• Nie Znaleziono Wyników

POCHODNA FUNKCJI.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "POCHODNA FUNKCJI."

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

POCHODNA FUNKCJI.

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x, h  0 takie że x + h należy do tego otoczenia.

x - argument wyjściowy,

f(x) - wyjściowa wartość funkcji, h - przyrost argumentu,

f(x + h) - końcowa wartość funkcji, f(x + h) - f(x) = przyrost funkcji,

x f h

x f h x f

 

 ) ( )

( - iloraz różnicowy,

Definicja.

Pochodna funkcji f w punkcie x to granica ilorazu różnicowego gdy przyrost argumentu dąży do zera (o ile granica ta istnieje).

Zapis:

h x f h x x f

f

h

) ( ) lim (

) (

0

 

inne oznaczenie:

dx x x df

f ( )

) ( 

Podobnie można zdefiniować pochodne jednostronne (należy rozpatrywać jednostronne granice ilorazu różnicowego).

Pochodną równą  nazywamy niewłaściwą.

Interpretacja pochodnej.

Interpretacja geometryczna.

 tg ) ( 

 x

f gdzie  jest katem nachylenia stycznej w punkcie (x, f(x)) do osi 0X.

(dlatego f(x) = |x| nie ma pochodnej dla x = 0, (brak stycznej))

Przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do pochodnej.

Dla małych (bliskich 0) h mamy h

x f h x x f

f ( ) ( )

)

(  

  stąd f(xh) f(x) f(x)h

zatem przyrost funkcji odpowiadający małemu przyrostowi argumentu h jest wprost proporcjonalny do h, a współczynnikiem proporcjonalności jest f (x).

f(x)

(2)

Interpretacja fizyczna.

1. Jeśli y(t) określa położenie punktu na osi w chwili t, to iloraz różnicowy t y

 jest prędkością średnią a pochodna y'(t) jest prędkością chwilową.

2. Jeśli v(t) określa prędkość punktu w chwili t, to iloraz różnicowy t v

 jest przyspieszeniem średnim a pochodna v'(t) jest przyspieszeniem chwilowym.

Różniczkowalność = istnienie pochodnej,

Różniczkowalność w przedziale = różniczkowalność w każdym punkcie tego przedziału.

Uwaga.

Jeśli f jest różniczkowalna w punkcie x to f jest ciągła w tym punkcie.

(odwrotna własność nie jest prawdziwa np. f(x) = |x| ).

Rachunek pochodnych:

f, g - różniczkowalne w punkcie x, c - stała,

'

)'

(cfcf

' '

)'

(fgfg (pochodna sumy (różnicy) funkcji)

' '

)'

(fgfgfg (pochodna iloczynu funkcji)

2 ' ' '

g g f g f g

f   

 



 (pochodna ilorazu funkcji)

Jeśli f = g(h) to f'g'(h)h' (pochodna funkcji złożonej) Podstawowe wzory.

1

)'

(xrrxr w szczególności (c)'0, (x)' 1, (x2)' 2x, 2

' 1

1 x x





 

 ,

 

x x

2 1

'  .

x

x e

e )'

( , ogólnie (ax)'axlna,

 

x x1

ln '  ogólnie

 

a x x

a ln

log '  1 ,

x x) cos

(sin '  (cosx)' sinx,

 

x ' 2 x cos

tg  1

 

x ' 2 x sin ctg 1

 .

Przykład.

(a)

2x3 5x27x4

2

 

x3 5

 

x2 7

   

x 4 6x210x7

(b)

x2ex

  

x2 exx2

 

ex xex(x2)

(3)

(c)

       

 

    

  

2

2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

3 2

12 6 2 3

2

2 2 3 2 3 2 2

3 2

3 2 3

2 3 2 3

2 3 2

3 2

 

 

 

 

 



 

x x

x x x

x

x x

x x

x x

x x x x

x x x

x x

(d)

(2x3 5)4

4(2x35)3

2x35

24x2(2x35)3

(e) (xx)'

ab eblna

 

exlnx

' exlnx

xlnx

' xx(lnx1)

Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej) Niech

1. funkcja f będzie ciągła na przedziale (a,b),

2. funkcja f będzie malejąca albo rosnąca na przedziale (a,b), 3. f /(x0)0, x0(a,b).

Wtedy funkcja odwrotna

f

1 jest różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) oraz )

( ) 1 ( ) (

0 0 /

/ 1

x y f

f  .

Wzór ten jest prawdziwy także dla pochodnych jednostronnych właściwych i niewłaściwych.

Uwaga

Pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi.

Zestawienie pochodnych

Funkcja Pochodna

c (c - stała) 0

xx1

x

sin cosx

x

cos sinx

x

tg x

x

2

2 1 tg

cos

1  

x

ctg x

x

2

2 1 ctg

sin

1  

ax axlna

ex ex

x

sh chx

x

ch shx

x th

2x ch

1 x

cth

2x sh

1

(4)

x sin arc

1 2

1 x

x

arccos

1 2

1 x

x

arctg

1 2

1 x

x

arcctg

1 2

1 x

a x log

a x ln

1 x

ln

x 1

Własności pochodnej

) ( ) ( )

(cf / xcf / x c - stała

) ( ) ( ) ( )

(fg / xf / xg/ x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(fg / xf / xg xf xg/ x

) (

) ( ) ( ) ( ) ) (

( 2

/ / /

x g

x g x f x g x x f

g

f   

 



g f

/(x)g/

f(x)

f /(x)

) ( ) 1 ( ) (

0 0 /

/ 1

x y f

f gdzie y0 = f(x0)

  

f g eglnf

 







f g g

f ln

log ln

POCHODNA - zadania

1. Oblicz pochodną funkcji:

a) f(x)2x3 5x24

6

x2

10

x

b) 4

4 2 ) 3

(

4 2 3

x x x

x x

f

1

x

x2

x3

c) f(x)x3

x21

2

3

x2

10

x4

7

x6

d) f(x)ex

x2 2x2

x2ex

e) f(x) lnx xx

  ln

x

1

x

 1 

(5)

g) 2 ) 1

( x

x x

f  

 

2 2 2

1 1

x x

h) 1

) 1

( 

x

x

e x e

f

   

 1

2

2

x x

e e

i) f(x) x x x

8 1

8 7

x

2. Oblicz pochodną funkcji:

a) f(x) 2x3

 

 

3 2

1

x b) f(x)sin3x

3 sin

2xcosx

c) f(x)cos5x

5 cos

4xsinx

d) f(x)sin6x

6 cos 6

x

e) f(x)x x2 1

 1 1 2

2 2

x x

f) x x

x x

e e

e x e

f

  )

(

   

2

4

x

x e

e

g) 2

2

2 ln3 )

( x

x x

f

 

 

 

 5 6 2

2

4 x

x x

h) f(x)xx2

xx21

1 2 ln

x

 

i) f(x)xlnx

xln x 1

ln

x

3. Oblicz (korzystając z definicji) pochodną funkcji:

a) f(x)x3x

3

x2

1

b) 1

) 1 (  

x x

f

 

 

 1

2

1

x

c) f x x x2 )

(  

 

 

2

2

2

x x

Cytaty

Powiązane dokumenty

Intuicyjne rozumienie jest proste - pochodna funkcji opisuje tempo zmiany danej

Intuicyjne rozumienie jest proste - pochodna funkcji opisuje tempo zmiany danej (nachylenie)

Jeżeli zmiana argumentów funkcji ∆x, ∆y, ∆z jest nie- wielka, wówczas różniczka zupełna funkcji df jest bardzo dobrym przybliżeniem zmiany wartości funkcji ∆f wy-

[r]

Otóż z poprzedniego twierdzenia (o ciągłości jednostajnej) wnioskujemy, że: Wziąwszy np. W ten sposób, jeśli podzielimy przedział [a, b] na n części, to długość każdego z

Jeżeli funkcja określona na przedziale 1 jest ciągła i ściśle monotoniczna, to posiada funkcję odwrotną, która też jest ciągła.. Sama zaś wartość pochodnej w tym punkcie 6

Otóż prosta styczna do danej krzywej w danym punkcie tej krzywej to prosta, która przechodzi przez ten punkt, a ponadto ma kierunek zgodny z kierunkiem tej krzywej w tym punkcie,

Naszkicować wykres funkcji f n oraz wykres jej po-