.3 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu Cauchy’ego C(0, θ).
Zbadaj asymptotyczną normalność estymatora
ˆ
g(X1, . . . , Xn) = 1 n
n
X
i=1
1(a,∞)(Xi)
funkcji g(θ) = Pθ(X1 > a), gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą.
Ćw. 5.4 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu P oiss(λ). Uzasadnij, że 2√
n(p ¯Xn−√
λ) ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny.
Ćw. 5.5 Niech X1, . . . , Xnbędzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego E(λ). Uzasad- nij, że estymator parametru e−λ postaci
ˆ
g(X1, . . . , Tn) = exp
− 1 X¯n
jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.
Ćw. 5.6 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu N (0, θ). Uzasadnij asympto- tyczną normalność estymatora parametru θ postaci
ˆ
g(X1, . . . , Xn) = 1 n
n
X
i=1
Xi2.