Przykªadowe zadania na kolokwium z topologii

Przykªadowe zadania na kolokwium z topologii

1. Znale¹¢ uzupeªnienie przestrzeni

X = {(x_n) ∈ {0, 1}^N : (x_n)jest od pewnego miejsca staªy}

z metryk¡

d((x_n), (y_n)) =

∞

X

k=1

|xk− yk| 2^k .

2. Udowodnij, »e je±li (X, d), (Y, e) s¡ przestrzeniami metrycznymi oraz f : X → Y jest funkcj¡ jednostajnie ci¡gª¡, to f przedªu»a si¦ do (jednostajnie) ci¡gªej funkcji z uzupeªnienia X w uzupeªnienie Y .

Innymi sªowy: je±li ( ˜X, ˜d) jest uzupeªnieniem (X, d), za± π : X → ˜X jest zanu- rzeniem wyst¦puj¡cym w denicji uzupeªnienia, i analogicznie ( ˜Y , ˜e) jest uzupeª- nieniem (Y, e), a ψ : Y → ˜Y odpowiednim zanurzeniem, to istnieje (jednostajnie) ci¡gªa funkcja ˜f : ˜X → ˜Y taka, »e ˜f (π(x)) = ψ(f (x)) dla wszystkich x ∈ X.

Wskazówka: narysowa¢ cztery przestrzenie X, ˜X, Y, ˜Y i dziaªaj¡ce mi¦dzy nimi odwzorowania. Post¦powa¢ jak w zadaniach z listy 5.

3. Udowodnij, »e iloczyn kartezja«ski (z metryk¡ suma (lub jak¡kolwiek jej równo- wa»n¡)) przestrzeni caªkowicie ograniczonych jest caªkowicie ograniczony.

4. Kiedy wykres {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y funkcji f : X → Y jest zbiorem zwartym?

Uwaga: To zadanie jest trudne! Trzeba poda¢ warunki na X, Y i f, uzasadni¢, »e s¡ konieczne, oraz »e s¡ wystarczaj¡ce.

Wersja sporo ªatwiejsza: Kiedy wykres funkcji ci¡gªej jest zbiorem zwartym?

5. Czy zbiór funkcji

{e^−ax : a ≥ 0}

jest zwarty w przestrzeni C(R+) z metryk¡ supremum? (R+ = (0, ∞)) Czy zbiór funkcji

{e^−ax : a ≥ 0}

jest zwarty w C(I), gdzie I = [1, 2]? Co trzeba doda¢, by byª zwarty?

6. Wskaza¢ homeomorzm mi¦dzy domkni¦t¡ kul¡ jednostkow¡ w R³ a podzbiorem kostki Hilberta.

7. Wskaza¢ homeomorzm mi¦dzy zbiorem



(x_n) : ∀_k|x_k| ≤ 1 2^k



z metryk¡

(a) suma, (b) supremum

oraz podzbiorem kostki Hilberta.