Niech V b edzie przestrzeni

Wyk lad 12

Przestrze´ n sprz e ˙zona _,

1 Okre´ slenie i podstawowe w lasno´ sci przestrzeni sprz e ˙zonej

Niech V b edzie przestrzeni

a liniow

a. Przekszta lcenie liniowe f : V → R nazywamy funk-

cjona lem liniowym. Jak wiemy, L(V ; R) jest przestrzeni a liniow

a.

Nazywamy j a prze-

strzeni a sprz

e ˙zon

a przestrzeni V i oznaczamy przez V

.

Przyk lad 12.1. Postaci a og´

oln a funkcjona lu liniowego f : R

→ R jest f ([x

, x

, . . . , x

]) = a

x

+ a

x

+ . . . + a

x

, gdzie a

, a

, . . . , a

s a dowolnymi ustalonymi liczbami.

2

Twierdzenie 12.2. Je˙zeli V jest sko´ nczenie wymiarow a przestrzeni

a liniow

a, to

V

∼ = V.

Dow´ od. Poniewa˙z dim V < ∞, wi ec dim V

= dim L(V ; R) = dim V · dim R = dim V · 1 = dim V . St ad z twierdzenia 9.13 mamy, e V

∼ = V . 2

Uwaga 12.3. Mo˙zna wykaza´ c, ˙ze je˙zeli V jest przestrzeni a niesko´

nczenie wymiarow a, to

dim V < dim V

, a wi ec w szczeg´

olno´ sci przestrzenie V

i V nie s a izomorficzne.

Uwaga 12.4. Niech V b edzie przestrzeni

a liniow

a wymiaru n ∈ N i niech (α

, α

, . . . , α

) b edzie uporz

adkowan

a baz

a przestrzeni V . Niech α

∈ V

dla i = 1, 2, . . . , n b edzie funk-

cjona lem liniowym, kt´ ory na bazie (α

, α

, . . . , α

) jest okre´ slony wzorem

α

(α

) = (

0, gdy k 6= i

1, gdy k = i . (1)

Je˙zeli f ∈ V

, to f (α

) = a

dla pewnych a

∈ R, k = 1, 2, . . . , n, wi ec f (α

) = a

= (a

·α

+a

·α

+. . .+a

·α

)(α

) dla ka˙zdego k = 1, 2, . . . , n, czyli f = a

·α

+a

·α

+. . .+a

·α

. Zatem wektory α

, α

, . . . , α

generuj a przestrze´

n V

, kt´ ora ma wymiar n. St ad (α

, α

, . . . , α

) jest baz przestrzeni V

; nazywamy j baz a sprz

e ˙zon

a do bazy (α

, α

, . . . , α

).

Twierdzenie 12.5 (o oddzielaniu). Niech W b edzie podprzestrzeni

a przestrzeni liniowej

V . W´ owczas dla ka˙zdego wektora α ∈ V \ W istnieje funkcjona l f ∈ V

taki, ˙ze f (α) 6= 0 i f (W ) = {0}.

Dow´ od. Poniewa˙z α ∈ V \ W , wi ec W ∩ lin(α) = {θ}. Z twierdzenia 7.30 wynika zatem,

˙ze istnieje podprzestrze´ n U przestrzeni V taka, ˙ze V = W ⊕ lin(α) ⊕ U , sk ad V = lin(α) ⊕ V

, gdzie V

= W ⊕ U , czyli W ⊆ V

. Ka˙zdy wektor β ∈ V mo˙ze by´ c zatem jednoznacznie zapisany w postaci β = a ◦ α + γ dla pewnych a ∈ R, γ ∈ V

. Dla takiego β definiujemy f (β) = a. Proste

1

sprawdzenie pokazuje, ˙ze f ∈ V

. Poniewa˙z Ker(f ) = V

⊇ W , wi ec f (W ) = {0}. Ponadto

f (α) = f (1 ◦ α + θ) = 1. Zatem f jest szukanym funkcjona lem. 2

Wniosek 12.6. Dla dowolnego niezerowego wektora α przestrzeni liniowej V istnieje funk- cjona l f ∈ V

taki, ˙ze f (α) 6= 0.

Dow´ od. Wystarczy zastosowa´ c twierdzenie 12.5 do podprzestrzeni W = {θ}. 2

2 Zanurzenie kanoniczne przestrzeni V w przestrze V

Niech V b edzie przestrzeni

a liniow

a. Definiujemy

V

= (V

)

.

Dowolny wektor α ∈ V wyznacza przekszta lcenie α

przestrzeni V

w cia lo R okre´slone wzorem α

(ϕ) = ϕ(α) dla ka˙zdego ϕ ∈ V

. (2) Tak okre´ slone przekszta lcenie α

jest liniowe, gdy˙z dla dowolnych ϕ

, ϕ

∈ V

, a ∈ R mamy α

(ϕ

+ ϕ

) = (ϕ

+ ϕ

)(α) = ϕ

(α) + ϕ

(α) = α

(ϕ

) + α

(ϕ

),

α

(a · ϕ

) = (a · ϕ

)(α) = a · ϕ

(α) = a · α

(ϕ

).

Zatem dla dowolnego α ∈ V mamy, ˙ze α

∈ V

.

Twierdzenie 12.7. Przekszta lcenie α 7→ α

jest zanurzeniem przestrzeni liniowej V w przestrze´ n V

. W szczeg´ olno´ sci, je˙zeli dim V < ∞, to to zanurzenie jest izomorfizmem.

Dow´ od. Dla dowolnych α, β ∈ V , ϕ ∈ V

, a ∈ R mamy, ˙ze

(α + β)

(ϕ) = ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β) = α

(ϕ) + β

(ϕ) = (α

+ β

)(ϕ), wi ec

(α + β)

= α

+ β

.

Ponadto (a ◦ α)

(ϕ) = ϕ(a ◦ α) = a · ϕ(α) = a · α

(ϕ) = (a · α

)(ϕ), czyli (a · α)

= a · α

.

Zatem przekszta lcenie α 7→ α

, α ∈ V , jest liniowe.

We´ zmy dowolne α ∈ V \ {θ}. Wtedy, z wniosku 12.6, istnieje ϕ ∈ V

takie, ˙ze ϕ(α) 6= 0, czyli α

(ϕ) 6= 0. Zatem α

6= 0, sk ad wynika, ˙ze j

adro przekszta lcenia α 7→ α

jest trywialne.

Zatem to przekszta lcenie jest zanurzeniem.

Je˙zeli dodatkowo dim V < ∞, to z twierdzenia 12.2, dim V

= dim V oraz dim V

= dim V

, sk ad dim V = dim V

. Ale przekszta lcenie α 7→ α

jest zanurzeniem, wi ec z dim V

= dim V < ∞ jest ono ,,na”, zatem jest izomorfizmem. 2

Uwaga 12.8. W przypadku przestrzeni liniowej V sko´ nczenie wymiarowej samo istnienie izomorfizmu V ∼ = V

nie jest faktem interesuj acym, gdy˙z wynika bezpo´

srednio z twierdzenia 12.2, ale rezultatem nowym i ciekawym jest mo˙zliwo´ s´ c okre´ slenia naturalnego i uniwersalnego przepisu, ktry dla kadej skoczenie wymiarowej przestrzeni liniowej V pozwala okre´ sli´ c taki izomorfizm. Dzi eki temu mo˙zna ka˙zd

a sko´

nczenie wymiarow a przestrze´

n liniow a V uto˙zsamia´

c z przestrzeni a V

. Je´ sli za´ s dim V = ∞, to dim V < dim V

< dim V

, a wi ec przestrzenie V

i V

nie s a izomorficzne, a wi

ec w szczeg´

olno´ sci zanurzenie α 7→ α

nie jest ,,na”.

2

3 Przekszta lcenie sprz e ˙zone

Definicja 12.9. Niech f : V → W b edzie przekszta lceniem liniowym przestrzeni liniowej V

w przestrze´ n liniow a W . Przekszta lcenie f

: W

→ V

dane wzorem

f

(ϕ) = ϕ ◦ f dla kadego ϕ ∈ W

nazywamy przekszta lceniem sprz e ˙zonym z przekszta lceniem f .

Poniewa˙z f i ϕ s a liniowe, wi

ec f

(ϕ) ∈ V

dla ka˙zdego ϕ ∈ W

. Teraz poka˙zemy, ˙ze przekszta lcenie f

jest liniowe. W tym celu we´ zmy dowolne ϕ

, ϕ

∈ W

, a ∈ R, α ∈ V . Wtedy

[f

(ϕ

+ ϕ

)](α) = [(ϕ

+ ϕ

) ◦ f ](α) = (ϕ

+ ϕ

)(f (α)) =

= ϕ

(f (α)) + ϕ

(f (α)) = (ϕ

◦ f )(α) + (ϕ

◦ f )(α) =

= [f

(ϕ

)](α) + [f

(ϕ

)](α) = [f

(ϕ

) + f

(ϕ

)](α), wi ec

f

(ϕ

+ ϕ

) = f

(ϕ

) + f

(ϕ

).

Ponadto

[f

(a · ϕ

)](α) = [(a · ϕ

) ◦ f ](α) = (a · ϕ

)(f (α)) =

= a · ϕ

(f (α)) = a · (ϕ

◦ f )(α) = a · [f

(ϕ

)](α) = [a · f

(ϕ

)](α), zatem

f

(a · ϕ

) = a · f

(ϕ

).

St ad przekszta lcenie f

jest liniowe, czyli f

∈ L(W

; V

).

W podobny spos´ ob mo˙zna wykaza´ c, ˙ze dla dowolnych f, g ∈ L(V ; W ), a ∈ R:

(f + g)

= f

+ g

oraz (a · f )

= a · f

. Zatem przekszta lcenie f 7→ f

, f ∈ L(V ; W ) jest liniowe.

Twierdzenie 12.10. Przekszta lcenie f 7→ f

jest zanurzeniem przestrzeni liniowej L(V ; W ) w przestrze´ n L(W

; V

). Je´ sli dodatkowo dim V < ∞ i dim W < ∞, to przekszta lcenie jest izomorfizmem.

Dow´ od. Niech f ∈ L(V ; W ), f 6= 0. Wtedy istnieje α ∈ V takie, ˙ze f (α) 6= θ. Zatem, z wniosku 12.6, istnieje ϕ ∈ W

takie, ˙ze ϕ(f (α)) 6= 0, sk ad 0 6= (ϕ ◦ f )(α) = [f

(ϕ)](α), czyli f

(ϕ) 6= 0. St ad przekszta lcenie liniowe f 7→ f

ma trywialne j adro, czyli jest zanurzeniem.

Za l´ o˙zmy teraz, ˙ze dim V < ∞ i dim W < ∞. Wtedy z wniosku 10.4 i twierdzenia 12.2,

dim L(W

; V

) = dim W

· dim V

= dim W · dim V =

= dim L(V ; W ), wi ec to zanurzenie jest izomorfizmem.

2

Zadanie 12.11. Niech V , W , U b ed

a przestrzeniami liniowymi i niech f : V → W

i g : W → U b ed

a przekszta lceniami liniowymi. Pokaza´

c, ˙ze (g ◦ f )

= f

◦ g

.

3

Twierdzenie 12.12. Niech V i W b ed

a przestrzeniami liniowymi i niech f : V → W b

edzie

przekszta lceniem liniowym. W´ owczas

(i) f jest epimorfizmem ⇐⇒ f

jest monomorfizmem;

(ii) f jest monomorfizmem ⇐⇒ f

jest epimorfizmem.

Dow´ od. (i) ⇒. Za l´ o˙zmy, ˙ze f jest ,,na”i niech f

(ϕ) = 0 dla pewnego ϕ ∈ W

. We´ zmy dowolne β ∈ W . Wtedy istnieje α ∈ V takie, ˙ze β = f (α), sk ad ϕ(β) = ϕ(f (α)) = (ϕ ◦

f )(α) = [f

(ϕ)](α) = 0. St ad wobec dowolno´

sci β, ϕ = 0. Zatem Kerf

= {0}, czyli f

jest zanurzeniem.

⇐. Za l´ o˙zmy, ˙ze f

jest r´ o˙znowarto´ sciowe, ale f nie jest ,,na”. Wtedy W 6= f (V ), wi ec na

mocy twierdzenia 12.5, istnieje niezerowy funkcjona l ϕ ∈ W

taki, ˙ze ϕ(f (V )) = {0}. Wobec tego ϕ ◦ f = 0, czyli f

(ϕ) = 0, sk ad ϕ = 0 i mamy sprzeczno´

s´ c. Zatem f jest ,,na”.

(ii) ⇐. Za l´ o˙zmy, ˙ze f

jest ,,na”, ale f nie jest r´ o˙znowarto´ sciowe. Wtedy istnieje niezerowe α ∈ V takie, ˙ze f (α) = θ. Z wniosku 12.6, istnieje funkcjona l ϕ ∈ V

taki, ˙ze ϕ(α) 6= 0.

Ponadto f

jest ,,na”, wi ec istnieje ψ ∈ W

takie, ˙ze ϕ = f

(ψ) = ψ ◦ f . St ad 0 6= ϕ(α) =

= (ψ ◦ f )(α) = ψ(f (α)) = ψ(θ) = 0 i mamy sprzeczno´ s´ c. Zatem f jest r´ o˙znowarto´ sciowe.

⇒. Za l´ o˙zmy, ˙ze f jest r´ o˙znowarto´ sciowe i niech ϕ ∈ V

. Z twierdzenia 7.30 istnieje podprze- strze´ n U przestrzeni W taka, ˙ze W = f (V ) ⊕ U . Okre´ slamy przekszta lcenie h : W → R wzorem h(f (α) + β) = ϕ(α) dla α ∈ V i β ∈ U . Wtedy h jest dobrze okre´ slon a funkcj

a. Ponadto dla

α

, α

∈ V , β

, β

∈ U , a ∈ R mamy, ˙ze

h((f (α

) + β

) + (f (α

) + β

)) = h(f (α

+ α

) + (β

+ β

)) = ϕ(α

+ α

) =

= ϕ(α

) + ϕ(α

) = h(f (α

) + β

) + h(f (α

) + β

) oraz

h(a ◦ (f (α

) + β

)) = h(a ◦ f (α

) + a ◦ β

) =

= h(f (a ◦ α

) + a ◦ β

) = ϕ(a ◦ α

) = a · ϕ(α

) = a · h(f (α

) + β

),

sk ad h ∈ W

. Ponadto dla α ∈ V mamy, ˙ze [f

(h)](α) = (h ◦ f )(α) = h(f (α)) = h(f (α) + θ) = ϕ(α), wi ec f

(h) = ϕ, czyli f

jest ,,na”. 2

Twierdzenie 12.13. Niech V i W b ed

a sko´

nczenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi i niech f ∈ L(V ; W ). Niech (α

, . . . , α

) b edzie baz

a V oraz niech (β

, . . . , β

) b edzie baz

a W .

Je´ sli A jest macierza f w bazach (α

, . . . , α

) i (β

, . . . , β

), to A

jest macierz a f

w bazach sprz e˙zonych (β

, . . . , β

) i (α

, . . . , α

).

Dow´ od. Niech A = [a

] ∈ M

(R). Wtedy dla j = 1, . . . , n mamy f (α

) = a

◦ β

+ a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

. St ad dla i = 1, . . . , m oraz dla j = 1, . . . , n mamy [f

(β

)](α

) = [β

◦ f ](α) = β

(f (α

)) = β

(a

◦ β

+ a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

) = a

oraz (a

α

+ . . . + +a

α

)(α

) = a

. Zatem f

(β

) = a

α

+ . . . + a

α

dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Zatem macierz a f

w bazach sprz e˙zonych (β

, . . . , β

) i (α

, . . . , α

) jest A

. 2

Wniosek 12.14. Niech V i W b ed

a sko´

nczenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi i niech f ∈ L(V ; W ). Wtedy dim Im f = dim Im f

.

Dow´ od. Przy oznaczeniach twierdzenia 12.13 na mocy twierdze´ n 10.8 i 12.13 mamy, ˙ze dim Im f = r(A) = r(A

) = dim Im f

. 2

4