• Nie Znaleziono Wyników

Elementy ci¡gów, szeregów, granic i ci¡gªo±ci funkcji

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Elementy ci¡gów, szeregów, granic i ci¡gªo±ci funkcji"

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

Elementy ci¡gów, szeregów, granic i ci¡gªo±ci funkcji

Informacje pomocnicze

Symbole nieoznaczone: , 00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1, 00, 0. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

= 0, −∞ < a < ∞ 0a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0+ = −∞, −∞ ≤ a < 0 0a = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0 = ∞, −∞ ≤ a < 0

a = 0, 0+≤ a < 1 a= ∞, 1 < a ≤ ∞

a = 0, −∞ ≤ a < 0 a= ∞, 0 < a ≤ ∞

1. Ci¡gi liczbowe

Twierdzenie(o arytmetyce granic ci¡gów)

Dla ci¡gów (an), (bn)zbie»nych lub rozbie»nych do ∞ lub −∞ zachodz¡:

a) lim

n→∞(an± bn) = lim

n→∞an± lim

n→∞bn; b) lim

n→∞(an· bn) = lim

n→∞an· lim

n→∞bn; c) lim

n→∞

an

bn = n→∞limlim an

n→∞bn, je±li lim

n→∞bn 6= 0;

d) lim

n→∞(an)p =

n→∞lim anp

, p ∈ Z \ {0};

f ) lim

n→∞

k

an= qk

n→∞lim an, k ∈ N \ {1};

o ile powy»sze dziaªania s¡ wykonywalne w zbiorze liczb rzeczywistych.

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

nα = 0, α > 0 c) lim

n→∞nα = +∞, α > 0 d) lim

n→∞an = 0, |a| < 1 e) lim

n→∞an= ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

n

n = 1 h) lim

n→∞

nα

an = 0 α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

logan

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

nn

n! = ∞ k) lim

n→∞an= ∞, a > 1 l) lim

n→∞an = 0, |a| < 1 m) lim

n→∞(1 + n1)n= e n) lim

n→∞(1 −n1)n= e−1 o) lim

n→∞(1 + an)n = ea p) lim

n→∞(1 + a1

n)an = e o ile (an) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).

Tabelka odczytywania monotoniczno±ci ci¡gu:

an+1− an an+1

an monotoniczno±¢

> 0 > 1 rosn¡cy

= 0 = 1 staªy

< 0 < 1 malej¡cy

≥ 0 ≥ 1 niemalej¡cy

≤ 0 ≤ 1 nierosn¡cy

(2)

2. Szeregi liczbowe

Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu:

Je±li szereg P

n=1

an jest zbie»ny to lim

n→∞an= 0. Krterium porównawcze:

Niech 0 ≤ an≤ bn dla ka»dego n > n0, gdzie n0 ∈ N. Je±li:

a) zbie»ny jest szereg P

n=1

bn to zbie»ny jest szereg P

n=1

an;

b) P

n=1

an = ∞to P

n=1

bn= ∞.

Krterium d'Alamberta:

Niech an ≥ 0dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

an+1

an ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas je±li:

a) g ∈ [0, 1) to szeregP

n=1

an jest zbie»ny;

b) g ∈ (1, ∞] to szereg P

n=1

an jest rozbie»ny.

Krterium Cauchy'ego

Niech an ≥ 0dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

n

an∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas je±li:

a) g ∈ [0, 1) to szeregP

n=1

an jest zbie»ny.

b) g ∈ (1, ∞] to szereg P

n=1

an jest rozbie»ny.

Uwaga: Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze ni» kryterium d'Alemberta  je±li szereg speªnia wa- runek kryterium d'Alemberta, to speªnia warunek Cauchy'ego.

Kryterium Leibniza:

Je»eli w szeregu przemiennym P

n=1

anpocz¡wszy od pewnego miejsca (wyrazu n0) bezwzgl¦dne war- to±ci wyrazów szeregu d¡»¡ monotonicznie do zera, to szereg P

n=1

an jest zbie»ny.

Uwaga: Niech szereg naprzemienny ma posta¢:

X

n=1

(−1)n+1an, gdzie an> 0 (1)

Wówczas, aby wykaza¢ zbie»no±¢ szeregu (1) z kryterium Leibniza nale»y stwierdzi¢, »e:

• lim

n→∞an = 0

ci¡g (an) pocz¡wszy od pewnego wyrazu n0 jest malej¡cy.

(3)

Szereg harmoniczny:

Szeregiem harmonicznym o wykªadniku α ∈ R nazywamy szereg postaci P

n=1 1

nα. Szereg ten jest zbie»ny dla α > 1, a rozbie»ny dla α < 1.

Funkcje

Denicja. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:

rosn¡c¡, gdy

x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) < f (x2);

niemalej¡c¡, gdy

x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2);

malej¡c¡, gdy

x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) > f (x2);

nierosn¡c¡, gdy

x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2);

staª¡, gdy

x1,x2∈Dff (x1) = f (x2).

Funkcj¦ nazywamy przedziaªami monotoniczn¡, gdy mo»emy jej dziedzin¦ przedstawi¢ w po- staci sumy przedziaªów, na których jest monotoniczna.

Denicja(okresowo±¢)

Funkcj¦ f : X → Y nazywamy okresow¡ je±li istnieje T > 0 takie, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi x ± T ∈ X, oraz f (x + T ) = f (x).

Ka»d¡ liczb¦ T o wªasno±ciach podanych w powy»szej denicji nazywamyokresemtej funkcji. Naj- mniejszy okres dodatni funkcji nazywamy jejokresem podstawowym. Na wykresie funkcja okresowa jest powtarzalna.

Denicja. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:

parzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = f (x);

nieparzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x);

(4)

Na wykresie osi¡ symetrii funkcji parzystej jest o± Oy, a ±rodkiem symetrii funkcji nieparzystej jest pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych.

Uwaga. Je»eli funkcja nie jest parzysta, nie oznacza tego »e jest nieparzysta. Wyró»- niamy funkcje parzyste, nieparzyste oraz takie które s¡ ani parzyste ani nieparzyste.

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, α > 0 b) lim

x→0 tan x

x = 1, α > 0 c) lim

x→0 ax−1

x = ln a, a > 0 d) lim

x→0

loga(1+x)

x = logae, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞ 1 + axx

= ea, a ∈ R f ) lim

x→0(1 + x)x1 = e g) lim

x→0

(1+x)a−1

x = a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x = 1 i) lim

x→0 arctan x

x = 1 Twierdzenie.(warunek konieczny i wystarczaj¡cy ci¡gªo±ci funkcji w punkcie)

Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:

lim

x→x0

f (x) = lim

x→x+0

f (x) = f (x0).

Rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji Denicja.(nieci¡gªo±¢ I rodzaju:)

Funkcja f posiada w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu:

a) skok, gdy: lim

x→x0

f (x) 6= lim

x→x+0

f (x), b) luka, gdy: lim

x→x0

f (x) = lim

x→x+0

f (x) 6= f (x0).

Denicja.(nieci¡gªo±¢ II rodzaju)

Funkcja f posiada w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic lim

x→x0

f (x), lim

x→x+0

f (x) nie istnieje lub jest niewªa±ciwa.

(5)

Zadania

1. Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gów o nast¦puj¡cych wyrazach ogólnych:

(a) an= 2n+1n (b) bn= n2n!+1 (c) dn = n2+ 3n (d) fn= 10n!n (e) hn = n2n2

2. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic ci¡gów, oblicz granice podanych ci¡gów (o ile istniej¡):

(a) an= n2+ 5n − 6 (b) bn = −n2− 3n + 5 (c) cn = 1 +2n+31 (d) dn= 5nn22+3n−2 (e) en= nn23−3n+4 (f ) fn = 2n4n+3n3−42−1

(g) gn= (2n+3)(1−7n)(1−2n)3 2 (h) hn = 5−3n1−2n2

(i) in = (2n+1)(2n−1) (3n+6)(2n+2)

(j) mn=

n2 − 2n − n (k) nn =3

n3 + 3n2 − n (l) on =

n2+ n + 1 −

n2− n + 1 (m) pn = 65nn−4+3nn (n) qn= 3·28·42nn+5−5 (o) rn = 39n+2n+5−2·7n−1n

(p) sn =

32n− 2 · 7n (q) tn= (n+1)!+n!(n+1)!−n! (r) un = 1+2+···+n6n2+3 3. Korzystaj¡c z denicji liczby e obliczy¢ granice:

(a) lim

n→∞

2n+3 2n+1

n+1

(b) lim

n→∞

n2+2 n2+1

n2

(c) lim

n→∞

3n2+3 3n2+1

3n−1

(d) lim

n→∞

n3+5 n3−2

6n2+3n

. 4. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ podane granice:

(a) lim

n→∞

n

3n+ 5n+ 7n (b) lim

n→∞

n sin 2n

(3n−1)2 (c) lim

n→∞

1

n2+1 + 1

n2+2 + · · · + 1

n2+n

5. Zbada¢ czy podane szeregi speªniaj¡ warunek konieczny zbie»no±ci szeregów:

(a)

P

n=1

(−2)n (b)

P

n=1 n2

n3−1 (c)

P

n=1 n n+2

n

(d)

P

n=1 3 5

n

(e)

P

n=1 5n+2 23n−1

6. Zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów korzystaj¡c z:

kryterium porównawczego (a)

P

n=1 n

n3+1 (b)

P

n=1 5n+1

n2+3, (c)

P

n=1

1

n(n+1) (d)

P

n=1

1 n(n2+n)

kryterium Cauchy'ego (a)

P

n=1 n3

2n (b)

P

n=1 1

n 1 + 1nn2

(c)

P

n=1 n 2n+1

n

(d)

P

n=1

n 35n

(e)

P

n=1 n+4 n+3

n2

kryterium d'Alamberta (a)

P

n=1 50n

n! (b)

P

n=1 3n

2n(2n+1) (c)

P

n=1 n2n

(2n)! (d)

P

n=1 5 2

3n+4

kryterium Leibniza (a)

P

n=1 (−1)n

3n−1 (b)

P

n=1

(−1)n+1 n+2n2+3 (c)

P

n=1 (−2)n

n! (d)

P

n=1

(−1)n+1 3n−1n+2n

, 7. Okre±l zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ f, g ◦ g, f ◦ g, g ◦ f dla:

(a) f(x) = 2 + x, g(x) = x2+ 1 (b) f(x) =

x + 1 g(x) = x − 3 (d) f(x) =

1 − 2x, g(x) = x2 8. Znale¹¢ funkcje f1i f2 (ewentualnie f3) takie, »e g = f1◦ f2,(ewentualnie g = f1◦ f2◦ f3) je±li:

(a) g(x) = tg2x, (b) g(x) = tg x2, (c) g(x) = ecos x, (d) g(x) = ln tan ex, (e) g(x) = (arcsin 4x)cos x, (f) g(x) = arccos5

4x− 1.

9. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji:

(a) f(x) = −3x3+ 2x4tg x, (b) f(x) = 7x2− 4x3, (c) f(x) = sin x − x2cos x, (d) f(x) = −3x+ 3−x, (e) f(x) = 2x−1x−2 (f) f(x) = 5 log4(3−x)

(6)

10. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granica ta nie istnieje:

a) b) c)

d) e) f)

11. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice funkcji (o ile istniej¡):

(a) lim

x→∞

2x−5

3x−4 (b) lim

x→−∞

4x+1

x2−x+1 (c) lim

x→∞

x3−8x x2−4

(g) lim

x→∞

x x+3 5x

x+x (e) lim

x→∞

x−1 1−63

x (f ) lim

x→1 x3−1 x4−1

(g) lim

x→2 x3−8

x2−4 (h) lim

x→−2

x2−4x−5

x2−5x (i) lim

x→1

x4−3x+2 x5−4x+3

(j) lim

x→2

x3−3x−2

x−2 (k) lim

x→−1

(x2+3x+2)2

x3+2x2−x−2 (l) lim

x→1

x2−2x+1 2x2−x−1

(m) lim

x→4

x−2

x−4 (n) lim

x→3

x3+x2−12x

(x−3)2 (o) lim

x→∞(

4x2+ x −

4x2+ 1) (s) lim

x→0 sin 6x

3x (t) lim

x→0 sin 5x

sin 2x (u) lim

x→∞

2x+3 2x+5

x

12. Zbada¢, obliczaj¡c granice jednostronne, czy istniej¡ podane granice:

(a) lim

x→1 x+1

x−1 (b) lim

x→0 sin x

|x| (c) lim

x→1

|x−1|3

x3−x2 (f ) lim

x→1arctg1−x1 (e) lim

x→454−x1 13. Okre±l rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie x0 = 1 :

a) b) c)

d) e) f)

(7)

14. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w jej dziedzinie. W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci. Sporz¡d¹ szkic funkcji:

(a) f (x) =

2x dla −1 ≤ x ≤ 0 1 − x dla 0 < x ≤ 1 log x dla 1 < x < 2

(b) f (x) =

( x2−3x

|x−3| dla x 6= 3

3 dla x = 3

(c) f (x) =

 1+x−1

x dla x 6= 0

0 dla x = 0 (d) f(x) =

 sin x

x ; dla x 6= 0 1; dla x = 0

Cytaty

Powiązane dokumenty

IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK  realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki. Kurs wyrównawczy

Znajd¹ przykªad funkcji f(x, y), która jest ci¡gªa ze wzgl¦du na ka»d¡ zmienn¡ z osobna (przy zaªo»eniu, »e druga zmienna jest ustalona), ale nie jest ci¡gªa.

Poka», »e funkcja jednostajnie ci¡gªa na ograniczonym przedziale (a, b) posiada granice jed- nostronne na ko«cach przedziaªu3. Poka», »e suma funkcji jednostajnie ci¡gªych

Niech X oznacza zbiór funkcji rzeczywistych, ci¡gªych, okre±lonych na odcinku

Dla ci głych funkcji n zmiennych prawdziwe s twierdzenia analogiczne do własno ci funkcji ci głych jednej zmiennej. W

Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, gdy jest rosn¡ca, niemalej¡ca lub nierosn¡cana tym

[r]

[r]