• Nie Znaleziono Wyników

nazwisko i imię ... nr ...

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "nazwisko i imię ... nr ..."

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

nazwisko i imię ... nr ...

1. Niech A =

0 −1 1 1 −1 1 1 −1 0

∈ R 3 3 . Wiadomo (i tego nie trzeba sprawdzać), że A 4 = I 3 . Rozłożyć reprezentację ρ A : C 4 = (a) −→ Aut(R 3 ), ρ A a

k

([x, y, z] T ) = A k [x, y, z] T , na sumę prostą podreprezentacji nieprzywiedlnych wskazu- jąc rozkład przestrzeni liniowej R 3 na sumę prostą podprzestrzeni odpowiadających reprezentacjom nieprzywiedlnym występujących w rozkładzie reprezentacji ρ A .

2. Zapisz tabelę charakterów grupy Quat i przedstaw funkcję centralną określoną na grupie Quat w następujący sposób:

x I −I i −i j −j k −k

f (x) 6 2 a a −4 −4 2 2

jako kombinację liniową charakterów reprezentacji nieprzywiedlnych tej grupy. Wyznacz wszystkie liczby całkowite a, dla których ta funkcja centralna jest charakterem reprezentacji grupy Quat.

3. Niech (e 1 , e 2 , e 3 ) będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem C. Dla σ ∈ S(3) przekształcenie liniowe ρ σ na prze- strzeni V na bazie określone jest następująco: ρ σ (e i ) = sgn(σ)e σ(i) . Rozłóż V na składowe jednorodne tej reprezentacji ρ (nie musisz pokazywać, że ρ jest reprezentacją).

4. Zbiór G =

 1 b 0 a



: a, b ∈ R, a 6= 0



z działaniem mnożenia jest grupą (tego nie trzeba pokazywać!). Grupa G działa na zbiorze R 2 w następujący sposób: (A, ¯ x) 7−→ A ¯ x dla A ∈ G, ¯ x ∈ R 2 (tego też nie musisz pokazywać!).

Wyznacz wszystkie orbity, stabilizatory oraz zbiory elementów stałych dla tego działania.

5. Pokazać, że odwzorowanie ρ : GL(n, K) −→ Aut(M(n, K)), ρ A (X) = AXA T dla A ∈ GL(n, K), X ∈ M(n, K), jest poprawnie określoną reprezentacją grupy GL(n, K).

Rozwiązania.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Rozwiązania należy oddać do piątku 18 września do godziny 16.00 koordynatorowi konkursu. panu Jarosławowi Szczepaniakowi lub przesłać na adres jareksz@interia.pl do soboty

 = 2 (km) wyznacz 99% przedział ufności dla wartości średniej długości dziennej trasy pokonywanej przez Pan Jasia.. Dopasowano prostą regresji

przepłynięcia jest mniejsza po zażyciu danego leku niż wartość średnia czasu reakcji przed zażyciem leku.. Przyjmij poziom istotności 

Według niedowiedzionej do dzisiaj hipotezy, istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersena..

Liczby wymierne – to takie, liczby które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera.. Są to więc liczby,

Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki o różnych znakach.. Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki

[r]

Wypisano dziesięć kolejnych liczb całkowitych, z których najmniejszą jest −8.. Oceń praw-