Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x, y) = p

ZESTAW 13. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH.

Przykładowe rozwiązania zadań.

Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x, y) = p

1 − x ² − y ² .

Rozwiązanie: Ponieważ pierwiastki stopni parzystych istnieją tylko dla wyrażeń nieujemnych, więc dziedziną funkcji będzie zbiór par (x, y), dla których 1 − x ² − y ² ­ 0, czyli x ² + y ² ¬ 1. Jest to koło (razem z brzegiem) o środku w punkcie (0, 0) i promieniu r = 1.

Zadanie 2. Oblicz lim (x,y)→(0,0) f (x, y), gdy f (x, y) = x ³ − y ³ x − y .

Rozwiązanie: Ponieważ funkcja nie jest określona w punkcie P 0 = (0, 0), więc wyrażenie x ³ − y ³

x − y musimy przekształcić.

W tym celu stosujemy wzór na różnicę sześcianów. Mamy więc:

lim (x,y)→(0,0)

x ³ − y ³

x − y = lim (x,y)→(0,0)

(x − y)(x ² + xy + y ² )

x − y = lim (x,y)→(0,0) (x ² + xy + y ² ) = 0 Zadanie 3. Zbadaj ciagłość funkcji f (x, y) =

 5 − x − y dla x 6= 1, y 6= 2 1 dla x = 1, y = 2

Rozwiązanie: Funkcja f (x, y) jest określona w całej płaszczyźnie, więc również w punkcie P 0 = (1, 2). Zauważmy, że f (1, 2) = 1. Obliczmy

lim (x,y)→(1,2) (5 − x − y) = 2.

Ponieważ f (1, 2) 6= lim (x,y)→(1,2) (5 − x − y) zatem funkcja f (x, y) nie jest ciągła w punkcie P 0 = (1, 2).

Zadanie 4. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla funkcji u = f (x, y).

a) u = xy ² + 3y ³ + 1

Rozwiązanie: Najpierw obliczamy pochodną względem zmiennej x traktując przy tym zmienną y jako stałą. Czyli u ⁰ _x = y ² . Następnie obliczamy pochodną względem zmiennej y traktując zmienną x jako stałą. Czyli u ⁰ _y = 2xy + 9y ²

b) u = ln(2x − 3y ² )

Rozwiązanie: Zróżniczkujmy u jako funkcję złożoną u = lnv, gdzie v = (2x − 3y ² ). Ze wzorów na pochodne mamy u ⁰ _v = 1

v , v ⁰ _x = 2 i v ⁰ _y = 6y.

Na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej mamy

u ⁰ _x = u ⁰ _v · v ⁰ _x oraz u ⁰ _y = u ⁰ _v · v ⁰ _y . Stąd

u ⁰ _x = 1

v · 2 oraz u ⁰ _y = 1

v · 6y, gdzie v = (2x − 3y ² ), czyli

u ⁰ _x = 2

2x − 3y ² i u ⁰ _y = 6y 2x − 3y ² . Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x, y), gdy:

a) f (x, y) = 1 p x ² + y ² b) f (x, y) = √

xy

c) f (x, y) = xe ^x+y

d) f (x, y) = 1 x + y

e) f (x, y) = √ x + √

y

f) f (x, y) = ln(4 − x ² − y ² )

g) f (x, y) = 1

x + x

x ² + y ² − 2 h) f (x, y) = p

9 − x ² − y ²

1

i) f (x, y) = 1 ln(|xy|) j) f (x, y) = 1

x ² − 2x − 3 + lny

k) f (x, y) = 1 ln(xy)

Odpowiedź:

a) Cała płaszczyzna bez punktu (0, 0).

b) Pierwsza i trzecia ćwiartka układu współrzędnych razem z osiami OX i OY . c) Cała płaszczyzna.

d) Cała płaszczyzna bez prostej y = −x.

e) Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych razem z brzegiem.

f) Koło bez brzegu o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r = 2.

g) Cała płaszczyzna bez osi OY i okregu o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r = √ 2.

h) Koło o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r = 3 wraz z brzegiem.

i) Cała płaszczyzna bez osi OX i OY oraz bez hiperboli y = 1 x . j) I i II ćwiartka układu współrzędnych bez osi: x = −1, x = 3, y = 0.

k) I i III ćwiartka układu współrzędnych bez osi OX i OY oraz bez hiperboli y = 1 x . Zadanie 2. Oblicz lim (x,y)→(0,0) f (x, y), gdy:

a) f (x, y) = x + 2y b) f (x, y) = x ² + y ²

c) f (x, y) = e ^x+y − 1 x + y

d) f (x, y) = e ^x

^+y

− 1 x ² + y ²

e) f (x, y) =

p 9 + x ² + y ² − 3 x ² + y ² f) f (x, y) = x ² + y ²

p x ² + y ² + 1 − 1

Odpowiedź:

a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 e) 1

6

f) 2

Zadanie 3. Zbadaj ciągłość funkcji f (x, y) w punkcie (0, 0) :

a) f (x, y) =

 x ² + y ² dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0)

b) f (x, y) =







e ^x

^+y

− 1

x ² + y ² dla (x, y) 6= (0, 0) 1 dla (x, y) = (0, 0)

c) f (x, y) =







p 9 + x ² + y ² − 3

x ² + y ² dla (x, y) 6= (0, 0)

2 dla (x, y) = (0, 0)

d) f (x, y) =







e ^x

^+y

− 1

p x ⁴ + y ⁴ dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0)

e) f (x, y) =

( 6x − 3y

e ^2x−y − 1 dla (x, y) 6= (0, 0) 3 dla (x, y) = (0, 0)

Odpowiedź:

a) Funkcja jest ciągła b) Funkcja jest ciągła

c) Funkcja nie jest ciągła

d) Funkcja jest ciągła

e) Funkcja jest ciągła

2

Zadanie 4. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla podanych funkcji u = f (x, y):

a) u = x ³ + 2y ⁵ + 2x + e b) u = xy ² + 3y ³ + 1

c) u = 1 x + 1

y

d) u = e ^x

^+y

+ 2x e) u = xy − 3

x ² + y ² f) u = 2 ^x

^−2y g) u = 1

x + x

x ² + y ²

h) u = p

1 − x ² − y ² i) u = ln(2x − 3y ² ) j) u = x + y

x − y + 1 k) u = x

y

l) u = 2 − e ^−x

^−y

m) u = ln x

y

Odpowiedź:

a) u ⁰ _x = 3x ² + 2, u ⁰ _y = 10y ⁴ b) u ⁰ _x = y ² , u ⁰ _y = 2xy + 9y ²

c) u ⁰ _x = − 1

x ² , u ⁰ _y = − 1 y ²

d) u ⁰ _x = 2xe ^x

^+y

+ 2, u ⁰ _y = 3y ² e ^x

^+y

e) u ⁰ _x = y ³ − x ² y + 6x

(x ² + y ² ) ² , u ⁰ _y = x ³ − xy ² + 6y (x ² + y ² ) ² f) u ⁰ _x = 2x · 2 ^x

^−2y · ln2, u ⁰ _y = −2 · 2 ^x

^−2y · ln2 g) u ⁰ _x = − 1

x ² + y ² − x ²

(x ² + y ² ) ² , u ⁰ _y = −2xy (x ² + y ² ) ² h) u ⁰ _x = −x

p 1 − x ² − y ² , u ⁰ _y = −y p 1 − x ² − y ² i) u ⁰ _x = 2

2x − 3y ² , u ⁰ _y = −6y 2x − 3y ² j) u ⁰ _x = −2y

(x − y) ² , u ⁰ _y = 2x (x − y) ² k) u ⁰ _x = 1

y , u ⁰ _y = − x y ²

l) u ⁰ _x = 2xe ^−x

^−y

, u ⁰ _y = 2ye ^−x

^−y

m) u ⁰ _x = 1

x , u ⁰ _y = − 1 y

3