POCHODNA FUNKCJI.
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x, h 0 takie że x + h należy do tego otoczenia.
x - argument wyjściowy,
f(x) - wyjściowa wartość funkcji, h - przyrost argumentu,
f(x + h) - końcowa wartość funkcji, f(x + h) - f(x) = przyrost funkcji,
x f h
x f h x f
) ( )
( - iloraz różnicowy,
Definicja.
Pochodna funkcji f w punkcie x to granica ilorazu różnicowego gdy przyrost argumentu dąży do zera (o ile granica ta istnieje).
Zapis:
h x f h x x f
f
h
) ( ) lim (
) (
0
inne oznaczenie:
dx x x df
f ( )
) (
Podobnie można zdefiniować pochodne jednostronne (należy rozpatrywać jednostronne granice ilorazu różnicowego).
Pochodną równą nazywamy niewłaściwą.
Interpretacja pochodnej.
Interpretacja geometryczna.
tg ) (
x
f gdzie jest katem nachylenia stycznej w punkcie (x, f(x)) do osi 0X.
(dlatego f(x) = |x| nie ma pochodnej dla x = 0, (brak stycznej))
Przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do pochodnej.
Dla małych (bliskich 0) h mamy h
x f h x x f
f ( ) ( )
)
(
stąd f(xh) f(x) f(x)h
zatem przyrost funkcji odpowiadający małemu przyrostowi argumentu h jest wprost proporcjonalny do h, a współczynnikiem proporcjonalności jest f (x).
f(x)
Interpretacja fizyczna.
1. Jeśli y(t) określa położenie punktu na osi w chwili t, to iloraz różnicowy t y
jest prędkością średnią a pochodna y'(t) jest prędkością chwilową.
2. Jeśli v(t) określa prędkość punktu w chwili t, to iloraz różnicowy t v
jest przyspieszeniem średnim a pochodna v'(t) jest przyspieszeniem chwilowym.
Różniczkowalność = istnienie pochodnej,
Różniczkowalność w przedziale = różniczkowalność w każdym punkcie tego przedziału.
Uwaga.
Jeśli f jest różniczkowalna w punkcie x to f jest ciągła w tym punkcie.
(odwrotna własność nie jest prawdziwa np. f(x) = |x| ).
Rachunek pochodnych:
f, g - różniczkowalne w punkcie x, c - stała,
'
)'
(cf cf
' '
)'
(f g f g (pochodna sumy (różnicy) funkcji)
' '
)'
(f g f g f g (pochodna iloczynu funkcji)
2 ' ' '
g g f g f g
f
(pochodna ilorazu funkcji)
Jeśli f = g(h) to f' g'(h)h' (pochodna funkcji złożonej) Podstawowe wzory.
1
)'
(xr rxr w szczególności (c)'0, (x)' 1, (x2)' 2x, 2
' 1
1 x x
,
x x
2 1
' .
x
x e
e )'
( , ogólnie (ax)' axlna,
x x1
ln ' ogólnie
a x x
a ln
log ' 1 ,
x x) cos
(sin ' (cosx)' sinx,
x ' 2 x cos
tg 1
x ' 2 x sin ctg 1
.
Przykład.
(a)
2x3 5x27x4
2
x3 5
x2 7
x 4 6x210x7(b)
x2ex
x2 exx2
ex xex(x2)(c)
2
22 2 2
2
2 2
2 2
2
3 2
12 6 2 3
2
2 2 3 2 3 2 2
3 2
3 2 3
2 3 2 3
2 3 2
3 2
x x
x x x
x
x x
x x
x x
x x x x
x x x
x x
(d)
(2x3 5)4
4(2x35)3
2x35
24x2(2x35)3(e) (xx)'
ab eblna
exlnx
' exlnx
xlnx
' xx(lnx1)Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej) Niech
1. funkcja f będzie ciągła na przedziale (a,b),
2. funkcja f będzie malejąca albo rosnąca na przedziale (a,b), 3. f /(x0)0, x0(a,b).
Wtedy funkcja odwrotna
f
1 jest różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) oraz )( ) 1 ( ) (
0 0 /
/ 1
x y f
f .
Wzór ten jest prawdziwy także dla pochodnych jednostronnych właściwych i niewłaściwych.
Uwaga
Pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi.
Zestawienie pochodnych
Funkcja Pochodna
c (c - stała) 0
x x1
x
sin cosx
x
cos sinx
x
tg x
x
2
2 1 tg
cos
1
x
ctg x
x
2
2 1 ctg
sin
1
ax axlna
ex ex
x
sh chx
x
ch shx
x th
2x ch
1 x
cth
2x sh
1
x sin arc
1 2
1 x
x
arccos
1 2
1 x
x
arctg
1 2
1 x
x
arcctg
1 2
1 x
a x log
a x ln
1 x
ln
x 1
Własności pochodnej
) ( ) ( )
(cf / x cf / x c - stała
) ( ) ( ) ( )
(f g / x f / x g/ x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(f g / x f / x g x f x g/ x
) (
) ( ) ( ) ( ) ) (
( 2
/ / /
x g
x g x f x g x x f
g
f
g f
/(x)g/
f(x)
f /(x)) ( ) 1 ( ) (
0 0 /
/ 1
x y f
f gdzie y0 = f(x0)
f g eglnf
f g g
f ln
log ln
POCHODNA - zadania
1. Oblicz pochodną funkcji:
a) f(x)2x3 5x24
6
x2 10
x
b) 4
4 2 ) 3
(
4 2 3
x x x
x x
f
1
x
x2
x3
c) f(x)x3
x21
2 3
x2 10
x4 7
x6
d) f(x)ex
x2 2x2
x2ex
e) f(x) lnx xx
ln
x1
x
1
g) 2 ) 1
( x
x x
f
2 2 2
1 1
x x
h) 1
) 1
(
x
x
e x e
f
1
22
x x
e e
i) f(x) x x x
8 1
8 7
x2. Oblicz pochodną funkcji:
a) f(x) 2x3
3 2
1
x b) f(x)sin3x
3 sin
2xcosx
c) f(x)cos5x
5 cos
4xsinx
d) f(x)sin6x
6 cos 6
x
e) f(x)x x2 1
1 1 2
2 2
x x
f) x x
x x
e e
e x e
f
)
(
24
x
x e
e
g) 2
2
2 ln3 )
( x
x x
f
5 6 2
2
4 x
x x
h) f(x)xx2
xx21 1 2 ln
x
i) f(x)xlnx
xln x 1ln
x
3. Oblicz (korzystając z definicji) pochodną funkcji:
a) f(x)x3x
3
x2 1
b) 1
) 1 (
x x
f
1
21
xc) f x x x2 )
(
2
2
2
x x