Rozwiązania równania Diraca dla cząstki i antycząstki swobodnej

Rozwiązania równania Diraca dla cząstki i antycząstki swobodnej

Wykład 26

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Poszukajmy rozwiązań swobodnego równania Diraca (i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0

w postaci fal płaskich.

Dokonajmy podstawień

ψ⁽⁺⁾(x ) = e^−ikxu(k), dla energii dodatniej,

ψ⁽⁻⁾(x ) = e^ikxv (k), dla energii ujemnej.

Zakładamy, że zerowa składowa czteropędu cząstki jest równa jej energii, tzn. k⁰ = E =

q~k²+ m² > 0.

Oczywiście k² = E²− ~k² = m², gdzie m 6= 0 jest masą cząstki.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Poszukajmy rozwiązań swobodnego równania Diraca (i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0

w postaci fal płaskich.

Dokonajmy podstawień

ψ⁽⁺⁾(x ) = e^−ikxu(k), dla energii dodatniej, ψ⁽⁻⁾(x )

= e^ikxv (k), dla energii ujemnej.

Zakładamy, że zerowa składowa czteropędu cząstki jest równa jej energii, tzn. k⁰ = E =

q~k²+ m² > 0.

Oczywiście k² = E²− ~k² = m², gdzie m 6= 0 jest masą cząstki.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Poszukajmy rozwiązań swobodnego równania Diraca (i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0

w postaci fal płaskich.

Dokonajmy podstawień

ψ⁽⁺⁾(x ) = e^−ikxu(k), dla energii dodatniej, ψ⁽⁻⁾(x ) =

e^ikxv (k), dla energii ujemnej.

Zakładamy, że zerowa składowa czteropędu cząstki jest równa jej energii, tzn. k⁰ = E =

q~k²+ m² > 0.

Oczywiście k² = E²− ~k² = m², gdzie m 6= 0 jest masą cząstki.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Poszukajmy rozwiązań swobodnego równania Diraca (i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0

w postaci fal płaskich.

Dokonajmy podstawień

ψ⁽⁺⁾(x ) = e^−ikxu(k), dla energii dodatniej, ψ⁽⁻⁾(x ) = e^ikxv (k), dla energii ujemnej.

Zakładamy, że zerowa składowa czteropędu cząstki jest równa jej energii, tzn. k⁰ = E =

q~k²+ m² > 0.

Oczywiście k² = E²− ~k² = m², gdzie m 6= 0 jest masą cząstki.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Poszukajmy rozwiązań swobodnego równania Diraca (i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0

w postaci fal płaskich.

Dokonajmy podstawień

ψ⁽⁺⁾(x ) = e^−ikxu(k), dla energii dodatniej, ψ⁽⁻⁾(x ) = e^ikxv (k), dla energii ujemnej.

Zakładamy, że zerowa składowa czteropędu cząstki jest równa jej energii, tzn. k⁰ = E =

q~k²+ m² > 0.

Oczywiście k² = E²− ~k² = m², gdzie m 6= 0 jest masą cząstki.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Poszukajmy rozwiązań swobodnego równania Diraca (i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0

w postaci fal płaskich.

Dokonajmy podstawień

ψ⁽⁺⁾(x ) = e^−ikxu(k), dla energii dodatniej, ψ⁽⁻⁾(x ) = e^ikxv (k), dla energii ujemnej.

Zakładamy, że zerowa składowa czteropędu cząstki jest równa jej energii, tzn. k⁰ = E =

q~k²+ m² > 0.

Oczywiście k² = E²− ~k² = m², gdzie m 6= 0 jest masą cząstki.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Poszukajmy rozwiązań swobodnego równania Diraca (i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0

w postaci fal płaskich.

Dokonajmy podstawień

ψ⁽⁺⁾(x ) = e^−ikxu(k), dla energii dodatniej, ψ⁽⁻⁾(x ) = e^ikxv (k), dla energii ujemnej.

Zakładamy, że zerowa składowa czteropędu cząstki jest równa jej energii, tzn. k⁰ = E =

q~k²+ m² > 0.

Oczywiście k² = E²− ~k² = m², gdzie m 6= 0 jest masą cząstki.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx =i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx =

± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej. W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx =

± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej. W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx.

Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać (γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej. W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej,

(γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej. W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej.

W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej.

W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej.

W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej.

W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0,

dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej.

W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Obliczmy

i γ^µ∂_µe^∓ikx = i γ^µ∂_µ(∓ik_νx^ν) e^∓ikx = ± γ^µk_νδ_µ^νe^∓ikx = ± γ^µk_µe^∓ikx. Po uproszczeniu eksponent równanie Diraca przyjmuje postać

(γ^µkµ− m) u(k) = 0, dla energii dodatniej, (γ^µkµ+ m) v (k) = 0, dla energii ujemnej.

W układzie spoczynkowym cząstki, w którym jej czteropęd wynosi k^µ= (m, ~0)równania te przyjmują postać

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, dla energii dodatniej,

γ⁰+ I^v (m, ~0) = 0, dla energii ujemnej.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Rozwiązania o energii dodatniej reprezentują cząstki,a rozwiązania o energii ujemnej reprezentują antycząstki.

Ponieważ antycząstka też powinna mieć dodatnią energię, to będziemy ją traktować jako cząstkę propagującą się w kierunku przeciwnym do kierunku upływu czasu.

W reprezentacji Diraca

γ⁰ = I 0 0 −I

! ,

gdzie I i 0 są odpowiednio macierzą jednostkową i macierzą zerową 2 × 2.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Rozwiązania o energii dodatniej reprezentują cząstki, a rozwiązania o energii ujemnej reprezentują antycząstki.

Ponieważ antycząstka też powinna mieć dodatnią energię, to będziemy ją traktować jako cząstkę propagującą się w kierunku przeciwnym do kierunku upływu czasu.

W reprezentacji Diraca

γ⁰ = I 0 0 −I

! ,

gdzie I i 0 są odpowiednio macierzą jednostkową i macierzą zerową 2 × 2.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Rozwiązania o energii dodatniej reprezentują cząstki, a rozwiązania o energii ujemnej reprezentują antycząstki.

Ponieważ antycząstka też powinna mieć dodatnią energię, to będziemy ją traktować jako cząstkę propagującą się w kierunku przeciwnym do kierunku upływu czasu.

W reprezentacji Diraca

γ⁰ = I 0 0 −I

! ,

gdzie I i 0 są odpowiednio macierzą jednostkową i macierzą zerową 2 × 2.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Rozwiązania o energii dodatniej reprezentują cząstki, a rozwiązania o energii ujemnej reprezentują antycząstki.

Ponieważ antycząstka też powinna mieć dodatnią energię, to będziemy ją traktować jako cząstkę propagującą się w kierunku przeciwnym do kierunku upływu czasu.

W reprezentacji Diraca

γ⁰ = I 0 0 −I

! ,

gdzie I i 0 są odpowiednio macierzą jednostkową i macierzą zerową 2 × 2.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Zapiszmy spinory Diraca dla cząstki i dla antycząstki w formie u = u_I

u_II

!

, v = v_I v_II

! .

Równanie Diraca dla cząstki w układzie spoczynkowym

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0,

przybiera postać

"

I 0

0 −I

!

− I 0

0 I

!# u_I(m, ~0) uII(m, ~0)

!

= 0.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Zapiszmy spinory Diraca dla cząstki i dla antycząstki w formie u = u_I

u_II

!

, v = v_I v_II

! .

Równanie Diraca dla cząstki w układzie spoczynkowym

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, przybiera postać

"

I 0

0 −I

!

− I 0 0 I

!# u_I(m, ~0) u_II(m, ~0)

!

= 0.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Zapiszmy spinory Diraca dla cząstki i dla antycząstki w formie u = u_I

u_II

!

, v = v_I v_II

! .

Równanie Diraca dla cząstki w układzie spoczynkowym

γ⁰− I^u(m, ~0) = 0, przybiera postać

"

I 0

0 −I

!

− I 0

0 I

!# u_I(m, ~0) u_II(m, ~0)

!

= 0.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Po uproszczeniu otrzymamy

0 0

0 −2I

! u_I(m, ~0) u_II(m, ~0)

!

= 0 ⇒ uII(m, ~0) = 0.

Natomiast równanie to nie ogranicza dwóch górnych składowych spinora u(m, ~0), które oznaczyliśmy u_I(m, ~0).

Otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne rozwiązania dla spinora cząstki w układzie spoczynkowym

u^(α)(m, ~0) = ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

, α = 1, 2,

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Po uproszczeniu otrzymamy

0 0

0 −2I

! u_I(m, ~0) u_II(m, ~0)

!

= 0 ⇒ uII(m, ~0) = 0.

Natomiast równanie to nie ogranicza dwóch górnych składowych spinora u(m, ~0), które oznaczyliśmy u_I(m, ~0).

Otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne rozwiązania dla spinora cząstki w układzie spoczynkowym

u^(α)(m, ~0) = ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

, α = 1, 2,

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Po uproszczeniu otrzymamy

0 0

0 −2I

! u_I(m, ~0) u_II(m, ~0)

!

= 0 ⇒ uII(m, ~0) = 0.

Natomiast równanie to nie ogranicza dwóch górnych składowych spinora u(m, ~0), które oznaczyliśmy u_I(m, ~0).

Otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne rozwiązania dla spinora cząstki w układzie spoczynkowym

u^(α)(m, ~0) = ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

, α = 1, 2,

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Po uproszczeniu otrzymamy

0 0

0 −2I

! u_I(m, ~0) u_II(m, ~0)

!

= 0 ⇒ uII(m, ~0) = 0.

Natomiast równanie to nie ogranicza dwóch górnych składowych spinora u(m, ~0), które oznaczyliśmy u_I(m, ~0).

Otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne rozwiązania dla spinora cząstki w układzie spoczynkowym

u^(α)(m, ~0) = ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

, α = 1, 2,

Rozwiązania w postaci fal płaskich

gdzie spinory ϕ^(α)(m, ~0) w bazie kanonicznej mają postać ϕ⁽¹⁾(m, ~0) = 1

0

!

, ϕ⁽²⁾(m, ~0) = 0 1

! .

Podobnie równanie dla antycząstki sprowadza się do 2I 0

0 0

! v_I(m, ~0) v_II(m, ~0)

!

= 0

⇒ v_I(m, ~0) = 0,

co nie ogranicza dwóch dolnych składowych spinora v (m, ~0).

Rozwiązania w postaci fal płaskich

gdzie spinory ϕ^(α)(m, ~0) w bazie kanonicznej mają postać ϕ⁽¹⁾(m, ~0) = 1

0

!

, ϕ⁽²⁾(m, ~0) = 0 1

! .

Podobnie równanie dla antycząstki sprowadza się do 2I 0

0 0

! v_I(m, ~0) v_II(m, ~0)

!

= 0 ⇒ v_I(m, ~0) = 0,

co nie ogranicza dwóch dolnych składowych spinora v (m, ~0).

Rozwiązania w postaci fal płaskich

gdzie spinory ϕ^(α)(m, ~0) w bazie kanonicznej mają postać ϕ⁽¹⁾(m, ~0) = 1

0

!

, ϕ⁽²⁾(m, ~0) = 0 1

! .

Podobnie równanie dla antycząstki sprowadza się do 2I 0

0 0

! v_I(m, ~0) v_II(m, ~0)

!

= 0 ⇒ v_I(m, ~0) = 0,

co nie ogranicza dwóch dolnych składowych spinora v (m, ~0).

Rozwiązania w postaci fal płaskich

gdzie spinory ϕ^(α)(m, ~0) w bazie kanonicznej mają postać ϕ⁽¹⁾(m, ~0) = 1

0

!

, ϕ⁽²⁾(m, ~0) = 0 1

! .

Podobnie równanie dla antycząstki sprowadza się do 2I 0

0 0

! v_I(m, ~0) v_II(m, ~0)

!

= 0 ⇒ v_I(m, ~0) = 0,

co nie ogranicza dwóch dolnych składowych spinora v (m, ~0).

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znów otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne rozwiązania dla spinora antycząstki w układzie spoczynkowym

v^(α)(m, ~0) = 0 χ^(α)(m, ~0)

!

= 0, α = 1, 2,

gdzie spinory χ^(α)(m, ~0) w bazie kanonicznej mają postać

χ⁽¹⁾(m, ~0) = 1 0

!

, χ⁽²⁾(m, ~0) = 0 1

! .

Użyliśmy tu innego symbolu dla spinorów bazowych ϕ^(α)(m, ~0) i χ^(α)(m, ~0), gdyż w innej bazie niż kanoniczna mogą one mieć różną postać.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znów otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne rozwiązania dla spinora antycząstki w układzie spoczynkowym

v^(α)(m, ~0) = 0 χ^(α)(m, ~0)

!

= 0, α = 1, 2,

gdzie spinory χ^(α)(m, ~0) w bazie kanonicznej mają postać χ⁽¹⁾(m, ~0) = 1

0

!

, χ⁽²⁾(m, ~0) = 0 1

! .

Użyliśmy tu innego symbolu dla spinorów bazowych ϕ^(α)(m, ~0) i χ^(α)(m, ~0), gdyż w innej bazie niż kanoniczna mogą one mieć różną postać.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znów otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne rozwiązania dla spinora antycząstki w układzie spoczynkowym

v^(α)(m, ~0) = 0 χ^(α)(m, ~0)

!

= 0, α = 1, 2,

gdzie spinory χ^(α)(m, ~0) w bazie kanonicznej mają postać χ⁽¹⁾(m, ~0) = 1

0

!

, χ⁽²⁾(m, ~0) = 0 1

! .

Użyliśmy tu innego symbolu dla spinorów bazowych ϕ^(α)(m, ~0) i χ^(α)(m, ~0), gdyż w innej bazie niż kanoniczna mogą one mieć różną postać.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) =k/²− m²=

k²− m² = 0. Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych. Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²=k²− m² =

0. Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych. Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych. Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych.

Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych.

Rzeczywiście k/² =

γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych.

Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν =

1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych.

Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych.

Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν =

1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych.

Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν =

k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych.

Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Aby znaleźć rozwiązania dla cząstki i antycząstki o czteropędzie k^µ wykorzystamy tożsamość

(k/ − m) (k/ + m) = k/²− m²= k²− m² = 0.

Skorzystaliśmy tu z równościk/² = k²,która zachodzi dla dowolnego czterowektora o komutujących składowych.

Rzeczywiście

k/² = γ_µk^µγ_νk^ν = 1

2γ_µγ_νk^µk^ν+1

2γ_νγ_µk^νk^µ

= 1

2(γ_µγ_ν + γ_νγ_µ) k^µk^ν = 1

2 2g_µνk^µk^ν = k².

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Ponieważ równanie Diraca w przestrzeni pędowej ma postać (k/ − m) u(k) = 0,

(k/ + m) v (k) = 0,

to rozwiązania dla cząstki i antycząstki możemy zapisać w formie u^(α)(k) = k/ + m

√

E + mu^(α)(m, ~0),

v^(α)(k) = −k/ + m

√E + mv^(α)(m, ~0),

gdzie u^(α)(m, ~0) i v^(α)(m, ~0) są rozwiązaniami w układzie spoczynkowym, a 1/√

E + m jest czynnikiem normalizacyjnym.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Ponieważ równanie Diraca w przestrzeni pędowej ma postać (k/ − m) u(k) = 0,

(k/ + m) v (k) = 0,

to rozwiązania dla cząstki i antycząstki możemy zapisać w formie u^(α)(k) = k/ + m

√

E + mu^(α)(m, ~0), v^(α)(k)

= −k/ + m

√E + mv^(α)(m, ~0),

gdzie u^(α)(m, ~0) i v^(α)(m, ~0) są rozwiązaniami w układzie spoczynkowym, a 1/√

E + m jest czynnikiem normalizacyjnym.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Ponieważ równanie Diraca w przestrzeni pędowej ma postać (k/ − m) u(k) = 0,

(k/ + m) v (k) = 0,

to rozwiązania dla cząstki i antycząstki możemy zapisać w formie u^(α)(k) = k/ + m

√

E + mu^(α)(m, ~0), v^(α)(k) =

−k/ + m

√E + mv^(α)(m, ~0),

gdzie u^(α)(m, ~0) i v^(α)(m, ~0) są rozwiązaniami w układzie spoczynkowym, a 1/√

E + m jest czynnikiem normalizacyjnym.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Ponieważ równanie Diraca w przestrzeni pędowej ma postać (k/ − m) u(k) = 0,

(k/ + m) v (k) = 0,

to rozwiązania dla cząstki i antycząstki możemy zapisać w formie u^(α)(k) = k/ + m

√

E + mu^(α)(m, ~0), v^(α)(k) = −k/ + m

√E + mv^(α)(m, ~0),

gdzie u^(α)(m, ~0) i v^(α)(m, ~0) są rozwiązaniami w układzie spoczynkowym, a 1/√

E + m jest czynnikiem normalizacyjnym.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Ponieważ równanie Diraca w przestrzeni pędowej ma postać (k/ − m) u(k) = 0,

(k/ + m) v (k) = 0,

to rozwiązania dla cząstki i antycząstki możemy zapisać w formie u^(α)(k) = k/ + m

√

E + mu^(α)(m, ~0), v^(α)(k) = −k/ + m

√E + mv^(α)(m, ~0),

gdzie u^(α)(m, ~0) i v^(α)(m, ~0) są rozwiązaniami w układzie spoczynkowym,

a 1/√

E + m jest czynnikiem normalizacyjnym.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Ponieważ równanie Diraca w przestrzeni pędowej ma postać (k/ − m) u(k) = 0,

(k/ + m) v (k) = 0,

to rozwiązania dla cząstki i antycząstki możemy zapisać w formie u^(α)(k) = k/ + m

√

E + mu^(α)(m, ~0), v^(α)(k) = −k/ + m

√E + mv^(α)(m, ~0),

gdzie u^(α)(m, ~0) i v^(α)(m, ~0) są rozwiązaniami w układzie spoczynkowym,a 1/√

E + m jest czynnikiem normalizacyjnym.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Ponieważ równanie Diraca w przestrzeni pędowej ma postać (k/ − m) u(k) = 0,

(k/ + m) v (k) = 0,

to rozwiązania dla cząstki i antycząstki możemy zapisać w formie u^(α)(k) = k/ + m

√

E + mu^(α)(m, ~0), v^(α)(k) = −k/ + m

√E + mv^(α)(m, ~0),

gdzie u^(α)(m, ~0) i v^(α)(m, ~0) są rozwiązaniami w układzie spoczynkowym, a 1/√

E + m jest czynnikiem normalizacyjnym.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Zauważmy, że taką samą postać związków pomiędzy spinorami w układzie, w którym cząstka lub antycząstka porusza się z

czteropędem k^µ, ze spinorami w jej układzie spoczynkowym otrzymamy niezależnie od wyboru reprezentacji macierzy Diraca.

Natomiast konkretna postać spinorówu^(α)(k), v^(α)(k), u^(α)(m, ~0) iv^(α)(m, ~0) może być inna.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Zauważmy, że taką samą postać związków pomiędzy spinorami w układzie, w którym cząstka lub antycząstka porusza się z

czteropędem k^µ, ze spinorami w jej układzie spoczynkowym otrzymamy niezależnie od wyboru reprezentacji macierzy Diraca.

Natomiast konkretna postać spinorówu^(α)(k), v^(α)(k), u^(α)(m, ~0) iv^(α)(m, ~0) może być inna.

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znajdźmy jawną postać spinorów dla cząstki i antycząstki w reprezentacji Diraca.

γ⁰ = I 0 0 −I

!

, γⁱ = 0 σ_i

−σ_i 0

! , gdzie σ_i, i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

W tym celu obliczmy najpierw

k/ =

k^µγ_µ= k⁰γ⁰− ~k · ~γ = E I 0 0 −I

!

− ~k 0 ~σ

−~σ 0

!

= E −~k · ~σ

~k · ~σ −E

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znajdźmy jawną postać spinorów dla cząstki i antycząstki w reprezentacji Diraca.

γ⁰ = I 0 0 −I

!

, γⁱ = 0 σ_i

−σ_i 0

! , gdzie σ_i, i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

W tym celu obliczmy najpierw k/ = k^µγ_µ=

k⁰γ⁰− ~k · ~γ = E I 0 0 −I

!

− ~k 0 ~σ

−~σ 0

!

= E −~k · ~σ

~k · ~σ −E

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znajdźmy jawną postać spinorów dla cząstki i antycząstki w reprezentacji Diraca.

γ⁰ = I 0 0 −I

!

, γⁱ = 0 σ_i

−σ_i 0

! , gdzie σ_i, i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

W tym celu obliczmy najpierw k/ = k^µγ_µ=k⁰γ⁰− ~k · ~γ =

E I 0

0 −I

!

− ~k 0 ~σ

−~σ 0

!

= E −~k · ~σ

~k · ~σ −E

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znajdźmy jawną postać spinorów dla cząstki i antycząstki w reprezentacji Diraca.

γ⁰ = I 0 0 −I

!

, γⁱ = 0 σ_i

−σ_i 0

! , gdzie σ_i, i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

W tym celu obliczmy najpierw

k/ = k^µγ_µ= k⁰γ⁰− ~k · ~γ =E I 0 0 −I

!

− ~k 0 ~σ

−~σ 0

!

= E −~k · ~σ

~k · ~σ −E

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znajdźmy jawną postać spinorów dla cząstki i antycząstki w reprezentacji Diraca.

γ⁰ = I 0 0 −I

!

, γⁱ = 0 σ_i

−σ_i 0

! , gdzie σ_i, i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

W tym celu obliczmy najpierw

k/ = k^µγ_µ= k⁰γ⁰− ~k · ~γ = E I 0 0 −I

!

− ~k 0 ~σ

−~σ 0

!

=

E −~k · ~σ

~k · ~σ −E

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znajdźmy jawną postać spinorów dla cząstki i antycząstki w reprezentacji Diraca.

γ⁰ = I 0 0 −I

!

, γⁱ = 0 σ_i

−σ_i 0

! , gdzie σ_i, i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

W tym celu obliczmy najpierw

k/ = k^µγ_µ= k⁰γ⁰− ~k · ~γ = E I 0 0 −I

!

− ~k 0 ~σ

−~σ 0

!

= E −~k · ~σ

~k · ~σ −E

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Znajdźmy jawną postać spinorów dla cząstki i antycząstki w reprezentacji Diraca.

γ⁰ = I 0 0 −I

!

, γⁱ = 0 σ_i

−σ_i 0

! , gdzie σ_i, i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

W tym celu obliczmy najpierw

k/ = k^µγ_µ= k⁰γ⁰− ~k · ~γ = E I 0 0 −I

!

− ~k 0 ~σ

−~σ 0

!

= E −~k · ~σ

~k · ~σ −E

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

W takim razie spinor dla cząstki w reprezentacji Diraca ma postać u^(α)(k) = k/ + m

√E + m u^(α)(m, ~0)

=

√ 1 E + m

E + m −~k · ~σ

~k · ~σ −E + m

! ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

=

√E + m ϕ^(α)(m, ~0)

~k·~σ

√E +m ϕ^(α)(m, ~0)

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

W takim razie spinor dla cząstki w reprezentacji Diraca ma postać u^(α)(k) = k/ + m

√E + m u^(α)(m, ~0)

= 1

√E + m

E + m −~k · ~σ

~k · ~σ −E + m

! ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

=

√E + m ϕ^(α)(m, ~0)

~k·~σ

√E +m ϕ^(α)(m, ~0)

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

W takim razie spinor dla cząstki w reprezentacji Diraca ma postać u^(α)(k) = k/ + m

√E + m u^(α)(m, ~0)

= 1

√E + m

E + m −~k · ~σ

~k · ~σ −E + m

! ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

=

√E + m ϕ^(α)(m, ~0)

~k·~σ

√E +m ϕ^(α)(m, ~0)

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

W takim razie spinor dla cząstki w reprezentacji Diraca ma postać u^(α)(k) = k/ + m

√E + m u^(α)(m, ~0)

= 1

√E + m

E + m −~k · ~σ

~k · ~σ −E + m

! ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

=

√

E + m ϕ^(α)(m, ~0)

~k·~σ

√E +m ϕ^(α)(m, ~0)

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

W takim razie spinor dla cząstki w reprezentacji Diraca ma postać u^(α)(k) = k/ + m

√E + m u^(α)(m, ~0)

= 1

√E + m

E + m −~k · ~σ

~k · ~σ −E + m

! ϕ^(α)(m, ~0) 0

!

=

√

E + m ϕ^(α)(m, ~0)

~k·~σ

√E +m ϕ^(α)(m, ~0)

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Podobnie znajdujemy postać spinora dla antycząstki w reprezentacji Diraca

v^(α)(k) = −k/ + m

√E + m v^(α)(m, ~0)

=

√ 1 E + m

−E + m ~k · ~σ

−~k · ~σ E + m

! 0 χ^(α)(m, ~0)

!

=

~k·~σ

√E +m χ^(α)(m, ~0)

√E + m χ^(α)(m, ~0)

! .

Rozwiązania w postaci fal płaskich

Podobnie znajdujemy postać spinora dla antycząstki w reprezentacji Diraca

v^(α)(k) = −k/ + m

√E + m v^(α)(m, ~0)

= 1

√ E + m

−E + m ~k · ~σ

−~k · ~σ E + m

! 0 χ^(α)(m, ~0)

!

=

~k·~σ

√E +m χ^(α)(m, ~0)

√E + m χ^(α)(m, ~0)

! .