• Nie Znaleziono Wyników

Całka nieoznaczona

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całka nieoznaczona"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 10, 2013-12-20

Całka nieoznaczona

Definicja: Niech dana będzie funkcja f : I → R, gdzie I ⊂ R jest przedziałem. Funkcją pierwotną tej funkcji nazywamy każdą funkcję F : I → R taką, że (∀x ∈ I) F0(x) = f (x).

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy symbolem:

Z

f (x)dx

Uwaga 1: Przedział I może być domknięty I =< a, b > . Wtedy w końcach przedziału F0(a) i F0(b) są pochodnymi jednostronnymi.

Uwaga 2: Jeżeli istnieje funkcja pierwotna funkcji f , to istnieje nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się tylko o stałą:

Jeżeli F10(x) = f (x) i F20(x) = f (x) to (F1(x) − F2(x))0 = 0 czyli F1(x) − F2(x) = C na przedziale I.

Uwaga 3: Operacją obliczania całki nieoznaczonej nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Większość technik obliczania pochodnych ma swoje odpowiedniki obliczania całek.

Całki nieoznaczone funkcji elementarnych

1.

Z

xαdx = xα+1

α + 1+ C , α 6= −1 2.

Z 1

xdx = ln |x| + C 3.

Z

exdx = ex+ C 4.

Z

sin xdx = − cos x + C 5.

Z

cos xdx = sin x + C

6.

Z 1

cos2xdx = tg x + C 7.

Z 1

sin2xdx = − ctg x + C 8.

Z 1

1 + x2dx = arc tg x + C 9.

Z 1

√1 − x2dx = arc sin x + C

10.

Z

sinh xdx = cosh x + C 11.

Z

cosh xdx = sinh x + C

12.

Z 1

cosh2xdx = tgh x + C

(2)

13.

Z 1

sinh2xdx = − ctgh x + C

Podstawowe własności całki nieoznaczonej

Zakładamy, że funkcje f, g : I → R są całkowalne. Wtedy:

1.

Z

af (x)dx = a

Z

f (x)dx

2.

Z

(f (x) + g(x))dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx

3.

Z

(f (x) − g(x))dx =

Z

f (x)dx −

Z

g(x)dx

Przykłady:

Z 

12x3− 6x2+ 4x − 5dx = 12

Z

x3dx − 6

Z

x2dx + 4

Z

x1dx − 5

Z

x0dx = 12x4 4 − 6x3

3 + 4x2

2 − 5x1

1 + C = 3x4− 2x3 + 2x2− 5x + C

Z

2x + 6√ x + 3

√x 4 x+ 2

x2

!

dx = 2

Z

x1dx+6

Z

x12dx+3

Z

x12dx−4

Z

x−1dx+2

Z

x−2dx = x2+ 6x32

3 2

+ 3x12

1 2

− 4 ln |x| + 2x−1

−1 + C = x2+ 4x√

x + 6√

x − 4 ln |x| − 2 x+ C

Z sin2x cos2xdx =

Z 1 − cos2x cos2x dx =

Z  1 cos2x − 1



dx =

Z 1

cos2xdx −

Z

dx = tg x − x + C

Z x2

x2+ 1dx =

Z x2+ 1 − 1 x2+ 1 dx =

Z

dx −

Z 1

x2+ 1dx = x − arc tg x + C Całkowanie przez podstawienie

Jeśli g : I1 → I2 jest różniczkowalna, f : I2 → R, i F : I2 → R jest funkcją pierwotną f ((∀t ∈ I2) F0(t) = f (t)) to istnieje poniższa całka:

Z

f (g(x)) · g0(x)dx = F (g(x)) + C

Uwaga: Technika ta jest odpowiednikiem obliczania pochodnej funkcji złożonej.

Przykład:

Z x x2+ 5dx Podstawiamy:

( t = x2 + 5 dt = 2xdx

)

, stąd xdx = 1 2dt

Z x

x2+ 5dx = 1 2

Z 1

tdt = 1

2ln |t| + C Wracamy do zmiennej x

Z x

x2+ 5dx = 1

2ln |x2+ 5| + C

Uwaga: W tym przykładzie t = g(x) = x2+ 5 , g0(x) = 2x , f (t) = 1 2t Przykłady:

Z

xex2dx =

t = x2 dt = 2xdx xdx = 12dt

=

Z 1

2etdt = 1

2et+ C = 1

2ex2 + C

(3)

Z sin x

cos2x + 1dx =

t = cos x dt = − sin xdx sin xdx = −dt

=

Z −1

t2+ 1dt = − arc tg t + C = − arc tg(cos x) + C

Z ex

√1 − e2xdx =

( t = ex dt = exdx

)

=

Z 1

√1 − t2dt = arc sin t + C = arc sin(ex) + C

Z x

x4+ 1dx =

t = x2 dt = 2xdx xdx = 12dt

=

Z 1

2dt

t2+ 1dt = 1

2arc tg t + C = 1

2arc tg(x2) + C

Z

x√

x2+ 1dx =

t = x2+ 1 dt = 2xdx xdx = 12dt

=

Z 1 2

√tdt = 1 2

t32

3 2

+ C = 1 3



x2+ 13+ C

Z ln3x x dx =

t = ln x dt = dx

x

=

Z

t3dt = 1

4t4+ C = 1

4ln4x + C

Z sin x cos x sin2x + 4dx =

( t = sin x dt = cos xdx

)

=

Z t

t2+ 4dt =

s = t2 dt = 2sds sds = 12dt

=

Z 1 2

1

sds = 1

2ln |s| + C = 1

2ln |t2+ 4| + C = 1

2ln | sin2x + 4| + C Podstawienie liniowe: t = ax + b

Jeżeli F0(t) = f (t) oraz a, b ∈ R , a 6= 0 to

Z

f (ax + b)dx = 1

aF (ax + b) + C Przykłady:

Z 1

2x + 7dx = {t = 2x + 7} = 1

2ln |2x + 7| + C

Z

sin(4x − 1)dx = {t = 4x − 1} = −1

4cos(4x − 1) + C

Z

e−2xdx = {t = −2x} = −1

2e−2x+ C

Z 1

x2+ 4dx =

Z 1

4(x2 4 + 1)

dx = 1 4

Z 1

x 2

2

+ 1

dx = {t = x 2} = 1

2arc tg(x 2) + C

Z 1

x2+ 4x + 13dx =

Z 1

(x + 2)2+ 9dx =

Z 1

9((x + 2)2 9 + 1)

dx = 1 9

Z 1

x + 2 3

2

+ 1 dx =

{t = x + 2 3 } = 1

3arc tg(x + 2 3 ) + C Podstawienie za mianownik

Jeżeli licznik funkcji podcałkowej jest pochodną mianownika pomnożoną przez stałą, to podstawiając nową zmienną za mianownik mamy:

Z af0(x) f (x) dx =

( t = f (x) dt = f0(x)dx

)

=

Z a

tdt = a ln |t| + C = a ln |f (x)| + C Przykłady:

Z sin x cos xdx =

t = cos x dt = − sin xdx sin xdx = −dt

=

Z −1

t dt = − ln |t| + C = − ln | cos x| + C

Z 6x2+ 8 x3+ 4xdx =

t = x3+ 4x dt = (3x2+ 4)dx dx = 2dt

=

Z 2

tdt = 2 ln |t| + C = 2 ln |x3+ 4x| + C

Z ex

ex− 2dx =

( t = ex− 2 dt = exdx

)

=

Z 1

tdt = ln |t| + C = 2 ln |ex− 2| + C

(4)

Z 1

x ln xdx =

t = ln x dt = 1

xdx

=

Z 1

tdt = ln |t| + C = 2 ln | ln x| + C Całkowanie przez części

Jeśli I jest przedziałem, f, g : I → R są różniczkowalne oraz funkcja f0g jest całkowalna to:

Z

f (x) · g0(x)dx = f (x) · g(x) −

Z

f0(x) · g(x)dx

Uwaga: Technika ta jest odpowiednikiem obliczania pochodnej iloczynu funkcji.

Przykład:

Z

x ln xdx

Całkujemy przez części:

( f (x) = ln x g0(x) = x

f0(x) = 1x g(x) = R xdx = x22

)

Z

x ln xdx = ln x · x2 2

Z 1

x· xdx = x2

2 ln x −

Z

xdx = x2

2 ln x − x + C Przykłady:

Z

x sin xdx =

( f (x) = x g0(x) = sin x f0(x) = 1 g(x) = − cos x

)

= −x cos x−

Z

− cos xxdx = −x cos x+sin x+

C

Z

exsin xdx =

( f (x) = ex g0(x) = sin x f0(x) = ex g(x) = − cos x

)

= −excos x −

Z

−excos xdx = −excos x +

Z

excos xdx Obliczamy:

Z

excos xdx =

( f (x) = ex g0(x) = cos x f0(x) = ex g(x) = sin x

)

= exsin x −

Z

exsin xdx Stąd mamy:

Z

exsin xdx = −excos x + exsin x −

Z

exsin xdx 2

Z

exsin xdx = ex(sin x − cos x) + C

Z

exsin xdx = 1

2ex(sin x − cos x) + C

Z

arc tg xdx =

f (x) = arc tg x g0(x) = 1 f0(x) = 1

1 + x2 g(x) = x

= x arc tg x −

Z x

1 + x2dx = {t = 1 + x2, dt = 2xdx} = x arc tg x −

Z 1

2tdt = x arc tg x − 1

2ln |1 + x2| + C Wzory rekurencyjne

Przy obliczaniu niektórych całek wygodnie jest czasem wyprowadzić pewien wzór rekuren- cyjny.

Przykład: Obliczyć In=

Z 1

(x2+ 1)ndx Najpierw obliczymy:

Z x

(x2+ 1)ndx =

( t = x2+ 1 dt = 2xdx

)

=

Z 1

2tndt = −1

2(n − 1)tn−1 + C = −1

2(n − 1)(x2+ 1)n−1 + C, n = 2, 3, 4, . . .

In=

Z 1

(x2+ 1)ndx =

Z 1 + x2− x2 (x2+ 1)n dx =

Z 1

(x2+ 1)n−1dx −

Z x2 (x2+ 1)ndx

(5)

Poniższą całkę obliczamy całkując przez części:

Z x2

(x2+ 1)ndx =

f (x) = x g0(x) = x (x2+ 1)n f0(x) = 1 g(x) = −1

2(n − 1)(x2 + 1)n−1

= −x

2(n − 1)(x2+ 1)n−1

Z −1

2(n − 1)(x2+ 1)n−1dx = −x

2(n − 1)(x2+ 1)n−1+ 1 2(n − 1)

Z 1

(x2+ 1)n−1dx = −x

2(n − 1)(x2+ 1)n−1+ 1

2(n − 1)In−1 , n = 2, 3, 4, . . . stąd:

In= In−1+ x

2(n − 1)(x2+ 1)n−1 1

2(n − 1)In−1 = x

2(n − 1)(x2+ 1)n−1 +2n − 3

2n − 2In−1 , n = 2, 3, 4, . . .

Obliczając jeszcze:

I1 =

Z 1

(x2+ 1)1dx = arc tg x + C Dostajemy wzór rekurencyjny:

I1 = arc tg x + C

In= x

2(n − 1)(x2+ 1)n−1 +2n − 3

2n − 2In−1 , n = 2, 3, 4, . . . Korzystając z tego wzoru obliczamy:

Z 1

(x2+ 1)3dx = I3 I2 = x

2(x2+ 1) +1

2I1 = x

2(x2+ 1) +1

2arc tg x + C I3 = x

4(x2+ 1)2 +3

4I2 = x

4(x2+ 1)2 + 3x

8(x2+ 1) + 3

8arc tg x + C Całkowanie funkcji wymiernej

Funkcja wymierna R(x) jest funkcją w postaci: R(x) = P (x)

Q(x) , gdzie P, Q są wielomianami.

Całki z prostych funkcji wymiernych:

Z 1

x − adx = {t = x − a} = ln |x − a| + C

Z 1

(x − a)2dx = {t = x − a} = −1 x − a + C

Z 1

(x − a)3dx = {t = x − a} = −1

2(x − a)2 + C

Z 1

x2+ 1dx = arc tg x + C

Z x

x2+ 1dx =

( t = x2+ 1 dt = 2xdx

)

=

Z 1

2tdt = 1

2ln |t| + C = 1

2ln |x2+ 1| + C

Z x

(x2+ 1)2dx =

( t = x2+ 1 dt = 2xdx

)

=

Z 1

2t2dt = −1

2t + C = −1

2(x2+ 1) + C

Z 1

(x2+ 1)2dx - korzystamy ze wzoru rekurencyjnego

Z 1

x2− 6x + 13dx =

Z 1

(x − 3)2+ 4dx =

Z 1

4(x − 3)2 4 + 1

dx = 1 4

Z 1

x − 3 2

2

+ 1 dx =

{t = x − 3 2 } = 1

2arc tgx − 3 2

+ C

Cytaty

Powiązane dokumenty

Każda funkcja cia ¸gła jest całkowalna... CAŁKOWANIE

O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje

O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje

Do obliczania całek funkcji wielu zmiennych możemy stosowad twierdzenie Fubiniego, które sprowadza takie całki do obliczania tzw.. Ale z punktu widzenia całki

W dalszej cz˛e´sci wykładu b˛edziemy opuszczali nawiasy klamrowe w definicji całki nieoznaczonej, a wi˛ec np.. Całkowanie przez podstawienie- podstawienie liniowe

Szczególne rozwiązywanie równania niejednorodnego możemy otrzymać metodą przewidywania (przewidujemy, że rozwiązanie jest funkcją (z parametrami), tego samego

[r]

Z algebry wiadomo (A+C), że każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu (być może równego zeru) oraz ułamków prostych... 3A+B129