• Nie Znaleziono Wyników

Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa "

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

Zestaw 9

Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa

Całka oznaczona

JeŜeli F jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej f :

[ ]

a,b →Ρ , to całką oznaczoną funkcji f w przedziale

[ ]

a,b nazywamy

( )

xdx F

( ) ( )

b F a

f

b

a

= .

WyraŜenie występujące po prawej stronie wzoru zapisujemy

[

F

( )

x

]

ba . Wartość całki oznaczonej nie zaleŜy od wyboru funkcji pierwotnej.

Przykład 1. Obliczyć całki oznaczone:

a)

∫ (

+

)

3

1

2 3 4

4x x dx

Funkcja f :

[ ]

1,3 Ρ określona wzorem f

( )

x =4x2 3x+4 jest ciągła. Wyznaczmy całkę nieoznaczoną

∫ (

4x2 3x+4

)

dx=431x3 321x2 +4x+C . Wtedy funkcja

( )

x x x x

F 4

2 3 3

4 32 +

= jest funkcją pierwotną f . Zatem

( )

3 4 92 2 3 3 3 4 4 2 9 27 3 3 4 4

2 3 3 4 4

3 4

3

1 2

3 3

1

2 =

 

 − +



 

 ⋅ − ⋅ + ⋅

 =

 

 − +

= +

xx dx x x x .

b)

2

1 2

1 dx x

Funkcja f :

[ ]

1,2 Ρ określona wzorem

( )

2

1 x x

f = jest ciągła. Wyznaczmy całkę nieoznaczoną

dx=x +C

x

1 1

2 . Wtedy funkcja

( )

x x

F =−1 jest funkcją pierwotną f . Zatem

2 1 1 1 2 1 1

1 2

1 2

1

2  =− + =



dx= x

x .

(2)

c)

1

0

1

2 3

3x ex dx

Funkcja f :

[ ]

0,1 Ρ określona wzorem f

( )

x =3x2ex31 jest ciągła. Przyjmując

( )

x =x3 1

g i h

( )

t =et zauwaŜamy, Ŝe f

( )

x =h

(

g

( )

x

) ( )

gx =3x2ex31 . Zatem stosując wzór na całkowanie przez podstawianie, wyznaczmy całkę nieoznaczoną

3x2ex31dx=

etdt =et +C =ex31+C . Wtedy funkcja F

( )

x =ex31 jest funkcją pierwotną f . Stąd

[ ]

e e e e e e

dx e

x x x 1

1

3 1 10 1 1 0 1 0 1

1

0

1

2 3 = 3 = = − = −

.

d)

ex xdx

1

ln

Funkcja f :

[ ]

1,e Ρ określona wzorem f

( )

x = xlnx jest ciągła. ZauwaŜmy, Ŝe

( ) ( ) ( )

x g x h x

f = ′ , gdzie g

( )

x =lnx i h

( )

x = x . Wtedy

( )

x x

g 1

′ = i

( )

2

2 1x x

h = .

Stosując wzór na całkowanie przez części, wyznaczmy całkę nieoznaczoną

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

xlnxdx=

g x h x dx= g x h x

g xh x dx= 21x2 lnx

1x21x2dx=

( )

= + = +

x xdx x x x C x x C

x 2ln 1

4 1 4

ln 1 2 1 2

ln 1 2

1 2 2 2 2

. Wtedy funkcja

( ) (

2ln 1

)

4

1 2

= x x

x

F jest funkcją pierwotną f . Zatem

( ) ( ) ( )

4 1 4 1 1 1 ln 4 2 1 1 ln 4 2

1 1 ln 4 2

ln 1 2 2

1 2

1

+

=

 =

 

 −

x xdx= x x e e e

e e

.

Pole obszaru

JeŜeli f

( )

x 0 dla x

[ ]

a,b , to całka oznaczona

b

( )

a

dx x

f jest równa polu obszaru ograniczonego wykresem funkcji f i prostymi x=a , x=b oraz y=0 (czyli osią OX).

JeŜeli f

( ) ( )

xg x dla x

[ ]

a,b , to całka oznaczona

∫ ( ( ) ( )

)

b

a

dx x g x

f jest równa polu

obszaru ograniczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi x=a , x=b .

(3)

Przykład 2. Policzyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

a)

2 1

= −

y x , x=3 , x=4 , y=0 .

Niech f :

[ ]

3,4 →Ρ będzie określona wzorem

( )

2 1

= − x x

f . JeŜeli 3≤ x≤4 , to 2

2

1≤x− ≤ , więc 1

2 1 2

1 ≤

≤ −

x , czyli f

( )

x0 . zatem pole obszaru jest równe

( )

[

ln 2

]

ln2

2

1 4

3 4

3

=

− =

dx x

x .

b) y=−x2 +x+6 , y=2x+4 .

Określmy funkcje f i g wzorami f

( )

x =x2 +x+6 , g

( )

x =2x+4 , x∈Ρ .

Rozwiązując równanie f

( ) ( )

x =g x znajdujemy punkty przecięcia wykresów funkcji f i g :

( ) ( )

x = g x f

( ) ( )

x g x =0

(

x2 +x+6

)

(

2x+4

)

=x2 x+2=0 x=2x=1

f .

Ponadto, jeŜeli x

[ ]

2,1 , to x2 x+20 f

( ) ( )

x g x 0 f

( ) ( )

x g x . Zatem

pole obszaru zawartego między wykresami funkcji f i g jest równe

( ) ( )

( ) ( )

2 2 9

2 1 3 2 1

1

2 2

3 1

2 2 1

2

 =

 

− − +

= +

=

f x g x dx

x x dx x x x .

Wartość średnia funkcji w przedziale

JeŜeli funkcja f :

[ ]

a,b →Ρ jest ciągła, to istnieje takie c

[ ]

a,b , Ŝe

( )

x dx f

( )(

c b a

)

f

b

a

= .

Wartość f

( )

c nazywamy średnią wartością funkcji f w przedziale

[ ]

a,b .

Przykład 3. Obliczyć średnią wartość funkcji f w podanym przedziale :

a) f

( )

x =2x3 ;

[ ]

2,4 .

Mamy a=2 , b=4 oraz

( ) [ ]

4

4

= +

=

=

(4)

( )

3

2 6 =

= c

f .

b) f

( )

x =2 xx ,

[ ]

4,9 .

Mamy a=4 , b=9 oraz

(

)

=  = + = + =

3 2 3 2 3 2 3 2

9

4 2 3

9

4

24 2 1 3 9 4 2 3 1 3 4 4 2 4 1 3 9 4 2 9 1 3 4 2

1 3

2 x xdx 4 x x

6 8 43 3 10 2 2 40 1 36 3 8

32 2

36−81− + = − − − − + =− .

PoniewaŜ ba =9−4=5 , to średnia wartość funkcji f w przedziale

[ ]

4,9 jest równa

( )

30

43 5

6 43 =−

− ⋅

= c

f .

Całka niewłaściwa

Niech f :

[

a,b

)

Ρ , gdzie b∈Ρ lub b=+∞ . JeŜeli dla kaŜdego c

( )

a,b istnieje całka oznaczona

∫ ( )

c

a

dx x

f oraz istnieje skończona granica

∫ ( )

=

c

a b

c f x dx

A lim ,

to A nazywamy całką niewłaściwą funkcji f i oznaczamy

b

( )

a

dx x f .

Mówimy teŜ, Ŝe całka niewłaściwa jest zbieŜna. JeŜeli granica

∫ ( )

c

a b

c f x dx

lim nie istnieje

lub jest nieskończona, to mówimy, Ŝe całka niewłaściwa jest rozbieŜna.

Podobnie w przypadku f :

(

a,b

]

→Ρ , gdzie a∈Ρ lub a=−∞ .

Przykład 4. Obliczyć całki niewłaściwe:

a) +∞

1 2

1 dx x

(5)

Funkcja f :

[

1,+∞

)

Ρ określona wzorem

( )

2

1 x x

f = jest ciągła, więc dla kaŜdego

[

+∞

)

∈1,

c całka oznaczona

c dx

1 x

2

1 istnieje. Zatem

1 1 1

1 lim 1 lim

1 lim

1 1 2 1

2 =

 

− +

 =

 

−

=

= +∞ +∞ +∞

+∞

∫ ∫

c dx x

dx x

x c

c c

c

c .

b) +∞

1

1dx x

[ ]

=

(

)

=+∞

=

= +∞ +∞ +∞

+∞

1 lim

1 lim ln 1 lim ln ln1

1 1

c x

xdx

xdx c

c c

c

c .

Całka jest rozbieŜna.

c)

4

0

1 dx x

[ ]

2 lim

(

2 2

)

2

1 lim 1 lim

0 1

0 1

0 4

0

=

=

=

= +

+ +

dx x c

x dx

x c c c c c .

d)

3

1 1

1 dx x

( )

[

]

=

(

( )

)

=+∞

− =

− = +

+ +

11 lim 11 lim ln 1 lim 1 ln2 ln 1

3 1

3

1 3

1

c x

x dx

x dx c c c c c .

Całka jest rozbieŜna.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania Zadanie 1. Obliczyć całki oznaczone:

a)

4

(

)

2

5

2x dx e)

3

1 3

1 dx

x i)

2 +

1

2 1

2x ex dx

(6)

c)

+

1

0 2 1

1 dx

x g)

+

4

1 2 3

3

2 dx

x x

x k)

1

0

dx e x x

d)

2

13 2

1 dx

x h)

+

1

0 3

2 dx

e x l)

3

1

2 ln xdx x

Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

a) y=x2,y=5x g) , 0, 0, 2

1

1 = = =

− +

= y x x

y x

b) y=x3,y=4x h) 2 1, 2

25

16 x y x

y= + =

c) y=x2,y=2−x2 i) y= x3 −2x2 −3x,y=0,x=1,x=2 d) y=x2,y= x+2 j) y=10x,y=10,y=100,x=0 e) y=x2 −4x−5,y=0,x=1,x=4 k) y=ex,y=ex,x=1

f) 4

, 17

1 =− +

= y x

y x l) y= x2 −4,y =4−x2

Zadanie 3. Obliczyć średnią wartość funkcji na podanym przedziale:

a) f

( )

x =3x2 +2x=1;

[ ]

0,1 c) f

( )

x =e2x+5;

[ ]

0,1

b)

( )

;

[ ]

1,2

4 1 x x

f = d) f

( )

x =2xex24;

[

2,2

]

Zadanie 4. Obliczyć całki niewłaściwe:

a)

0

dx

ex d)

1

0 2

1 dx

x g) +∞

1

1 dx x b)

0

2 dx3x e)

2

0 3

2dx

x h)



 

 −

8

0

3

2 1 dx

x x c) +∞

1

dx

e x f)

8

0 3 2

1 dx x

i)

+

0

1 1

1 dx x

(7)

Odpowiedzi Zadanie 1.

a) 2

d) ln4 3

1 g) 3 4

5 36 5

106+ j)

e15e1 b) 1

e) 9

4 h) 6 3

2 1 2

1ee k) 2 1

+

e c) ln3

2

1 f)

2 2 13 2

3e2 + e− i) e5e2 l)

9 3 26 ln

9 −

Zadanie 2.

a) 6

125 d)

2

9 g) ln 3

j) ln10 190− 90

b) 8 e) 24

h) 9

20 k) 2 1 2

+ − e e

c) 3

8 f) 2ln4

32

255− i)

12

65 l)

3 64

Zadanie 3.

a) 3

b) ln2 4

1 c)

2

5

7 e

e − d) 0

Zadanie 4.

a) 1 d) całka rozbieŜna g) całka rozbieŜna

b) 3ln2

1 e) całka rozbieŜna h) 58

c) e

1 f) 6 i) całka rozbieŜna

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pasem przestrzennym o szerokości d nazywamy obszar przestrzeni zawarty po- między dwiema płaszczyznami równoległymi odległymi o d, wraz z tymi płaszczyznami.. Czy sferę można

[r]

Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi (określonymi opisem lub rów-

Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów.. Udowodnić

[r]

Pasem przestrzennym o szerokości d nazywamy obszar przestrzeni zawarty po- między dwiema płaszczyznami równoległymi odległymi o d, wraz z tymi płaszczyznami.. Czy sferę można

[r]

Załózmy, ˙ze funkcja f jest ci ˛ agła na przedziale [a, b].. dla funkcji przedziałami ci