Je±li np

Zadanie: Niech T b¦dzie operatorem na przestrzeni X = x ∈ C^Z : ||x||₂ < ∞ nym wzorem T x(n) = x(n + 1). Czy istniej¡ dwa niezerowe ci¡gi x, y ∈ X takie, »eda- hTⁿx, T^myi = 0 dla wszystkich n, m ≥ 0? Jaka jest odpowied¹, gdy zast¡pimy X prze- strzeni¡ Y = x ∈ C^Z+ : ||x||₂ < ∞

?

Rozwi¡zanie: Tak. Niech T = {z ∈ C : |z| = 1} i niech x, y b¦d¡ wspóªczynni- kami rozwini¦cia w szereg Fouriera funkcji f, g ∈ L²(T ) o rozª¡cznych no±nikach. Wówczas hTⁿx, T^myi =R

T z¯ⁿf (z) z^mg(z)dz = 0¯ .

Je±li np. f = 1{z : <z>0}, g = 1 − f, to x(n) = (−1)ⁿy(n) = _n² sin ^nπ₂

dla n 6= 0, x(0) = y(0) = π.

W przestrzeni Y takie ci¡gi nie istniej¡, bowiem gdyby istniaªy, to x(n)y(m) = hTⁿx, T^myi − hTⁿ⁺¹x, T^m+1yi = 0, przez co x = 0 lub y = 0.

A co je±li rozwa»ymy operator S na Y taki, »e Sx(n) = x(n − 1), Sx(0) = 0?

Zadanie: ›aba porusza si¦ po kracie Z² skokami o ustalonej dªugo±ci. Po pewnej liczbie skoków »aba powróciªa do punktu wyj±cia. Udowodni¢, »e wykonaªa parzyst¡ liczb¦ skoków.

Rozwi¡zanie: Zapis 2^a||z b¦dzie oznaczaª, »e 2^a|z i 2^a+16 |z (z 6= 0). Przypu±¢my, »e x, y ∈ Z, 2^k||x i 2^l||y. Wówczas 2^{2 max(k,l)}||x²+ y² je±li k 6= l, za± 2^2k+1||x² + y² je±li k = l.

Niech z oznacza kwadrat dªugo±ci skoku i niech 2^a||z. Przez (xi, y_i) oznaczmy wektory kolejnych skoków »aby, i = 1, 2, ..., m. Skoro »aba powróciªa do punktu wyj±cia, P xi = 0 = P yi. Ponadto x²i + y_i² = z. St¡d:

m z = 2X

i<j

(x_ix_j + y_iy_j) .

Je±li a jest parzyste, to na mocy pocz¡tkowej uwagi z równo±ci x²i + y_i² = z wynika b¡d¹ 2^a/2||x_i i 2^a/2|y_i, b¡d¹ 2^a/2|x_i i 2^a/2||y_i (przypadek xi = 0 lub yi = 0 jest tu uwzgl¦dniony).

W ka»dym przypadku 2^a|x_ix_j + y_iy_j, wi¦c 2|m.

Je±li za± a jest nieparzyste, to wobec pocz¡tkowej uwagi otrzymujemy 2^(a−1)/2||x_i oraz 2^(a−1)/2||y_i, czyli ponownie 2^a|x_ix_j + y_iy_j, sk¡d wynika 2|m.

Zadanie: Czy funkcja f klasy C^∞(R)taka, »e dla ka»dego x ∈ R pewna pochodna f⁽ⁿ⁾(x) = 0 musi by¢ wielomianem?

Rozwi¡zanie: Tak. Niech Fn = x ∈ R : f⁽ⁿ⁾(x) = 0

, Gn = Int F_n. Poniewa» Fn s¡

domkni¦te oraz S Fn = R, wobec twierdzenia Baire'a na ka»dym domkni¦tym odcinku I pewien zbiór Fn∩ I ma niepuste wn¦trze. Innymi sªowy G = S Gn jest g¦sty w R.

Je±li pewna pochodna funkcji zeruje si¦ na pewnym przedziale, to wszystkie jej pochodne wy»szych rz¦dów równie» s¡ stale równe zero na tym przedziale. Zbiory Gn tworz¡ zatem ci¡g wst¦puj¡cy.

Poniewa» f⁽ⁿ⁾jest staªa na ka»dej skªadowej zbioru Gn+1, wi¦c ka»da taka skªadowa albo jest skªadow¡ Gn, albo jest z Gn rozª¡czna. Indukcyjnie dowodzi si¦, »e ka»da skªadowa zbioru Gn+k (k ≥ 0) ma t¦ wªasno±¢. Niech J b¦dzie skªadow¡ zbioru G i niech n b¦dzie indeksem o tej wªasno±ci, »e Gn∩ J jest niepuste. Poniewa» Gnzawiera si¦ w G, wi¦c Gn∩ J zawiera pewn¡ skªadow¡ J⁰ zbioru Gn. Dla ka»dego k skªadowa zbioru Gn+k∩ J zawieraj¡ca J⁰ nie jest rozª¡czna z Gn, a wi¦c jest równa J⁰. St¡d wynika, »e J⁰ jest skªadow¡ zbioru G, czyli J⁰ = J. Podsumowuj¡c, ka»da skªadowa zbioru G jest skªadow¡ pewnego Gn.

1

Je±li f⁽ⁿ⁾ jest stale równa zero na (a, b) i (b, c), to jest stale równa zero na (a, c), zatem

»adne dwie skªadowe Gn (a wi¦c równie» »adne dwie skªadowe G) nie mog¡ mie¢ wspólnego ko«ca. Wynika st¡d, »e G^c nie zawiera punktów izolowanych.

Przypu±¢my, »e G^c jest niepuste. Wówczas, ponownie na mocy twierdzenia Baire'a, istnieje n oraz niepusty zbiór A = G^c∩ (a, b) zawarty w pewnym Fn. Bez utraty ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e a, b ∈ G^c. Dla ka»dego x ∈ A istnieje ci¡g xj ∈ A \ {x} zbie»ny do x.

Otrzymujemy:

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = lim

j→∞

f⁽ⁿ⁾(x_j) − f⁽ⁿ⁾(x) x_j− x = 0 , a wi¦c A ⊆ Fn+1. Indukcyjnie  A ⊆ Fn+k (k ≥ 0).

Niech J b¦dzie skªadow¡ zbioru G zawart¡ w (a, b); oba jej ko«ce nale»¡ do A. Na J funkcja f jest wielomianem stopnia mniejszego ni» n, bowiem f^(n+k) zeruje si¦ na ko«cach J dla wszystkich k ≥ 0. Zatem J ⊆ Fn i, wobec dowolno±ci J, (a, b) ⊆ Fn. St¡d wynika, »e (a, b) ⊆ G, co przeczy wcze±niejszemu stwierdzeniu, »e G^c∩ (a, b) jest niepuste.

Uzyskana sprzeczno±¢ dowodzi, »e G = R, czyli R jest skªadow¡ G. St¡d wynika, »e R jest skªadow¡ pewnego Gn, a wi¦c f jest wielomianem stopnia mniejszego ni» n.

Zadanie: Czy przestrze« liczb caªkowitych z topologi¡ generowan¡ przez wszystkie obu- stronnie niesko«czone ci¡gi arytmetyczne jest metryzowalna?

Rozwi¡zanie: Tak. Jest ona homeomorczna z orbit¡ generatora w odometrze silniowym.

Mo»na te» wskaza¢ metryk¦ bezpo±rednio:

d(x, y) = 1 − X

n|x−y

1

2ⁿ = X

n6 |x−y

1 n².

Pierwsze sumowanie rozci¡ga si¦ na wszystkie dodatnie dzielniki liczby x − y, drugie  na dodatnie niedzielniki x − y.

Šatwo sprawdzi¢, »e d jest metryk¡. Niech k b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡. Okre±lmy r = 2^−k. Wowczas kula B(x, r) w metryce d o srodku x i promieniu r jest obustronnie nie- skonczonym ciagiem arytmetycznym o ró»nicy równej najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci liczb 1, 2, ..., k i zawieraj¡cym x. Zatem faktycznie rozwa»ana topologia pochodzi od d.

2