31. Proszę znaleźć elementy macierzowe operatorów krętu J 1 , J 2 , J 3 , J + , J − , J 2 w standartowej bazie (w bazie wektorów własnych J 2 i J 3 do warości własnych odpowiednio ~ 2 j(j + 1) i ~m) dla j = 1/2, 1.

Zadania z mechaniki kwantowej (zestaw 10)

31. Proszę znaleźć elementy macierzowe operatorów krętu J ₁ , J ₂ , J ₃ , J ₊ , J − , J ² w standartowej bazie (w bazie wektorów własnych J ² i J ₃ do warości własnych odpowiednio ~ ² j(j + 1) i ~m) dla j = 1/2, 1.

32. Celem zadania jest znalezienie postaci składowych operatora krętu orbitalnego ~ L, w reprezen- tacji położeń, we współrzędnych sferycznych, wykorzystując fakt, że obrót dowolnego układu kwantowego reprezentowany przez unitarny operator U (R _{~ n} (α)) jest generowany przez odpowiedni (samosprzężony) opertor krętu J _{~ n} :

U (R _{~ n} (α)) = exp



− i

~ αJ _{~ n}



oraz J _{~ n} = i~ d

dα U (R _{~ n} (α))     α=0

. Proszę wyliczyć i~ _dα ^d [U (R _{~ n} (α))ψ(~ x)] 

 α=0 we współrzędnych sferycznych dla ~ n = ~ e ₁ , ~ e ₂ , ~ e ₃ (wek- torów bazy kartezjańskiej) i w ten sposób znaleźć składowe ~ L.

Zadanie można rozwiązać w następujących krokach. Niech r, θ i φ będą sferycznymi współrzęd- nymi wektora ~ x: ~ x = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ).

(a) Korzystając z faktu

R _{~ n} (α)~ x = ~ x + α~ n × ~ x + O(α ² ),

proszę wyliczyć współrzędne sferyczne r(α), θ(α) i φ(α) wektora ~ x(α) := R ⁻¹ _{~ n} (α)~ x z dokładnością do członów liniowych w α, dla ~ n = ~ e ₁ , ~ e ₂ , ~ e ₃ (wektorów bazy kartezjańskiej).

(b) Korzystając z a) proszę zapisać transformację [U (R)ψ](~ x) = ψ (R ⁻¹ ~ x) dla R - infinitezy- malnego obrotu dookoła ~ e ₁ , ~ e ₂ , ~ e ₃ .

(c) Korzystając z b) proszę znaleźć postać składowych L ₁ , L ₂ , L ₃ operatora krętu orbitalnego L, w reprezentacji położeń, we współrzędnych sferycznych. ~

33. Korzystając z definicji ~ L = ~ X × ~ P proszę wykazać tożsamość operatorową:

L ~ ² = ~ X ² P ~ ² −  ~ X · ~ P  2

+ i~  ~ X · ~ P  .

Następnie proszę pokazać, że powyższa tożsamość zapisana w reprezentacji położeń prowadzi do wzoru:

P ~ ² = −~ ² 4 = −~ ²



∂ _r ² + 2 r ∂ _r

 + L ²

r ² . Wskazówka: _∂ ^∂

r

= ^∂x _∂r

_∂x ^∂

= ^x _r

_∂x ^∂

34. Wykorzystując ogólny wzór na laplasjan (w dowolnym układzie współrzędnych):

4 = 1

√ g ∂ i

√ gg ^ik ∂ k
,

gdzie g = det(g _ik ), g _ik jest tensorem metrycznym zapisanym w rozważanym układzie współrzęd- nych i macierz [g ^ik ] = [g _ik ] ⁻¹ , proszę znaleźć postać laplasjanu we współrzędnych sferycznych.

35. Korzystając z wyników dwóch poprzednich zadań proszę znaleźć postać operatora L ² (kwadratu krętu orbitalnego) w reprezentacji położeń, we współrzędnych sferycznych.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/