Zestaw 9
Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa
Całka oznaczona
JeŜeli F jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej f :
[ ]
a,b →Ρ , to całką oznaczoną funkcji f w przedziale[ ]
a,b nazywamy( )
xdx F( ) ( )
b F af
b
a
−
∫
= .WyraŜenie występujące po prawej stronie wzoru zapisujemy
[
F( )
x]
ba . Wartość całki oznaczonej nie zaleŜy od wyboru funkcji pierwotnej.Przykład 1. Obliczyć całki oznaczone:
a)
∫ (
− +)
3
1
2 3 4
4x x dx
Funkcja f :
[ ]
1,3 →Ρ określona wzorem f( )
x =4x2 −3x+4 jest ciągła. Wyznaczmy całkę nieoznaczoną∫ (
4x2 −3x+4)
dx=4⋅31x3 −3⋅21x2 +4x+C . Wtedy funkcja( )
x x x xF 4
2 3 3
4 3 − 2 +
= jest funkcją pierwotną f . Zatem
( )
3 4 92 2 3 3 3 4 4 2 9 27 3 3 4 4
2 3 3 4 4
3 4
3
1 2
3 3
1
2 =
− +
−
⋅ − ⋅ + ⋅
=
− +
= +
∫
x − x dx x x x .b)
∫
21 2
1 dx x
Funkcja f :
[ ]
1,2 →Ρ określona wzorem( )
21 x x
f = jest ciągła. Wyznaczmy całkę nieoznaczoną
∫
dx=−x +Cx
1 1
2 . Wtedy funkcja
( )
x x
F =−1 jest funkcją pierwotną f . Zatem
2 1 1 1 2 1 1
1 2
1 2
1
2 =− + =
−
∫
dx= xx .
c)
∫
−1
0
1
2 3
3x ex dx
Funkcja f :
[ ]
0,1 →Ρ określona wzorem f( )
x =3x2ex3−1 jest ciągła. Przyjmując( )
x =x3 −1g i h
( )
t =et zauwaŜamy, Ŝe f( )
x =h(
g( )
x) ( )
g′ x =3x2ex3−1 . Zatem stosując wzór na całkowanie przez podstawianie, wyznaczmy całkę nieoznaczoną∫
3x2ex3−1dx=∫
etdt =et +C =ex3−1+C . Wtedy funkcja F( )
x =ex3−1 jest funkcją pierwotną f . Stąd[ ]
e e e e e edx e
x x x 1
1
3 1 10 1 1 0 1 0 1
1
0
1
2 3− = 3− = − − − = − − = −
∫
.d)
∫
ex xdx1
ln
Funkcja f :
[ ]
1,e →Ρ określona wzorem f( )
x = xlnx jest ciągła. ZauwaŜmy, Ŝe( ) ( ) ( )
x g x h xf = ′ , gdzie g
( )
x =lnx i h′( )
x = x . Wtedy( )
x x
g 1
′ = i
( )
22 1x x
h = .
Stosując wzór na całkowanie przez części, wyznaczmy całkę nieoznaczoną
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫
xlnxdx=∫
g x h′ x dx= g x h x −∫
g′ xh x dx= 21x2 ⋅lnx−∫
1x⋅21x2dx=( )
∫
= ⋅ − + = − +−
⋅ x xdx x x x C x x C
x 2ln 1
4 1 4
ln 1 2 1 2
ln 1 2
1 2 2 2 2
. Wtedy funkcja
( ) (
2ln 1)
4
1 2 −
= x x
x
F jest funkcją pierwotną f . Zatem
( ) ( ) ( )
4 1 4 1 1 1 ln 4 2 1 1 ln 4 2
1 1 ln 4 2
ln 1 2 2
1 2
1
+
=
−
−
−
=
−
∫
x xdx= x x e e ee e
.
Pole obszaru
JeŜeli f
( )
x ≥0 dla x∈[ ]
a,b , to całka oznaczona∫
b( )
a
dx x
f jest równa polu obszaru ograniczonego wykresem funkcji f i prostymi x=a , x=b oraz y=0 (czyli osią OX).
JeŜeli f
( ) ( )
x ≥g x dla x∈[ ]
a,b , to całka oznaczona∫ ( ( ) ( )
−)
b
a
dx x g x
f jest równa polu
obszaru ograniczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi x=a , x=b .
Przykład 2. Policzyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:
a)
2 1
= −
y x , x=3 , x=4 , y=0 .
Niech f :
[ ]
3,4 →Ρ będzie określona wzorem( )
2 1
= − x x
f . JeŜeli 3≤ x≤4 , to 2
2
1≤x− ≤ , więc 1
2 1 2
1 ≤
≤ −
x , czyli f
( )
x ≥0 . zatem pole obszaru jest równe( )
[
ln 2]
ln22
1 4
3 4
3
=
−
− =
∫
dx xx .
b) y=−x2 +x+6 , y=2x+4 .
Określmy funkcje f i g wzorami f
( )
x =−x2 +x+6 , g( )
x =2x+4 , x∈Ρ .Rozwiązując równanie f
( ) ( )
x =g x znajdujemy punkty przecięcia wykresów funkcji f i g :( ) ( )
x = g x ⇔ f( ) ( )
x −g x =0⇔(
−x2 +x+6)
−(
2x+4)
=−x2 −x+2=0⇔ x=−2∨x=1f .
Ponadto, jeŜeli x∈
[ ]
−2,1 , to −x2 −x+2≥0⇔ f( ) ( )
x −g x ≥0⇔ f( ) ( )
x ≥ g x . Zatempole obszaru zawartego między wykresami funkcji f i g jest równe
( ) ( )
( ) ( )
2 2 9
2 1 3 2 1
1
2 2
3 1
2 2 1
2
=
− − +
= +
−
−
=
−
− −
−
∫
f x g x dx∫
x x dx x x x .Wartość średnia funkcji w przedziale
JeŜeli funkcja f :
[ ]
a,b →Ρ jest ciągła, to istnieje takie c∈[ ]
a,b , Ŝe( )
x dx f( )(
c b a)
f
b
a
−
∫
= .Wartość f
( )
c nazywamy średnią wartością funkcji f w przedziale[ ]
a,b .Przykład 3. Obliczyć średnią wartość funkcji f w podanym przedziale :
a) f
( )
x =2x−3 ;[ ]
2,4 .Mamy a=2 , b=4 oraz
( ) [ ]
44
= +
=
−
=
∫
−( )
32 6 =
= c
f .
b) f
( )
x =2 x−x ,[ ]
4,9 .Mamy a=4 , b=9 oraz
(
−)
= − = − − + = − − + =∫
3 2 3 2 3 2 3 29
4 2 3
9
4
24 2 1 3 9 4 2 3 1 3 4 4 2 4 1 3 9 4 2 9 1 3 4 2
1 3
2 x xdx 4 x x
6 8 43 3 10 2 2 40 1 36 3 8
32 2
36−81− + = − − − − + =− .
PoniewaŜ b−a =9−4=5 , to średnia wartość funkcji f w przedziale
[ ]
4,9 jest równa( )
3043 5
6 43 =−
− ⋅
= c
f .
Całka niewłaściwa
Niech f :
[
a,b)
→Ρ , gdzie b∈Ρ lub b=+∞ . JeŜeli dla kaŜdego c∈( )
a,b istnieje całka oznaczona∫ ( )
c
a
dx x
f oraz istnieje skończona granica
∫ ( )
→ −
=
c
a b
c f x dx
A lim ,
to A nazywamy całką niewłaściwą funkcji f i oznaczamy
∫
b( )
a
dx x f .
Mówimy teŜ, Ŝe całka niewłaściwa jest zbieŜna. JeŜeli granica → −
∫ ( )
c
a b
c f x dx
lim nie istnieje
lub jest nieskończona, to mówimy, Ŝe całka niewłaściwa jest rozbieŜna.
Podobnie w przypadku f :
(
a,b]
→Ρ , gdzie a∈Ρ lub a=−∞ .Przykład 4. Obliczyć całki niewłaściwe:
a) +∞
∫
1 2
1 dx x
Funkcja f :
[
1,+∞)
→Ρ określona wzorem( )
21 x x
f = jest ciągła, więc dla kaŜdego
[
+∞)
∈1,
c całka oznaczona
∫
c dx1 x
2
1 istnieje. Zatem
1 1 1
1 lim 1 lim
1 lim
1 1 2 1
2 =
− +
=
−
=
= →+∞ →+∞ →+∞
+∞
∫ ∫
c dx x
dx x
x c
c c
c
c .
b) +∞
∫
1
1dx x
[ ]
=(
−)
=+∞=
= →+∞ →+∞ →+∞
+∞
∫
1 lim∫
1 lim ln 1 lim ln ln11 1
c x
xdx
xdx c
c c
c
c .
Całka jest rozbieŜna.
c)
∫
40
1 dx x
[ ]
2 lim(
2 2)
21 lim 1 lim
0 1
0 1
0 4
0
=
−
=
=
= → +
∫
→ + → +∫
dx x cx dx
x c c c c c .
d)
∫
3 −1 1
1 dx x
( )
[
−]
=(
−( )
−)
=+∞− =
− = →+
∫
→+ →+∫
11 lim 11 lim ln 1 lim 1 ln2 ln 13 1
3
1 3
1
c x
x dx
x dx c c c c c .
Całka jest rozbieŜna.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania Zadanie 1. Obliczyć całki oznaczone:
a)
∫
4(
−)
2
5
2x dx e)
∫
31 3
1 dx
x i)
∫
2 ⋅ +1
2 1
2x ex dx
c)
∫
+1
0 2 1
1 dx
x g)
∫
+4
1 2 3
3
2 dx
x x
x k)
∫
⋅ −1
0
dx e x x
d)
∫
−2
13 2
1 dx
x h)
∫
+1
0 3
2 dx
e x l)
∫
⋅3
1
2 ln xdx x
Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:
a) y=x2,y=5x g) , 0, 0, 2
1
1 = = =
− +
= y x x
y x
b) y=x3,y=4x h) 2 1, 2
25
16 x y x
y= + =
c) y=x2,y=2−x2 i) y= x3 −2x2 −3x,y=0,x=1,x=2 d) y=x2,y= x+2 j) y=10x,y=10,y=100,x=0 e) y=x2 −4x−5,y=0,x=1,x=4 k) y=ex,y=e−x,x=1
f) 4
, 17
1 =− +
= y x
y x l) y= x2 −4,y =4−x2
Zadanie 3. Obliczyć średnią wartość funkcji na podanym przedziale:
a) f
( )
x =3x2 +2x=1;[ ]
0,1 c) f( )
x =e2x+5;[ ]
0,1b)
( )
;[ ]
1,24 1 x x
f = d) f
( )
x =2x⋅ex2−4;[
−2,2]
Zadanie 4. Obliczyć całki niewłaściwe:
a)
∫
∞
− 0
dx
ex d)
∫
10 2
1 dx
x g) +∞
∫
1
1 dx x b)
∫
∞
− 0
2 dx3x e)
∫
2−0 3
2dx
x h)
∫
−
8
0
3
2 1 dx
x x c) +∞
∫
−1
dx
e x f)
∫
80 3 2
1 dx x
i)
∫
− +
0
1 1
1 dx x
Odpowiedzi Zadanie 1.
a) 2
d) ln4 3
1 g) 3 4
5 36 5
106+ j)
e15 −e1 b) 1
e) 9
4 h) 6 3
2 1 2
1e − e k) 2 1
+
−e c) ln3
2
1 f)
2 2 13 2
3e2 + e− i) e5 −e2 l)
9 3 26 ln
9 −
Zadanie 2.
a) 6
125 d)
2
9 g) ln 3
j) ln10 190− 90
b) 8 e) 24
h) 9
20 k) 2 1 2
+ − e e
c) 3
8 f) 2ln4
32
255− i)
12
65 l)
3 64
Zadanie 3.
a) 3
b) ln2 4
1 c)
2
5
7 e
e − d) 0
Zadanie 4.
a) 1 d) całka rozbieŜna g) całka rozbieŜna
b) 3ln2
1 e) całka rozbieŜna h) 58
c) e
1 f) 6 i) całka rozbieŜna