SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 10, 2013-12-20
Całka nieoznaczona
Definicja: Niech dana będzie funkcja f : I → R, gdzie I ⊂ R jest przedziałem. Funkcją pierwotną tej funkcji nazywamy każdą funkcję F : I → R taką, że (∀x ∈ I) F0(x) = f (x).
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy symbolem:
Z
f (x)dx
Uwaga 1: Przedział I może być domknięty I =< a, b > . Wtedy w końcach przedziału F0(a) i F0(b) są pochodnymi jednostronnymi.
Uwaga 2: Jeżeli istnieje funkcja pierwotna funkcji f , to istnieje nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się tylko o stałą:
Jeżeli F10(x) = f (x) i F20(x) = f (x) to (F1(x) − F2(x))0 = 0 czyli F1(x) − F2(x) = C na przedziale I.
Uwaga 3: Operacją obliczania całki nieoznaczonej nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Większość technik obliczania pochodnych ma swoje odpowiedniki obliczania całek.
Całki nieoznaczone funkcji elementarnych
1.
Z
xαdx = xα+1
α + 1+ C , α 6= −1 2.
Z 1
xdx = ln |x| + C 3.
Z
exdx = ex+ C 4.
Z
sin xdx = − cos x + C 5.
Z
cos xdx = sin x + C
6.
Z 1
cos2xdx = tg x + C 7.
Z 1
sin2xdx = − ctg x + C 8.
Z 1
1 + x2dx = arc tg x + C 9.
Z 1
√1 − x2dx = arc sin x + C
10.
Z
sinh xdx = cosh x + C 11.
Z
cosh xdx = sinh x + C
12.
Z 1
cosh2xdx = tgh x + C
13.
Z 1
sinh2xdx = − ctgh x + C
Podstawowe własności całki nieoznaczonej
Zakładamy, że funkcje f, g : I → R są całkowalne. Wtedy:
1.
Z
af (x)dx = a
Z
f (x)dx
2.
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx
3.
Z
(f (x) − g(x))dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx
Przykłady:
Z
12x3− 6x2+ 4x − 5dx = 12
Z
x3dx − 6
Z
x2dx + 4
Z
x1dx − 5
Z
x0dx = 12x4 4 − 6x3
3 + 4x2
2 − 5x1
1 + C = 3x4− 2x3 + 2x2− 5x + C
Z
2x + 6√ x + 3
√x − 4 x+ 2
x2
!
dx = 2
Z
x1dx+6
Z
x12dx+3
Z
x−12dx−4
Z
x−1dx+2
Z
x−2dx = x2+ 6x32
3 2
+ 3x12
1 2
− 4 ln |x| + 2x−1
−1 + C = x2+ 4x√
x + 6√
x − 4 ln |x| − 2 x+ C
Z sin2x cos2xdx =
Z 1 − cos2x cos2x dx =
Z 1 cos2x − 1
dx =
Z 1
cos2xdx −
Z
dx = tg x − x + C
Z x2
x2+ 1dx =
Z x2+ 1 − 1 x2+ 1 dx =
Z
dx −
Z 1
x2+ 1dx = x − arc tg x + C Całkowanie przez podstawienie
Jeśli g : I1 → I2 jest różniczkowalna, f : I2 → R, i F : I2 → R jest funkcją pierwotną f ((∀t ∈ I2) F0(t) = f (t)) to istnieje poniższa całka:
Z
f (g(x)) · g0(x)dx = F (g(x)) + C
Uwaga: Technika ta jest odpowiednikiem obliczania pochodnej funkcji złożonej.
Przykład:
Z x x2+ 5dx Podstawiamy:
( t = x2 + 5 dt = 2xdx
)
, stąd xdx = 1 2dt
Z x
x2+ 5dx = 1 2
Z 1
tdt = 1
2ln |t| + C Wracamy do zmiennej x
Z x
x2+ 5dx = 1
2ln |x2+ 5| + C
Uwaga: W tym przykładzie t = g(x) = x2+ 5 , g0(x) = 2x , f (t) = 1 2t Przykłady:
Z
xex2dx =
t = x2 dt = 2xdx xdx = 12dt
=
Z 1
2etdt = 1
2et+ C = 1
2ex2 + C
Z sin x
cos2x + 1dx =
t = cos x dt = − sin xdx sin xdx = −dt
=
Z −1
t2+ 1dt = − arc tg t + C = − arc tg(cos x) + C
Z ex
√1 − e2xdx =
( t = ex dt = exdx
)
=
Z 1
√1 − t2dt = arc sin t + C = arc sin(ex) + C
Z x
x4+ 1dx =
t = x2 dt = 2xdx xdx = 12dt
=
Z 1
2dt
t2+ 1dt = 1
2arc tg t + C = 1
2arc tg(x2) + C
Z
x√
x2+ 1dx =
t = x2+ 1 dt = 2xdx xdx = 12dt
=
Z 1 2
√tdt = 1 2
t32
3 2
+ C = 1 3
√
x2+ 13+ C
Z ln3x x dx =
t = ln x dt = dx
x
=
Z
t3dt = 1
4t4+ C = 1
4ln4x + C
Z sin x cos x sin2x + 4dx =
( t = sin x dt = cos xdx
)
=
Z t
t2+ 4dt =
s = t2 dt = 2sds sds = 12dt
=
Z 1 2
1
sds = 1
2ln |s| + C = 1
2ln |t2+ 4| + C = 1
2ln | sin2x + 4| + C Podstawienie liniowe: t = ax + b
Jeżeli F0(t) = f (t) oraz a, b ∈ R , a 6= 0 to
Z
f (ax + b)dx = 1
aF (ax + b) + C Przykłady:
Z 1
2x + 7dx = {t = 2x + 7} = 1
2ln |2x + 7| + C
Z
sin(4x − 1)dx = {t = 4x − 1} = −1
4cos(4x − 1) + C
Z
e−2xdx = {t = −2x} = −1
2e−2x+ C
Z 1
x2+ 4dx =
Z 1
4(x2 4 + 1)
dx = 1 4
Z 1
x 2
2
+ 1
dx = {t = x 2} = 1
2arc tg(x 2) + C
Z 1
x2+ 4x + 13dx =
Z 1
(x + 2)2+ 9dx =
Z 1
9((x + 2)2 9 + 1)
dx = 1 9
Z 1
x + 2 3
2
+ 1 dx =
{t = x + 2 3 } = 1
3arc tg(x + 2 3 ) + C Podstawienie za mianownik
Jeżeli licznik funkcji podcałkowej jest pochodną mianownika pomnożoną przez stałą, to podstawiając nową zmienną za mianownik mamy:
Z af0(x) f (x) dx =
( t = f (x) dt = f0(x)dx
)
=
Z a
tdt = a ln |t| + C = a ln |f (x)| + C Przykłady:
Z sin x cos xdx =
t = cos x dt = − sin xdx sin xdx = −dt
=
Z −1
t dt = − ln |t| + C = − ln | cos x| + C
Z 6x2+ 8 x3+ 4xdx =
t = x3+ 4x dt = (3x2+ 4)dx dx = 2dt
=
Z 2
tdt = 2 ln |t| + C = 2 ln |x3+ 4x| + C
Z ex
ex− 2dx =
( t = ex− 2 dt = exdx
)
=
Z 1
tdt = ln |t| + C = 2 ln |ex− 2| + C
Z 1
x ln xdx =
t = ln x dt = 1
xdx
=
Z 1
tdt = ln |t| + C = 2 ln | ln x| + C Całkowanie przez części
Jeśli I jest przedziałem, f, g : I → R są różniczkowalne oraz funkcja f0g jest całkowalna to:
Z
f (x) · g0(x)dx = f (x) · g(x) −
Z
f0(x) · g(x)dx
Uwaga: Technika ta jest odpowiednikiem obliczania pochodnej iloczynu funkcji.
Przykład:
Z
x ln xdx
Całkujemy przez części:
( f (x) = ln x g0(x) = x
f0(x) = 1x g(x) = R xdx = x22
)
Z
x ln xdx = ln x · x2 2 −
Z 1
x· xdx = x2
2 ln x −
Z
xdx = x2
2 ln x − x + C Przykłady:
Z
x sin xdx =
( f (x) = x g0(x) = sin x f0(x) = 1 g(x) = − cos x
)
= −x cos x−
Z
− cos xxdx = −x cos x+sin x+
C
Z
exsin xdx =
( f (x) = ex g0(x) = sin x f0(x) = ex g(x) = − cos x
)
= −excos x −
Z
−excos xdx = −excos x +
Z
excos xdx Obliczamy:
Z
excos xdx =
( f (x) = ex g0(x) = cos x f0(x) = ex g(x) = sin x
)
= exsin x −
Z
exsin xdx Stąd mamy:
Z
exsin xdx = −excos x + exsin x −
Z
exsin xdx 2
Z
exsin xdx = ex(sin x − cos x) + C
Z
exsin xdx = 1
2ex(sin x − cos x) + C
Z
arc tg xdx =
f (x) = arc tg x g0(x) = 1 f0(x) = 1
1 + x2 g(x) = x
= x arc tg x −
Z x
1 + x2dx = {t = 1 + x2, dt = 2xdx} = x arc tg x −
Z 1
2tdt = x arc tg x − 1
2ln |1 + x2| + C Wzory rekurencyjne
Przy obliczaniu niektórych całek wygodnie jest czasem wyprowadzić pewien wzór rekuren- cyjny.
Przykład: Obliczyć In=
Z 1
(x2+ 1)ndx Najpierw obliczymy:
Z x
(x2+ 1)ndx =
( t = x2+ 1 dt = 2xdx
)
=
Z 1
2tndt = −1
2(n − 1)tn−1 + C = −1
2(n − 1)(x2+ 1)n−1 + C, n = 2, 3, 4, . . .
In=
Z 1
(x2+ 1)ndx =
Z 1 + x2− x2 (x2+ 1)n dx =
Z 1
(x2+ 1)n−1dx −
Z x2 (x2+ 1)ndx
Poniższą całkę obliczamy całkując przez części:
Z x2
(x2+ 1)ndx =
f (x) = x g0(x) = x (x2+ 1)n f0(x) = 1 g(x) = −1
2(n − 1)(x2 + 1)n−1
= −x
2(n − 1)(x2+ 1)n−1 −
Z −1
2(n − 1)(x2+ 1)n−1dx = −x
2(n − 1)(x2+ 1)n−1+ 1 2(n − 1)
Z 1
(x2+ 1)n−1dx = −x
2(n − 1)(x2+ 1)n−1+ 1
2(n − 1)In−1 , n = 2, 3, 4, . . . stąd:
In= In−1+ x
2(n − 1)(x2+ 1)n−1− 1
2(n − 1)In−1 = x
2(n − 1)(x2+ 1)n−1 +2n − 3
2n − 2In−1 , n = 2, 3, 4, . . .
Obliczając jeszcze:
I1 =
Z 1
(x2+ 1)1dx = arc tg x + C Dostajemy wzór rekurencyjny:
I1 = arc tg x + C
In= x
2(n − 1)(x2+ 1)n−1 +2n − 3
2n − 2In−1 , n = 2, 3, 4, . . . Korzystając z tego wzoru obliczamy:
Z 1
(x2+ 1)3dx = I3 I2 = x
2(x2+ 1) +1
2I1 = x
2(x2+ 1) +1
2arc tg x + C I3 = x
4(x2+ 1)2 +3
4I2 = x
4(x2+ 1)2 + 3x
8(x2+ 1) + 3
8arc tg x + C Całkowanie funkcji wymiernej
Funkcja wymierna R(x) jest funkcją w postaci: R(x) = P (x)
Q(x) , gdzie P, Q są wielomianami.
Całki z prostych funkcji wymiernych:
Z 1
x − adx = {t = x − a} = ln |x − a| + C
Z 1
(x − a)2dx = {t = x − a} = −1 x − a + C
Z 1
(x − a)3dx = {t = x − a} = −1
2(x − a)2 + C
Z 1
x2+ 1dx = arc tg x + C
Z x
x2+ 1dx =
( t = x2+ 1 dt = 2xdx
)
=
Z 1
2tdt = 1
2ln |t| + C = 1
2ln |x2+ 1| + C
Z x
(x2+ 1)2dx =
( t = x2+ 1 dt = 2xdx
)
=
Z 1
2t2dt = −1
2t + C = −1
2(x2+ 1) + C
Z 1
(x2+ 1)2dx - korzystamy ze wzoru rekurencyjnego
Z 1
x2− 6x + 13dx =
Z 1
(x − 3)2+ 4dx =
Z 1
4(x − 3)2 4 + 1
dx = 1 4
Z 1
x − 3 2
2
+ 1 dx =
{t = x − 3 2 } = 1
2arc tgx − 3 2
+ C